高等数学第一章无穷大量与无穷小量.ppt

-1-,第四节 无穷大量与无穷小量,无穷小量无穷大量,-2-,一 无穷小,1 无穷小量的定义,定义1,根据极限的统一定义,无穷小也可以叙述为:,如果对于任意给定的,在自变量的某个趋向过程中,-3-,例如,注意,(2)无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,(3)零是可以作为无穷小的唯一的数.,(1)无穷小是与自变量的趋向过程分不开的.,-4-,3 无穷小的运算性质,证,-5-,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,推论,在自变量的统一趋向过程下,有限个无穷小的,代数和仍是无穷小.,穷小.,定理2,证,则对,使得当,所以存在,-6-,时,恒有,又因,所以存在,恒有,所以,推论1,在同一过程中,两个无穷小的乘积是无穷小,-7-,推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,定理3,3 无穷小与函数极限的关系,定理4,其中,证,必要性.,对,因为,所以,令,-8-,根据极限的定义可知,其中,充分性.,如果,所以,即,所以,-9-,二 无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,定义2,在自变量的某个趋向过程中,自此以后,我们可以得到正无穷大量或负无穷大量,总存在一个时刻,恒有,记为,-10-,注意,1 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,的定义,记为,或,-11-,不是无穷大,无界，,证,-12-,例2,证明,证,取,所以,无穷小与无穷大的关系,定理4,恒有,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;,