逻辑函数及简化.ppt

1,第二章 逻辑函数及简化,主要内容2.1 逻辑函数2.2 逻辑函数的简化,2,2.1 逻辑函数,逻辑代数（Logic Algebra）是由英国数学家乔治布尔(George Boole)于1849年首先提出的，因此也称为布尔代数（Boolean Algebra）。逻辑代数研究逻辑变量间的相互关系，是分析和设计逻辑电路不可缺少的数学工具。所谓逻辑变量，是指只有两种取值的变量:真或假、高或低、1或0。,3,2.1.1 基本逻辑 逻辑变量之间的关系多种多样，有简单的也有复杂的，最基本的逻辑关系有:与逻辑(AND)、或逻辑(OR)和非逻辑(NOT)三种。1.与逻辑 只有当决定某事件的全部条件同时具备时，该事件才发生，这样的逻辑关系称为与逻辑，或称逻辑相乘。,2.1 逻辑函数,4,在如图电路中，只有当开关S1和S2同时接通时，电灯F才会亮。若以S1、S2表示两个开关的状态，以F表示电灯的状态，用1表示开关接通和电灯亮，用0表示开关断开和电灯灭，则只有当S1和S2同时为1时，F才为1，F与S1和S2之间是一种与的逻辑关系。与逻辑运算的运算符为“”，写成F=S12或F=S1S2。逻辑变量之间取值的对应关系可用一张表来表示，这种表叫做逻辑真值表,简称真值表。与逻辑关系的真值(Truth Table)表如表所示。,与逻辑电路,与逻辑的真值表,2.1 逻辑函数,5,2.或逻辑 在决定某事件的诸多条件中，当有一个或一个以上具备时，该事件都会发生，这样的逻辑关系称为或逻辑，或称逻辑相加。在如图电路中，当开关S1和S2中有一个接通（S1=1或S2=1）或一个以上接通（S1=1且S2=1）时，电灯F都会亮（F=1），因此F与S1和S2之间是一种或的逻辑关系。或逻辑运算的运算符为“+”，写成F=S1+S2。或逻辑关系的真值表如表所示。,或逻辑电路,或逻辑的真值表,2.1 逻辑函数,6,3.非逻辑 在只有一个条件决定某事件的情况下，如果当条件具备时，该事件不发生；而当条件不具备时，该事件反而发生，这样的逻辑关系称为非逻辑，也称为逻辑反。在如图电路中，当开关S接通（S=1）时，电灯F不亮（F=0），而当开关S断开（S=0）时，电灯F亮（F=1）。因此，F与之间是逻辑反的关系，写成F=。非逻辑关系的真值表如表所示。,非逻辑的真值表,非逻辑电路,2.1 逻辑函数,7,2.1.2基本逻辑运算,1 逻辑与(与运算、逻辑乘)决定某一结论的所有条件同时成立，结论才成立，这种因果关系叫与逻辑，也叫与运算或叫逻辑乘。例如，对图2-1所示电路的功能作如下描述：“开关A闭合，并且开关B闭合，则电灯F亮”。这三个陈述语句均具有“真”、“假”两种可能，其对应关系如表2-1(a)所示。用“1”代表逻辑“真”，用“0”代表逻辑“假”，则表2-1(a)可改为表2-1(b)的形式。这种表格叫真值表。所谓真值表，就是将输入变量的所有可能的取值组合对应的输出变量的值一一列出来的表格。它是描述逻辑功能的一种重要形式,图 2 1 与门逻辑电路实例图,8,表 2 1 逻辑与的真值表,图 2 1 与门逻辑电路实例图,9,由表2-1可知，上述三个语句之间的因果关系属于与逻辑。其逻辑表达式(也叫逻辑函数式)为：F=AB读作“F等于A乘B”。在不致于混淆的情况下，可以把符号“”省掉。在有些文献中，也采用、&等符号来表示逻辑乘。由表2-1的真值表可知，逻辑乘的基本运算规则为：00=0 01=0 10=0 11=1 0A=0 1A=A AA=A,10,实现“与运算”的电路叫与门，其逻辑符号如图2-2所示，其中图(a)是我国常用的传统符号，图(b)为国外流行符号，图(c)为国家标准符号。,图 2 2 与门的逻辑符号,11,2 逻辑加(或运算、或逻辑)决定某一结论的所有条件中，只要有一个成立，则结论就成立，这种因果关系叫或逻辑。例如，对图2-1所示电路的功能，改作如下描述：“开关A断开，开关B也断开，则电灯F熄灭”。显然这三个语句都是逻辑变量，分别记作A，B，F。其真值表如表2-2所示。由表2-2可知，上述三个语句之间的因果关系属于或逻辑。其逻辑表达式为：F=A+B 读作“F等于A加B”。有些文献也采用、等符号来表示逻辑加。,12,由表2-2的真值表可知，逻辑加的运算规则为：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 0+A=A 1+A=1 A+A=A 实现“或运算”的电路叫或门，其逻辑符号如图2-3所示。,表 2 2或逻辑的真值表,13,图 2 3 或门的逻辑符号,14,3 逻辑非(非运算，逻辑反)若前提条件为“真”，则结论为“假”；若前提条件为“假”，则结论为“真”。即结论是对前提条件的否定，这种因果关系叫非逻辑。例如，对图2-4所示电路的功能作如下描述：“若开关A断开，则电灯F就亮”。把以上两个陈述句分别记作A、F，则其真值表如表2-3所示。,15,图 2 4 非门逻辑电路实例图,表 2 3 非逻辑的真值表,16,由表2-3的真值表可知，上述两个语句之间的因果关系属于非逻辑，也叫非运算或者叫逻辑反。其逻辑表达式为：读作“F等于A非”。通常称A为原变量，为反变量，二者共同称为互补变量。完成“非运算”的电路叫非门或者叫反相器，其逻辑符号如图2-5所示。,17,非运算的运算规则是：,18,4 常用复合逻辑,（1）“与非”逻辑“与非”逻辑是“与”逻辑和“非”逻辑的组合。先“与”再“非”。其表达式为,19,图 2 6 与非门的逻辑符号(a)常用符号；(b)国外流行符号；(c)国标符号,实现“与非”逻辑运算的电路叫“与非门”。其逻辑符号如图2-6所示。,20,与非逻辑的真值表,21,（2）“或非”逻辑“或非”逻辑是“或”逻辑和“非”逻辑的组合。先“或”后“非”。其表达式为：,22,实现“或非”逻辑运算的电路叫“或非门”。其逻辑符号如图2-7所示。,图 2 7 或非门的逻辑符号(a)常用符号；(b)国外流行符号；(c)国标符号,23,或非逻辑的真值表,24,（3）“与或非”逻辑“与或非”逻辑是“与”、“或”、“非”三种基本逻辑的组合。先“与”再“或”最后“非”。其表达式为：,25,实现“与或非”逻辑运算的电路叫“与或非门”。其逻辑符号如图2-8所示。,图 2 8 与或非门的逻辑符号(a)常用符号；(b)国外流行符号；(c)国标符号,26,与或非逻辑的真值表,27,（4）“异或”逻辑及“同或”逻辑 两变量的“异或”及“同或”逻辑 若两个输入变量A、B的取值相异，则输出变量F为1；若A、B的取值相同，则F为0。这种逻辑关系叫“异或”逻辑，其逻辑表达式为：读作“F等于A异或B”。“异或”运算也叫“模2加”运算。,28,实现“异或”运算的电路叫“异或门”。其逻辑符号如图2-9所示。,图 2 9 异或门的逻辑符号(a)常用符号；(b)国外流行符号；(c)国标符号,29,若两个输入变量A、B的取值相同，则输出变量F为1；若A、B取值相异，则F为0。这种逻辑关系叫“同或”逻辑，也叫“符合”逻辑。其逻辑表达式为：,30,实现“同或”运算的电路叫“同或门”。其逻辑符号如图2-10所示。,0 0=10 1=01 0=01 1=1,31,此外，,常用异或和同或运算公式,32,5.常见逻辑运算 除了与、或、非三种最基本的逻辑运算外，常见的复合逻辑运算有:与非、或非、异或、同或、与非与非、或非或非等，这些运算的表达式如下:,以上这些复合逻辑运算的真值表分别如下表所示。,2.1.2基本逻辑运算,与非表达式:或非表达式:异或表达式:同或表达式:与非与非表达式:或非或非表达式:,33,与非逻辑的真值表,2.1.2基本逻辑运算,34,或非逻辑的真值表,2.1.2基本逻辑运算,35,异或逻辑的真值表,2.1.2基本逻辑运算,36,同或逻辑的真值表,2.1.2基本逻辑运算,37,与非与非逻辑的真值表,2.1.2基本逻辑运算,38,或非或非逻辑的真值表,2.1.2基本逻辑运算,39,6 门电路 输出和输入之间具有一定逻辑关系的电路称为逻辑门电路，简称门电路。常用的门电路有与门、或门、非门、与非门、或非门、与或非门、异或门、同或门等，它们的逻辑符号如图所示。,2.1.2基本逻辑运算,常用门电路的逻辑符号,40,1.逻辑函数定理：任何逻辑关系都可表示为逻辑函数。输入逻辑变量A、B、C输出运算结果Y YA、B、C，记为Y=F(A,B,C）如果A、B、C和Y只取0、1两个值，则叫二值逻辑函数。例：楼道开关控制逻辑问题就是一个逻辑函数。A和B分别是楼下、楼上的两个单刀双掷开关，P为楼道灯，任何时候均可在楼下或楼上开关楼道灯。若用1表示开关掷上，用0表示开关掷下，用1表示灯亮，用0表示灯灭，则灯P是开关A，B的二值逻辑函数，即：P=F（A、B）,2.1.3 逻辑函数及其表示方法,41,2.1.3 逻辑函数及其表示方法,真值表,从真值表写逻辑函数的标准式从真值表写标准与或表达式（积之和式）找出F=1的行；(2)对每个F=1的行，取值为1的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，然后取其乘积；(3)将各个最小项进行逻辑加得到标准与或表达式，称“积之和”逻辑表达式。,42,2.1.3 逻辑函数及其表示方法,2)从真值表写标准或与表达式（和之积式）标准和之积式中的最大项与真值表中F=0的各行变量取值一一对应，因此，逻辑函数的标准和之积式就是真值表中使函数值为0的各个项之积。由此得出从真值表写标准和之积式的方法如下：(1)找出F=0的行；(2)对每个F=0的行，取值为0的变量用原变量表示，取值为1的变量用反变量表示，然后取其和；(3)将各个最大项进行逻辑乘得到标准或与表达式，称“和之积”逻辑表达式。,43,2.1.3 逻辑函数及其表示方法,2.逻辑函数的表示方法 逻辑函数常用的描述方法有函数式、真值表、卡诺图和逻辑图等。1).函数式 由逻辑变量和逻辑运算符号组成，用于表示变量之间逻辑关系的式子，称为逻辑函数式。常用的逻辑函数式有与或表达式、标准与或表达式、或与表达式、标准或与表达式、与非与非表达式、或非或非表达式、与或非表达式等。,44,与或表达式:标准与或表达式:或与表达式:标准或与表达式:与非与非表达式:或非或非表达式:与或非表达式:,2.1.3 逻辑函数及其表示方法,45,2).真值表 用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格，称为真值表。例如，在一个判奇电路中，当A、B、C三个变量中有奇数个1时，输出F为1；否则，输出F为0。可列出下表所示的真值表。,2.1.3 逻辑函数及其表示方法,46,判奇电路的真值表,2.1.3 逻辑函数及其表示方法,47,3).逻辑图 由逻辑门电路符号构成的，用来表示逻辑变量之间关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。如图为函数,的逻辑图。,函数F的逻辑图,2.1.3 逻辑函数及其表示方法,48,1.逻辑函数相等 定义：如果对应于输入变量的任一状态组合，输出变量F和G的值都相同，则称F和G是等值的，即F=G。由定义可知：F和G的真值表相同F=G 例2-2(P23),2.1.4逻辑函数相等和逻辑函数的基本公式,2逻辑函数基本公式,49,公理、定律与常用公式,公理,交换律,结合律,分配律,0-1律,重叠律,互补律,还原律,反演律,0 0=0,0 1=1 0=0,1 1=1,0+0=0,0+1=1+0=1,1+1=1,A B=B A,A+B=B+A,(A B)C=A(B C),(A+B)+C=A+(B+C),自等律,A(B+C)=A B+A C,A+B C=(A+B)(A+C),A 0=0 A+1=1,A 1=A A+0=A,A A=A A+A=A,吸收律,消因律,包含律,合并律,A+A B=A A(A+B)=A,2.1.4逻辑函数相等和逻辑函数的基本公式,50,逻辑代数的运算公式和规则,反演律调换律若AB=C 则有 A C=B B C=A若AB=C 则有 A C=B B C=A,51,1.代入规则 在一个逻辑等式两边出现某个变量（或表示式）的所有位置都代入另一个变量（或表达式），则等式仍然成立。例如:已知，在等式两边出现B的所有位置都代入BC，则等式仍然成立，即,2.1.5 逻辑函数三个规则,52,2.反演规则 对一个逻辑函数F进行如下变换:将所有的“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到函数F的反函数。使用反演规则时，要注意以下两点:保持原函数中逻辑运算的优先顺序；不是单个变量上的反号保持不变。,例如:则,2.1.5 逻辑函数三个规则,53,3.对偶规则 对一个逻辑函数F进行如下变换:将所有的“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到函数F的对偶函数F。例如:F1=A(B+C)，F1*=A+BC F2=AB+AC，F2*=(A+B)(A+C)如果两个函数相等，则它们的对偶函数亦相等。这就是对偶规则。例如:已知 A(B+C)=AB+AC 则 A+BC=(A+B)(A+C),2.1.5 逻辑函数三个规则,54,下面列出一些常用的逻辑函数公式，利用前面介绍的基本公式可以对它们加以证明。（1）A+AB=A 证明:A+AB=A1+AB=A(1+B)=A1=A,公式的含义是:在一个与或表达式中，如果一个与项是另一个与项的一个因子，则另一个与项可以不要。这一公式称为吸收律。例如:,2.1.6 逻辑函数常用公式,55,2.1.6 逻辑函数常用公式,56,证明:,2.1.6 逻辑函数常用公式,（3）,57,公式的含义是:在一个与或表达式中，如果一个与项的反是另一个与项的一个因子，则这个因子可以不要。例如:,2.1.6 逻辑函数常用公式,58,公式的含义是:在一个与或表达式中，如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子，则由这两个与项其余的因子组成的与项是可要可不要的。,2.1.6 逻辑函数常用公式,证明:,（4）,59,2.1.6 逻辑函数常用公式,例如:,60,（5）,2.1.6 逻辑函数常用公式,证明:,61,公式的含义是:在一个与或表达式中，如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子，则包含这两个与项其余因子作为因子的与项是可要可不要的。例如:,2.1.6 逻辑函数常用公式,62,2.1.7逻辑函数的标准形式,n个变量有2n个最小项，记作mi,3个变量有23（8）个最小项,m0,m1,000,001,0,1,n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）,一、最小项和最大项,最小项,二进制数,十进制数,编号,63,0 0 1,A B C,0 0 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,三变量的最小项,最小项的性质：,同一组变量取值任意两个不同最小项的乘积为0。即mimj=0(ij),全部最小项之和为1，即,64,最大项,n个变量有2n个最大项，记作i,n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的和项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）,同一组变量取值任意两个不同最大项的和为1。即Mi+Mj=1(ij),全部最大项之积为0，即,任意一组变量取值，只有一个最大 项的值为0，其它最大项的值均为1,65,最小项与最大项的关系,相同编号的最小项和最大项存在互补关系,即:,mi=,Mi,Mi=,mi,若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数F可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。,=,=,66,逻辑函数的标准形式,解：F(A、B、C),从真值表找出F为1的对应最小项,解:,然后将这些项逻辑加,F(A、B、C),67,关于最小项和最大项的小结,1)最小项和最小项表达式,1.最小项 n个变量的最小项是n个变量的“与项”，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。,2.1.7 逻辑函数的标准形式,68,表 2-8 三变量逻辑函数的最小项,69,最小项具有以下性质：n变量的全部最小项的逻辑和恒为1，即,任意两个不同的最小项的逻辑乘恒为0，即,n变量的每一个最小项有n个相邻项。例如，三,变量的某一最小项 有三个相邻项：。这种相邻关系对于逻辑函数化简十分重要。,70,2.最小项表达式标准与或式 如果在一个与或表达式中，所有与项均为最小项，则称这种表达式为最小项表达式，或称为标准与或式、标准积之和式。例如：,是一个三变量的最小项表达式，它也可以简写为,71,任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式：只要将真值表中使函数值为1的各个最小项相或，便可得出该函数的最小项表达式。由于任何一个函数的真值表是惟一的，因此其最小项表达式也是惟一的。,表 2-9 真值表,72,从真值表可知，当A、B、C取值分别为001、010、100、111时，F为1，因此最小项表达式由这四种组合所对应的最小项进行相或构成，即,表 2-10 三变量逻辑函数的最大项,73,2)最大项和最大项表达式 1.最大项 n个变量的最大项是n个变量的“或项”，其中每一个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。n个变量可以构成2n个最大项。最大项用符号Mi表示(见表2-10)。与最小项恰好相反，对于任何一个最大项，只有一组变量取值使它为0，而变量的其余取值均使它为1。,例如，或项 仅和变量取值101对应，故用M5表示。,74,最大项具有以下性质：n变量的全部最大项的逻辑乘恒为0，即,n变量的任意两个不同的最大项的逻辑和必等于1，即,n变量的每个最大项有n个相邻项。例如，三变量的某一最大项 有三个相邻项：,75,2.最小项与最大项之间的关系,变量数相同，编号相同的最小项和最大项之间存在互补关系，即,例如：,76,3.最大项表达式标准或与式 在一个或与式中，如果所有的或项均为最大项，则称这种表达式为最大项表达式，或称为标准或与式、标准和之积表达式。如果一个逻辑函数的真值表已给出，要写出该函数的最大项表达式，可以先求出该函数的反函数，并写出 的最小项表达式，然后将 再求反，利用mi和Mi的互补关系便得到最大项表达式。例如，已知表2-11的真值表，可得,77,表 2-11 真值表,可见，最大项表达式是真值表中使函数值为0的各个最大项相与。,得出结论：任何一个逻辑函数既可以用最小项表达式表示，也可以用最大项表达式表示。如果将一个n变量函数的最小项表达式改为最大项表达式时，其最大项的编号必定都不是最小项的编号，而且这些最小项的个数和最大项的个数之和为2n。,78,【例】写出函数 的标准与或表达式。,也可以写成,或,2.1.7 逻辑函数的标准形式,解:,79,从上面例子可以看出，一个与项如果缺少一个变量，则生成两个最小项；一个与项如果缺少两个变量，则生成四个最小项；如此类推，一个与项如果缺少n个变量，则生成2n个最小项。由真值表求函数的标准与或表达式时，找出真值表中函数值为1的对应组合，将这些组合对应的最小项相或即可。,2.1.7 逻辑函数的标准形式,80,【例】写出函数 的标准或与表达式。解:,2.1.7 逻辑函数的标准形式,从上面例子可以看出，一个或项如果缺少一个变量，则生成两个最大项；一个或项如果缺少两个变量，则生成四个最大项；如此类推，一个或项如果缺少n个变量，则生成2n个最大项。,81,也可以写成,或,2.1.7 逻辑函数的标准形式,82,逻辑运算的优先级别决定了逻辑运算的先后顺序。在求解逻辑函数时，应首先进行级别高的逻辑运算。各种逻辑运算的优先级别，由高到低的排序如下：长非号是指非号下有多个变量的非号。,2.1.8 逻辑运算的优先级别,83,我们知道，同一个逻辑函数可以写成不同的表达式。用基本逻辑门电路去实现某函数时，表达式越简单，需用门电路的个数就越少，因而也就越经济可靠。因此，实现逻辑函数之前，往往要对它进行化简，先求出其最简表达式，再根据最简表达式去实现逻辑函数。最简表达式有很多种，最常用的有最简与或表达式和最简或与表达式。不同类型的逻辑函数表达式，最简的定义也不同。,2.2 逻辑函数的化简,84,逻辑电路所用门的数量少,每个门的输入端个数少,逻辑电路构成级数少,逻辑电路保证能可靠地工作,2.2 逻辑函数的化简,逻辑函数的公式化简法,85,最简式的标准,首先是式中乘积项最少,与或表达式的简化,与门的输入端个数少,消项：利用A+AB=A消去多余的项AB,2.2 逻辑函数的化简,逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。,86,解：,2.2 逻辑函数的化简,87,逻辑函数的公式化简法例题1,1、并项法,若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。,运用摩根定律,运用分配律,运用分配律,88,2、吸收法,如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。,运用摩根定律,（）利用公式，消去多余的项。,如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。,89,、配项法,（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。,90,、消去冗余项法,91,例：化简函数,解：先求出Y的对偶函数Y，并对其进行化简。,求Y的对偶函数，便得的最简或与表达式。,92,1.并项法 利用公式，将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。,逻辑函数的公式化简法例题2,【例】求函数 的最简与或表达式。解:,93,2.吸收法 利用公式，吸收多余的与项。【例】求函数 的最简与或表达式。解:F=(A+AB+ABC)(A+B+C)=A(A+B+C)=AA+AB+AC=A+AB+AC=A,2.2 逻辑函数的化简,94,3.消去法 利用公式，消去与项多余的因子。【例】求函数 的最简与 或表达式。解:,2.2 逻辑函数的化简,95,4.配项消项法 利用公式，进行配项，以消去更多的与项。【例】求函数 的最简与或表达式。解:,2.2 逻辑函数的化简,96,【例】求函数 的最简与或表达式。解:,2.2 逻辑函数的化简,97,2.2.2 逻辑函数的图形化简法,1、卡诺图的构成,逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。,将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。,每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻,每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻,98,每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻,最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的,最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的,两个相邻最小项可以合并消去一个变量,逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并,99,2、逻辑函数在卡诺图中的表示,（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,m1,m3,m4,m7,m6,m11,m15,m14,100,（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,变换为与或表达式,101,3、卡诺图的性质,（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。,102,（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。,103,104,（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。,小结：相邻最小项的数目必须为2个才能合并为一项，并消去1个变量。包含的最小项数目越多，即由这些最小项所形成的圈越大，消去的变量也就越多，从而所得到的逻辑表达式就越简单。这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理。,105,4、图形法化简的基本步骤,逻辑表达式或真值表,卡诺图,1,1,106,合并最小项,圈越大越好，但每个圈中标的方格数目必须为个。同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。不能漏掉任何一个标的方格。,最简与或表达式,冗余项,2,2,3,3,将代表每个圈的乘积项相加,107,两点说明：,在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。,不是最简,最简,108,在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。,109,任何一个逻辑函数既可以等于其卡诺图上填1的那些最小项之和，也可以等于其卡诺图上填0的那些最大项之积，因此，如果要求出某函数的最简或与式，可以在该函数的卡诺图上合并那些填0的相邻项。这种方法简称为圈0合并，其化简步骤及化简原则与圈1合并类同，只要按圈逐一写出或项，然后将所得的或项相与即可。但需注意，或项由K圈对应的没有变化的那些变量组成，当变量取值为0时写原变量，取值为1时写反变量。,5.求最简或与式,110,6.给出逻辑函数的最大项表达式 只要将构成逻辑函数的最大项在卡诺图相应的方格中填0，其余的方格填1即可。也就是说，任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填0的那些最大项之积。例如，函数 的卡诺图如图2-17所示。必须注意，在卡诺图中最大项的编号与最小项编号是一致的，但对应输入变量的取值是相反的。,111,图 2-17 F4的卡诺图,112,7.给出逻辑函数的一般或与式 将一般或与式中每个或项在卡诺图上所覆盖的最大项处都填0，其余的填1即可。例如，将函数 填入卡诺图时，先确定使每个或项为0时输入变量的取值，然后在该取值所对应的方格内填0。,当ABC=10时，该或项为0，对应两个方格,(M4、M6)处填0。,当ABC=10时，该或项为0，对应两个方格,(M2、M6)处填0。,113,某些最大项重复，填一次即可。F5的卡诺图如图2-18所示。,图 2-18 F5的卡诺图,114,【例 2-5】求,的最简或与式。,解：,画出F的K图。本例给出的F为一般或与式，因此将每个或项所覆盖的最大项都填0，就可以得到F的K图如图2-25所示。圈K圈化简函数。写出最简或与式。,当需要将逻辑函数化为最简与或非式时，也可以采用合并0格的方式，即在卡诺图上圈0格，先求出 的最简与或式，然后用 F 求出F的最简与或非式。,115,图 2-25 例2-5的卡诺图,116,2.2.3 含任意项的逻辑函数的化简,随意项：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为随意项，也叫做约束项或无关项。,1、含任意项的逻辑函数,例如：判断一位十进制数是否为偶数。,117,输入变量A，B，C，D取值为00001001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。,A，B，C，D取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号“”、“”或“d”表示。,随意项之和构成的逻辑表达式叫做 随意条件或约束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。,118,含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：,2、含随意项的逻辑函数的化简,在逻辑函数的化简中，充分利用随意项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，随意项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如果随意项对化简有利，则取1；如果随意项对化简不利，则取0。,不利用随意项的化简结果为：,利用随意项的化简结果为：,119,3、变量互相排斥的逻辑函数的化简,在一组变量中，如果只要有一个变量取值为1，则其它变量的值就一定为0，具有这种制约关系的变量叫做互相排斥的变量。变量互相排斥的逻辑函数也是一种含有随意项的逻辑函数。,简化真值表,120,2.2.4 逻辑函数的各种表示方法,1、真值表,真值表：是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。,真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2n种不同的取值，将这2n种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。,例如：当A=B=1、或则B=C=1时，函数Y=1；否则Y=0。,121,2、逻辑表达式,逻辑表达式：是由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。,函数的标准与或表达式的列写方法：将函数的真值表中那些使函数值为1的最小项相加，便得到函数的标准与或表达式。,3、卡诺图,卡诺图：是由表示变量的所有可能取值组合的小方格所构成的图形。,逻辑函数卡诺图的填写方法：在那些使函数值为1的变量取值组合所对应的小方格内填入1，其余的方格内填入0，便得到该函数的卡诺图。,122,4、逻辑图,逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。,、波形图,波形图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。,123,2.2.5 逻辑函数表示方法之间的转换,1、由真值表到逻辑图的转换,真值表,逻辑表达式或卡诺图,1,1,最简与或表达式,化简,2,或,2,124,画逻辑图,3,最简与或表达式,B,A,A,C,AC,Y,B,A,A,C,Y,若用与非门实现，将最简与或表达式变换成最简与非-与非表达式,3,125,2、由逻辑图到真值表的转换,逻辑图,逻辑表达式,1,1,最简与或表达式,化简,2,2,从输入到输出逐级写出,126,最简与或表达式,3,真值表,3,127,第二章 逻辑函数及简化,【第2章习题】P47：1.(2)，4.(2)(4),7.(2)，8.(1)(4)，9.(2)(5)(8)(9),