量子力学第三章3.5厄米算符本征函数的正交性.ppt

3.5 厄米算符本征函数的正交性,一、两函数正交的定义：,三维空间中二矢量正交：,N维空间中二矢量正交：,若两函数 满足关系式：,则称为两函数 相互正交，式中积分是对变量变化的全部区域进行的。,例如：动量本征函数，则：,这就是说属于动量算符不同本征值的两个本征函数 相互正交。,二、厄米算符属于不同本征值的本征函数正交,证明：因；，则有：,而,设厄米算符 对应于不同本征值、的本征函数为和，即证：。,则：,即：,所以：，证毕。,无论 的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理及其证明都成立。,而,说明：,于是称 为厄米算符 的正交归一本征函数系。,假若 的本征值组成分立谱，且，则：,假若 的本征值组成连续谱，则代替上式有：,于是称 为厄米算符 的正交归一本征函数系。,三、厄米算符属于相同本征值的本征函数的正交性（简并情况）,于是上面的证明不再成立。一般说这些函数并不一定正交。但我们总可以用 个常数 把这 个函数线性组合成 个新的线性独立的待定函数，即：,其中 仍然是 的本征函数（迭加原理），即：,如果 的一个本征值 是 度简并的，既有 个（而不是一个）本征函数 都属于相同的本征值，而且是线性无关的，则有：,使新函数 组成正交归一系应满足的条件为：,即待定系数 必须满足的条件有 个方程，其中 的归一化条件有 个；的正交条件有 个。,而待定系数 共有 个值。,由简并的这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数，它们仍属于原本征值且满足正交归一化条件。,于是只要，就有，即待定系数 的个数大于条件方程的个数，所以 可以有许多选择方式，使得函数 满足正交归一化条件。,说明：在实际计算中，当出现简并时，为了把 的本征态确定下来，往往用与 对易的其它的力学量算符的本征值来对体系的状态分类，其本征值与 一起共同确定状态，此时正交性问题自动得到解决。如：的本征值为，对于确定的，其本征函数 是 重简并的。用与 对易的算符 的本征值 来确定态函数，此时，它对应的本征值为，这时，波函数是唯一确定的。,综合上述讨论可得如下结论：,四、正交归一函数系的例子：,1.一维线性谐振子的能量本征函数：,组成正交归一系。,2.角动量算符的本征函数：,角动量算符 分量 的本征函数：,组成正交归一系：,角动量平方算符 属于本征值 的本征函数,组成正交归一系：,把合写,3.氢原子的波函数：,组成正交归一系：,合写为：,所以、都是正交归一函数系。,（给定),