高等数学第八章D83点积叉积.ppt

,*三、向量的混合积,第三节,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数量积 向量积*混合积,第八章,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1.定义,设向量,的夹角为,称,数量积,(点积).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,启示:,两向量作这样的运算,结果是一个数量.,故,2.性质,为两个非零向量,则有,结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积,3.运算律,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,事实上,当,时,显然成立;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式,得,例1.已知三点,AMB.,解:,则,求,故,由此可知两向量垂直的充要条件为,解,证,二、两向量的向量积,引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.定义,定义,向量,方向:,(叉积),记作,且符合右手规则,模:,向量积,引例中的力矩,思考:右图三角形面积,S,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量积的几何意义？,向量积的几何意义,2.性质,为非零向量,则,3.运算律,(2)分配律,(3)结合律,(证明略),证明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.向量积的坐标表示式,设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量积的行列式计算法,进一步：,/,例4.已知三点,角形 ABC 的面积,解:如图所示,求三,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若求AB边上的高？,解,解,内容小结,设,1.向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.向量关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作 业,习题8-3,1，2，7，10,*三、向量的混合积,1.定义,已知三向量,称数量,混合积.,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.混合积的坐标表示,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.性质,(1)三个非零向量,共面的充要条件是,(2)轮换对称性:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.证明四点,共面.,解:因,故 A,B,C,D 四点共面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.设,计算,并求,夹角 的正弦与余弦.,答案:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.已知向量,的夹角,且,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在顶点为,三角形中,求 AC 边上的高 BD.,解：,三角形 ABC 的面积为,3.,而,故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.证明三角形余弦定理,证:,则,如图.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为).,求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度,例3.设均匀流速为,的流体流过一个面积为 A 的平,面域,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的体积,的夹角为,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,