高等数学课件-D23高阶导数.ppt

2023/10/20,同济高等数学课件,二、高阶导数的运算法则,第三节,一、高阶导数的概念,高阶导数,第二章,2023/10/20,同济高等数学课件,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,2023/10/20,同济高等数学课件,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为 n 阶导数,或,的二阶导数,记作,的导数为,依次类推,分别记作,则称,2023/10/20,同济高等数学课件,设,求,解:,依次类推,例1.,思考:设,问,可得,2023/10/20,同济高等数学课件,例2.设,求,解:,特别有:,解:,规定 0!=1,思考:,例3.设,求,2023/10/20,同济高等数学课件,例4.设,求,解:,一般地,类似可证:,2023/10/20,同济高等数学课件,例5.设,解:,2023/10/20,同济高等数学课件,例6.设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在.,2,又,阶数,2023/10/20,同济高等数学课件,规律,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数,则,(C为常数),莱布尼茨(Leibniz)公式,规律,规律,用数学归纳法可证,2023/10/20,同济高等数学课件,例7.,求,解:设,则,代入莱布尼茨公式,得,2023/10/20,同济高等数学课件,例8.设,求,解:,即,用莱布尼茨公式求 n 阶导数,令,得,由,得,即,由,得,2023/10/20,同济高等数学课件,内容小结,(1)逐阶求导法,(2)利用归纳法,(3)间接法 利用已知的高阶导数公式,(4)利用莱布尼茨公式,高阶导数的求法,如下列公式,2023/10/20,同济高等数学课件,思考与练习,1.如何求下列函数的 n 阶导数?,解:,解:,2023/10/20,同济高等数学课件,(3),提示:令,2023/10/20,同济高等数学课件,解:,2023/10/20,同济高等数学课件,各项均含因子(x 2),2.(填空题)(1)设,则,提示:,(2)已知,任意阶可导,且,时,提示:,则当,2023/10/20,同济高等数学课件,3.试从,导出,解：,同样可求,(见 P103 题4),作业P103 1(9),(12);3;4(2);6;9;10(2);*11(2),(3),第四节,2023/10/20,同济高等数学课件,解:,设,求,其中 f 二阶可导.,备用题,