随机向量的函数及其应用赵树杰.ppt

随机向量的函数及其应用 赵树杰,引言 序 序 随机信号通过系统或经过处理后，输出的随机信号与输入的随机信号之间就形成函数或变换关系。我们需要研究由已知的输入随机信号的统计特性得到输出随机信号的统计特性。这个问题的数学基础就是随机变量、随机向量的函数问题。,引言 讨论三个问题,我们知道，随机信号统计特性的完整数学描述可以是它的概率密度函数(PDF),所以下面主要讨论随机变量函数、随机向量函数的概率密度函数关系。讨论三个问题 1.随机变量的函数；2.随机向量的函数；3.正态随机向量的特性与变换。,引言 说明 附,说明 1.限于讨论实的、连续的随机变量、随机向量；2.证明、推演简略或略；3.概率密度函数若省略随机变量、随机向量的取值区间，默认为取值区间为 到；4.所用符号可能与教材不一致。附 请教几个问题。,一 随机变量的函数 1.函数 2.雅可比变换,1.随机变量的函数 设 是一个随机变量(RV)，则 就是随机变量 的函数；也是一个随机变量。2.一维雅可比变换 若已知随机变量 的概率密度函数，则随机变量 的概率密度函数，可由一维雅可比变换得到。函数，如果反函数 存在，且对 连续可导，则有,一 随机变量的函数 2.雅可比变换,称为一维雅可比变换。式中 是雅可比；表示取绝对值；，。,一 随机变量的函数 3.举例,3.举例 例1.1 设随机变量，函数(线性函数)，求随机变量 的PDF。解：由函数,则反函数，雅可比。于是得即。通常称为归一化处理。,一 随机变量的函数 3.举例,例1.2 设随机变量 的 PDF为 是均值,方差,对称于均值的三角分布。函数(线性函数,其中 是常数)。求随机变量 的PDF。解：由函数,则反函数,雅可比。,一 随机变量的函数 3.举例,于是得随机变量 的 PDF为 是均值,方差,对称于均值的三角分布(注意随机变量 的取值区间)。和 的图形如图1.1所示。,一 随机变量的函数 3.举例,图1.1 和 的图形 如果再令函数则随机变量 是均值,方差 的、对称于均值的三角分布。,一 随机变量的函数 3.举例,例1.3 设随机变量,函数(非线性函数)。求随机变量 的PDF。解：函数,反函数；雅可比的绝对值。于是,一 随机变量的函数 3.举例,由 表达式,最终得 随机变量 是服从自由度为 的 分布,如图1.2所示。图1.2 分布曲线(),一 随机变量的函数 4.两个结论,(1)若函数 是线性函数(变换),则随机变量 所属的分布同随机变量 所属的分布,但随机变量 分布的参数将变化,见例1.1,例1.2；特别是(是任意常数)这种最简单的线性函数(变换)时,的分布参数仅均值,其他分布参数同 的分布参数,见例1.2。所以，的图形是 的图形沿横坐标平移。（2）若函数 是非线性函数(变换),则随机变量 所属的分布将不同于随机变量 所属的分布,见例1.3。,4.两个结论,一 随机变量的函数 5.函数的均值和方差,5.随机变量函数的均值和方差 若函数,则随机变量 的均值 和方差 可由如下方法求得。(1)方法：由一维雅可比变换求出,则(2)方法：将 和,一 随机变量的函数 5.函数的均值和方差,代入式 则得 代入式 则得 结果说明，要求随机变量的函数的均值 和方差,并不一定要求出 的,而只需知道随机变量 的 就够了。类似地，任意 阶矩为,一 随机变量的函数 5.函数的均值和方差举例,例1.4 若随机变量,求随机变量(非线性函数)的均值 和方差。解：由题及例1.3知,一 随机变量的函数 5.函数的均值和方差举例,(1)按定义求随机变量 的均值 和方差。,一 随机变量的函数 5.函数的均值和方差举例,(2)按函数求随机变量 的均值 和方差。结果相同,一 随机变量的函数 6.应用概述,6.应用概述 建立信号模型,研究信号的统计特性。决定信号处理的系统和方式。线性检波器,平方律检波器,线性放大器,对数放大器；常规滤波,自适应滤波,。具体：杂波抑制时,瑞利杂波,对数-正态杂波,韦布尔杂波等,统计特性不一样,处理方式与系统也不一样。信号处理系统硬软件设计，需要统计特性。信号处理系统性能研究,也需信号的统计特性。,二 随机向量的函数 1.函数 2.维雅可比变换,1.随机向量的函数 设 是 维随机向量,则就是随机向量 的函数,也是 维随机向量。2.维雅可比变换 若已知随机向量 的 维联合概率密度函数,则随机向量 的 维联合概率密度函数,可由 维雅可比变换得到。,二 随机向量的函数 2.维雅可比变换,随机向量的函数 如果反函数存在,且对 连续可导,简记,则有称为 维雅可比变换。式中 为雅可比行列式,且为,二 随机向量的函数 2.维雅可比变换,二 随机向量的函数 3.应用概述,3.应用概述(例子)若接收信号 为其中,信号 是随机振幅与随机相位信号,和 已知,且相互统计独立；噪声 是零均值、功率谱密度为 的加性高斯白噪声。信号处理后,会得到复信号,二 随机向量的函数 3.应用概述,为进一步处理(状态判决,特征提取,和差归一化,性能分析等),需求出包络 和相位 及其统计特性,。怎么求统计特性,？利用正态随机变量的特性和二维雅可比变换来求得。,二 随机向量的函数 3.应用概述,由前面的 式和 式,得则 条件正态 互不相关 二维雅可比变换 边缘分布 统计平均,三 正态随机向量的特性与变换 1.定义,1.正态随机向量的定义 设 维任意非零常值向量；若 维随机向量 满足 是正态随机变量,则称 为 维正态随机向量。,三 正态随机向量的特性与变换 2.概率密度函数,2.维联合概率密度函数 若 维正态随机向量 的均值向量为协方差矩阵为 则其 维联合概率密度函数为,三 正态随机向量的特性与变换 3.的均值和方差,3.各分量线性组合所得 的均值和方差 维正态随机向量 各分量的线性组合是正态随机变量。若，则(1)的均值,三 正态随机向量的特性与变换 3.的均值和方差,(2)的方差 定义：分量 与 之间的相关系数则 的方差 当分量 与 之间互不相关时,则,三 正态随机向量的特性与变换4.边缘分布的正态性,4.正态随机向量的每个分量都是正态随机变量 证明：设 维任意非零常值向量 的第 个分量,其余分量,则根据正态随机向量的定义,是正态随机变量。实际上,维正态随机向量 的任意 个分量的线性组合也是正态随机变量。,三 正态随机向量的特性与变换 5.等价性,5.正态随机向量各分量之间的互不相关性与统计独立性具有等价性 设 是 维随机向量。(1)若各分量之间是相互统计独立的,则各分量之间是互不相关的。证明：利用各分量之间相互统计独立时,维联合概率密度函数等于各自一维概率密度函数之积,可得各分量两两之间的协方差等于零,结论得证。,三 正态随机向量的特性与变换 5.等价性,(2)若各分量之间是互不相关的,则不一定是相互统计独立的；但对正态随机向量,各分量之间的互不相关性与相互统计独立性是等价的。证明：正态随机向量时,若各分量之间是互不相关的,则协方差矩阵 是对角阵,求出 和 代入正态随机向量的概率密度函数表达式,得式中,是正态随机变量 的PDF。结论得证。,三 正态随机向量的特性与变换 5.等价性,(3)若 维正态随机向量各分量之间是互不相关的(也是相互统计独立的),当各分量的均值,方差 时,是独立同分布 情况。此时，正态随机向量的 维联合概率密度函数为,三 正态随机向量的特性与变换 6.线性变换不变性,6.正态随机向量线性变换的不变性(1)设 是 维正态随机向量,若 是 非零常值矩阵,则 是 维正态随机向量。证明：向量 是 维随机向量,其每个分量 是正态随机向量 各分量的线性组合,所以 是正态随机变量；,三 正态随机向量的特性与变换 6.线性变换不变性,设 维任意非零常值向量,则式中,随机变量 是随机向量 各分量的线性组合,也是正态随机向量 各分量的线性组合,所以 是正态随机变量。于是,根据正态随机向量的定义,维随机向量 是正态随机向量。(2)正态随机向量 的均值向量 和协方差矩阵 分别为,三 正态随机向量的特性与变换 7.平方和的 分布,7.正态随机向量各分量独立时平方和的 分布(1)随机变量的特征函数 设随机变量 的概率密度函数为,则复值随机变量 的均值,定义为 的特征函数,记为,即 随机变量 的概率密度函数 与它的特征函数 构成傅里叶变换对,即有,三 正态随机向量的特性与变换 7.平方和的 分布,(2)维正态随机向量各分量之间互不相关(也统计独立)时,各分量平方和 的 分布 分量 的均值为方差为时,则分量 的特征函数为,三 正态随机向量的特性与变换 7.平方和的 分布,利用相互统计独立的 个随机变量 之和 的特征函数 等于各随机变量的特征函数 之积的性质,得,三 正态随机向量的特性与变换 7.平方和的 分布,由傅里叶逆变换公式式中,是第一类 阶修正贝塞尔函数,得,三 正态随机向量的特性与变换 7.平方和的 分布,随机变量 是服从具有 个自由度的非中心 分布,非中心参数为。,三 正态随机向量的特性与变换 7.平方和的 分布,退化情况 当各分量 的均值,方差 时,则 随机变量 是服从具有 个自由度的非中心 分布,非中心参数为。,三 正态随机向量的特性与变换 7.平方和的 分布,退化情况 当各分量 的均值,方差 时,则 随机变量 是服从具有 个自由度的 分布。,三 正态随机向量的特性与变换 7.平方和的 分布,退化情况 当各分量 的均值,方差 时,则 随机变量 是服从具有 个自由度的 分布。,三 正态随机向量的特性与变换 8.说明,8.说明 为什么对正态随机变量,正态随机向量特别感性趣?各种干扰信号统计特性；信号的特性(功率谱)；正态特性 系统的频率响应特性；,四 几个问题 1.一维雅可比变换,1.一维雅可比变换 函数：；反函数：，问题：，的两种求法结果一样吗？,四 几个问题 2.随机变量函数的均值和方差,2.随机变量函数的均值和方差的计算条件 函数：；反函数：，均值：方差：问题：这样的计算方法是否需要单值变换的约束条件？(吴祈耀等.统计无线电技术.),四 几个问题 3.正态随机变量与正态随机向量的关系,3.个正态随机变量与 维正态随机向量的关系 维正态随机向量 的每个分量 都是正态随机变量；但 个正态随机变量 构成的 维随机向量 不一定是正态随机向量：当正态随机变量 之间是相互统计独立时,构成的是正态随机向量；当正态随机变量 之间是相关的,则构成的不一定是正态随机向量。,四 几个问题 3.正态随机变量与正态随机向量的关系,问题：(1)结论对吗？(2)怎样从正态随机向量的定义证明?(结论的第二部分)。(3)相互统计独立的 个正态随机变量 构成的 维正态随机向量各分量之间一定是相互统计独立的，对吗？(4)维正态随机向量的每个分量都是正态随机变量,又不一定能由 个相关的正态随机变量构成,那么各分量之间相关的 维正态随机向量是如何构成的(正态随机信号相关采样)?,