高等数学概率论第六章：随机变量的数字特征.ppt

测平均寿命,6.1 数学期望,先来看一个例子,例1 一个年级有100名学生，年龄组成为：17岁的2人，18岁的2人，19岁的30人，20岁的56人，21岁的10人，求该年级学生的平均年龄。年龄 17 18 19 20 21 人数 2 2 30 56 10,则学生的平均年龄是总年龄总人数。即,上式也可以写成：,现引进 离散型随机变量X表示学生年龄，则X有分布律,于是上述平均数可以写成,即取值乘取值的概率相加即得平均值。,这就是 离散型随机变量的数学期望的概念,1.离散型随机变量的数学期望,定义：离散型随机变量X，其分布律为：,即,例2 一批产品中有一、二、三等品及废品四种，相应比例分别为60%，20%，10%及10%，若各等级产品的产值分别为6元、4.8元、4元及0元，求产品的平均产值。,解,产品的平均产值为,例 单点分布（退化分布）,即常数的数学期望为常数。,例 X（01）分布,即 r.v.X的分布律为：PX=c=1,即 r.v.X的分布律为：,2.连续型随机变量的数学期望,例 设X在 上服从均匀分布，求,解,由于X的概率密度函数为：,3.随机变量函数的数学期望,设随机变量Y为 随机变量函数，Y=f(X),f(x)为连续的实值函数.,（i）X是离散型随机变量，其分布律为,则,事实上,（ii）X是连续型随机变量，其概率密度函数为 p(x),则,综上有：,若已知 X 的分布以及函数 g(x),可以不必求出Y=g(x)的分布,直接利用上面的公式求出Y的数学期望.,解,例六 设X在 上服从均匀分布，求,解,由于X的密度函数为,于是,4.1.3 数学期望的性质,现在来证明数学期望的几个重要的性质（以下设所遇到的随机变量的数学期望存在）,(1)设 c 是常数，则有 E(c)=c.,(2)设X是一个随机变量，a是常数，则有 E(aX)=a E(X),(4)设X,Y 是两个随机变量，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y),此性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况,(3)若a,b是常数，则,E(aX+b)=a E(X)+b,6.2 方差,方差(Variance or Dispersion),方差是衡量随机变量取值与其均值的偏离程度的一个数字特征。,1.定义 若E(X)存在，则称EXE(X)2 为 r.v.X的方差，记为D(X),或Var(X).,2.推论,D(X)=E(X 2)E(X)2.,例 随机变量X 服从二点分布,解 由于随机变量X的分布列为：,故,例 XU(a，b)均匀分布,其概率密度函数为：,3.方差的性质,(3)D(cX)=,D(X),c,b为常数；,(1)常数的方差为零。,(2)D(X+c)=D(X),例10,设,，,，,求,，,。,解,。,