阶常微分方程初等解法.ppt

一阶常微分方程初等解法,一阶常微方程的初等解法,变量分离方程与变量变换线性微分方程与常数变易法恰当微分方程与积分因子一阶隐式微分方程与参数表示,重点：变量分离方程、线性微分方程、常数变易法、恰当微分方 程、积分因子、一阶隐式微分方程与参数解法；难点：变量变换、积分因子、分项组合法、建立微分方程模型.,总 结,1：变量分离方程与变量变换,在上一张我们已经了解了微分方程的一些基本特点，下面我们来看一个题来回忆一下微分方程：,例 求解方程.,两边积分，即得，,因而，通解为.,1.1变量分离方程,形如,下面来做几道题来来练习一下变量分离方程，,例1,解 将方程变量分离，得到,两边积分得,这里 是任意常数，从上式解出 可得显示通解为,这里 是一个任意常数，此外，也是方程的解，它可以被包含在通解中（取）.,例2,1.2 可化为变量分离的方程类型,这里只介绍两种简单的情形,代入原来的变量，得到原来方程的通解为,两边积分，得到通解,我们分三种情形来讨论：,这是方程化为,从而方程变为,上述方法也适用于如下方程：,得,代入方程，有,则,返回,2.线性微分方程与常数变易法,现在讨论非齐次线性微分方程通解的求法.,这样就可以得到,即,积分后得到,将其代入到前式中，可得到,积分之，得到,返 回,3.恰当微分方程与积分因子,3.1 恰当微分方程,将得到的方程对 求导，并使它满足上一个方程，即得,3.2 积分因子,解 方程可以改写为,容易看出，此方程有积分因子,以 乘之得,故通解为,因此，通解为,方法 2,将方程改写为,因此，通解为,即,因此，通解为,代回原来变量，即得,方法 4,同样解得,返回,4.一阶隐式微分方程与参数表示,一阶隐式微分方程的一般形式可表示为,4.1 可以解出（或）的方程,两边对 求导，得到,解出，得到,因此，得到方程的参数形式的通解,设求得通解为,两边对 求导，得到,积分之，即有,4.2 可以解出（或）的方程,以（4.10）代入上式得,两边积分，得到,从而,于是,积分之，得到,由此得,例 14 求解方程,有,由此得,并且,这是微分方程的参数形式的通解.因此,积分之，得到,返 回,总结：,谢谢观看！,