连续信号与系统的时域分析.ppt

,第 2 章 连续信号与系统的时域分析,2.0 引 言2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法,2.0 引 言,信号与系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。连续信号与系统的时域分析是指信号与系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为连续时间t的一种分析方法。自20世纪60年代以来，随着状态变量概念的引入，现代系统理论的确立以及计算技术的不断进步，时域分析法正在许多领域获得越来越广泛的应用。,2.1 连续时间基本信号,2.1.1 奇异信号,证明(t)的n次积分为,它是由(t)及其各次积分和各阶导数组成的。自左至右，每一项都是前一项的导数，或者每一项都是后一项的积分。这样得到的函数族统称为奇异函数。在连续信号与系统的时域分析中，(t)和(-1)(t)=(t)是经常使用的两种基本信号。,2.1.2 正弦信号,随连续时间t按正弦规律变化的信号称为连续时间正弦信号，简称正弦信号。数学上，正弦信号可用时间的sin函数或cos函数表示，本书统一采用cos函数。正弦信号的一般形式表示为,式中，A、和分别为正弦信号的振幅、角频率和初相。,(2.1-1),图 2.1 1 正弦信号,正弦信号是周期信号，其周期T、频率f和角频率之间的关系为,根据欧拉公式，式(2.1-1)可写成,2.1.3 指数信号,连续时间指数信号，简称指数信号，其一般形式为,根据式中A和s的不同取值，具体有下面三种情况。(1)若A=a1和s=均为实常数，则f(t)为实指数信号，即,图 2.1 2 实指数信号,(2)若A=1，s=j，则f(t)为虚指数信号，即,根据欧拉公式，虚指数信号可以表示为,表明ejt的实部和虚部都是角频率为的正弦振荡。显然，ejt也是周期信号，其周期T=2/|。,(3)当A和s均为复数时，f(t)为复指数信号。若设A=|A|ej，s=+j则f(t)可表示为,图 2.1 3 复指数信号实部和虚部的波形,2.2 卷积积分,2.2.1 卷积的定义,设f1(t)和f2(t)是定义在(-，)区间上的两个连续时间信号，我们将积分,定义为f1(t)和f2(t)的卷积(Convolution)，简记为,即,式中，为虚设积分变量，积分的结果为另一个新的时间信号。,2.2.2 卷积的图解机理,信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成轴，分别得到f1()和f2()的波形。第二步，将f2()波形以纵轴为中心轴翻转180，得到f2(-)波形。第三步，给定一个t值，将f2(-)波形沿轴平移|t|。在t0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-)的波形。,第四步，将f1()和f2(t-)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1()f2(t-)。第五步，计算乘积信号f1()f2(t-)波形与轴之间包含的净面积，便是式(2.2-1)卷积在t时刻的值。第六步，令变量t在(-，)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。,例 2.2 1 给定信号,求y(t)=f1(t)*f2(t)。,图 2.2 1 f1(t)和f2(t)波形,图 2.2 2 卷积的图解表示,当t0时，f2(t-)波形如图2.2-2(c)所示，对任一，乘积f1()f2(t-)恒为零，故y(t)=0。当0t3时，f2(t-)波形如图2.2-2(d)所示。,当t3时，f2(t-)波形如图2.2-2(e)所示，此时，仅在03范围内，乘积f1()f2(t-)不为零，故有,2.2.3 卷积性质,性质1 卷积代数,卷积运算满足三个基本代数运算律，即交换律,结合律,分配律,性质2 f(t)与奇异信号的卷积(1)信号f(t)与冲激信号(t)的卷积等于f(t)本身，即,(2.2-5),(2)信号f(t)与冲激偶(t)的卷积等于f(t)的导函数，即,(3)信号f(t)与阶跃信号(t)的卷积等于信号f(t)的积分，即,证 因为,所以，式（2.2-8）成立,（2.2-8）,性质3 卷积的微分和积分,证,(2)应用式(2.2-8)及卷积运算的结合律，可得,(3)因为,同理，可将f2(t)表示为,并进一步得到,当f1(t)和f2(t)满足,对另一个函数进行k次积分的情况，即,性质4 卷积时移,由卷积时移性质还可进一步得到如下推论：,若f1(t)*f2(t)=y(t)，则,式中，t1和t2为实常数。,(2.2-21),例 2.2 2 计算常数K与信号f(t)的卷积积分。解 直接按卷积定义，可得,常数K与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的K倍。,如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致,例 2.2 3 计算下列卷积积分：,解(1)先计算(t)*(t)。因为(-)=0，故可应用卷积运算的微积分性质求得,(2)利用卷积运算的分配律和时移性质，可将给定的卷积计算式表示为,(3)由于,因此，可直接利用卷积时移性质得到,图 2.2 3 例2.2-3图,图 2.2 4 应用T(t)产生周期信号,例 2.2 4 图2.2-5(a)所示为门函数，在电子技术中常称矩形脉冲，用符号g(t)表示，其幅度为1，宽度为，求卷积积分g(t)*g(t)。,解 方法一 图解法。由于门函数是偶函数，故其波形绕纵轴翻转180后与原波形重叠，图中用虚线表示。注意，t=0时，门函数左边沿位于x=-/2位置，右边沿位于x=/2位置，如图2.2-5(b)所示。在任一t时刻，移动门函数左边沿位于x=t-/2位置，右边沿则位于x=t+/2位置，如图2.2-5(c)所示。按照图2.2-5中卷积过程的图解表示，可计算求得：,图 2.2 5 例2.2-4方法一图,方法二 应用卷积运算的微积分和时移性质，可得,图 2.2 6 例2.2-4方法二图,2.2.4 常用信号的卷积公式,表 2.1 常用信号的卷积公式,2.3 系统的微分算子方程,2.3.1 微分算子和积分算子,式中，p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。这样，可以应用微分或积分算子简化表示微分和积分运算。例如：,性质1 以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。例如：,性质2 设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则,性质3 微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。例如，由下面方程,不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果。因为y(t)与f(t)之间可以相差一个常数c。正确的结果应写为,也不能由方程,通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得到y(t)=f(t)，因为y(t)与f(t)之间可以相差ce-at，其正确的关系是,性质4,2.3.2 LTI系统的微分算子方程,对于LTI n阶连续系统，其输入输出方程是线性、常系数n阶微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)，则可表示为,它代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故称H(p)为响应y(t)对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子。,图 2.3 1 用H(p)表示的系统输入输出模型,例 2.3 1 设某连续系统的传输算子为,图 2.3 2 例2.3-2图,解 选图中右端积分器的输出为中间变量x(t)，则其输入为x(t)，左端积分器的输入为x(t)，如图所示。写出左端加法器的输出,右端加法器的输出,求得图2.3-2系统的微分方程为,写出系统的算子方程,于是，得到系统的传输算子为,2.3.3 电路系统算子方程的建立,表 2.2 电路元件的算子模型,例 2.3 3 电路如图2.3-3(a)所示，试写出u1(t)对f(t)的传输算子。,图 2.3 3 例2.3-3图,解 画出算子模型电路如图2.3-3(b)所示。由节点电压法列出u1(t)的方程为,所以u1(t)对f(t)的传输算子为,它代表的实际含义是,例 2.3 4 如图2.3-4(a)所示电路，电路输入为f(t)，输出为i2(t)，试建立该电路的输入输出算子方程。,图 2.3 4 例2.3-4图,解 画出算子模型电路如图2.3-4(b)所示。列出网孔电流方程如下：,该方程组对新设变量而言是一个微分方程组，可以用代数方法求解，得,2.4 连续系统的零输入响应,2.4.1 系统初始条件,根据线性系统的分解性，LTI系统的完全响应y(t)可分解为零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)，即,分别令t=0-和t=0+，可得,对于因果系统，由于激励在t=0时接入，故有yf(0-)=0；对于时不变系统，内部参数不随时间变化，故有yx(0+)=yx(0-)。因此，式(2.4-2)和式(2.4-3)可改写为,同理，可推得y(t)的各阶导数满足,2.4.2 零输入响应算子方程 设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为H(p)，且,y(t)和f(t)满足的算子方程为,yx(t)满足的算子方程为,2.4.3 简单系统的零输入响应,简单系统1 若A(p)=p-，则yx(t)=c0et。,此时系统特征方程A(p)=0仅有一个特征根p=。将A(p)=p-代入式(2.4-10)可得,式中，c0=yx(0-)，其值由初始条件yx(0-)确定。因此，可得结论为,含义是：A(p)=p-对应的零输入响应yx(t)为c0et。,简单系统2 若A(p)=(p-)2，则yx(t)=(c0+c1t)et。,两边乘以e-t，再取积分,2.4.4 一般系统的零输入响应,对于一般情况，设n阶LTI连续系统，其特征方程A(p)=0具有l个不同的特征根i(i=1,2,l)，且i是ri阶重根，那么，A(p)可以因式分解为,式中，r1+r2+rl=n,根据线性微分方程解的结构定理，令i=1,2,.,l,将相应方程求和，便得,所以方程A(p)yx(t)=0,第一步，将A（p）进行因式分解，即,综上所述，对于一般n阶LTI连续系统零输入响应的求解步骤是：,第二步，求出第i个根 对应的零输入响应yxi(t),第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,l)相加，得到系统的零输入响应，即,第四步，根据给定的零输入响应初始条 或者0-系统的初始条件，确定常数,某例 2.4 1 某系统输入输出微分算子方程为,已知系统的初始条件y(0-)=3,y(0-)=-6，y(0-)=13,求系统的零输入响应yx(t)。,解 由题意知A(p)=(p+1)(p+2)2,所以,（2.4-16）,其一阶和二阶导函数为,(2.4-18),代入初始条件值并整理得,在式（2.4-16）(2.4-18)中，令t=0-,并考虑到,联立求解得c10=1，c20=2，c21=-1。将各系数值代入式(2.4-16)，最后求得系统的零输入响应为,例 2.4-2 电路如图2.4-1(a)所示，激励为is(t)，响应为iL(t)。已知R1=1，R2=5，C=0.25 F，L=2H，电容上初始电压uC(0-)=6 V，电感中初始电流iL(0-)=2A。试求t0时的零输入响应iLx(t)。,图 2.4-1 例2.4-2图,解 画出给定电路的算子电路模型如图2.4-1(b)所示，列出电路的回路电流方程,为确定式(2.4-19)中的待定常数，除应用电感初始电流iLx(0-)=iL(0-)=2A外，还需计算iLx(0-)值。为此，画出t=0-时的等效电路如图2.4-1(c)所示，由KVL可得,2.5 连续系统的零状态响应,2.5.1 连续信号的(t)分解,任一连续信号f(t)与单位冲激信号(t)卷积运算的结果等于信号f(t)本身，即,图 2.5-1 连续信号的(t)分解,可以从图形上定性地说明式(2.5-1)的正确性。,由图2.5-1可见，当0，即趋于无穷小量d时，离散变量k将趋于连续变量，式(2.5-3)中的各量将发生如下变化：,2.5.2 基本信号(t)激励下的零状态响应,1.冲激响应 一个初始状态为零的LTI连续系统，当输入为单位冲激信号时所产生的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)，如图2.5-2 所示。,图2.5-2 冲激响应的定义,2.冲激响应的计算 设LTI连续系统的传输算子为H(p)，现在讨论从H(p)出发计算冲激响应h(t)的方法。具体做法是先研究若干简单系统的冲激响应，再在此基础上推导出一般系统冲激响应的计算步骤。,简单系统1,此时，响应y(t)和输入f(t)满足的微分方程为,当系统的初始状态为零时，y(t)为零状态响应，上式可表示为,根据h(t)的定义，若在上式中令f(t)=(t)，则yf(t)=h(t)，所以有,这是关于h(t)的一阶微分方程，容易求得,于是,式中，符号“”表示“系统H(p)对应的冲激响应h(t)为”。,将这一结果推广到特征方程A(p)=0在p=处有r重根的情况，有,简单系统3,对于一般的传输算子H(p)，根据本书附录A的讨论结果，当H(p)为p的真分式时，可将它展开成如下形式的部分分式之和，即,综上所述，可以得到计算系统冲激响应h(t)的一般步骤是：,例 2.5-1 描述系统的微分方程为,求其冲激响应h(t)。,解 由系统微分方程得到相应的输入输出算子方程为,其H(p)可表示为,例 2.5-2 二阶电路如图2.5-3所示，已知L=0.4 H，C=0.1F，G=0.6S，若以us(t)为输入，以uC(t)为输出，求该电路的冲激响应h(t)。,图 2.5-3 例2.5-2图,解(1)列写电路输入输出方程。按图2.5-3，由KCL和KVL有,(2)求冲激响应。电路的输入输出算子方程为,根据式(2.5-5)，求得,2.5.3 一般信号f(t)激励下的零状态响应,图 2.5-4 系统的零状态响应,为了叙述方便，我们采用如下简化符号：,2.5.4 零状态响应的另一个计算公式,1.连续信号的(t)分解根据卷积运算的微积分性质，有,按照卷积运算的定义，信号f(t)可表示为,图 2.5-5 连续信号的(t)分解,上面在f(t)=f(t)*(t)的基础上，应用卷积的微积分性质得到了(t)分解公式(2.5-17)。如果在该式的基础上，再应用一次卷积的微积分性质，可得到单位斜升信号t(t)形式的分解公式，即,2.系统的阶跃响应 一个LTI连续系统，在基本信号(t)激励下产生的零状态响应称为系统的阶跃响应，通常记为g(t)。按照g(t)的定义，由式(2.5-16)知,再根据卷积运算的微积分性质和(t)的有关性质，有,所以阶跃响应g(t)与冲激响应h(t)之间的关系为,或者,3.利用g(t)计算零状态响应,例 2.5-3 某LTI连续系统N有A、B、C三部分组成，如图2.5-6所示。已知子系统A的冲激响应，子系统B和C的阶跃响应分别为gB(t)=(1-e-t)(t)，gC(t)=2e-3t(t)，系统输入f(t)=(t)-(t-2)，试求系统N的冲激响应、阶跃响应和零状态响应。,图 2.5-6 例2.5-3图,解(1)系统N的冲激响应。设子系统B、C的冲激响应为hB(t)和hC(t)，由式(2.5-21)可得,按照冲激响应的定义，它是f(t)=(t)时系统的零状态响应，故由图2.5-6可知，系统N的冲激响应为,(2)系统N的阶跃响应。设系统N的阶跃响应为gN(t)，根据式(2.5-20)，有,(3)系统的零状态响应。,方法二 因为已经求得系统的阶跃响应,它是输入为(t)时对应的零状态响应。现在题中给定f(x)=(t)-(t-2)，是一个阶跃信号与另一个位移阶跃信号的组合。所以，可利用阶跃响应和系统的线性、时不变特性直接求得,例 2.5-4 已知某连续系统的微分方程为,若系统的初始条件y(0-)=y(0-)=1，输入f(t)=e-t(t)，求系统的零输入响应yx(t)，零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。,解,(2)零状态响应。按附录A方法将H(p)展开为,(3)完全响应。,例 2.5-5 描述某LTI系统的微分方程为,解,令其t=0+时有,写出系统传输算子，并进行部分分式展开，有,本例中，A(p)=p2+3p+2。根据式(2.4-15)可得系统的零输入响应为,例 2.5-6 已知某LTI连续系统的冲激响应h(t)=(t)-(t-1)，输入f(t)=(t+2)-(t-2)。若以t=0为初始观察时刻，试求系统的零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)，并画出波形。解 以初始观察时刻t=0为时间分界点，将输入区分为历史输入f1(t)和当前输入f2(t)，即,所谓零输入响应，是指历史输入f(t)作用于系统，在t0区间上产生的响应，即,画出g(t)波形如图2.5-7(a)所示。再画出g(t+2)-g(t)波形如图2.5-7(b)所示，其中t0部分代表yx(t)。于是,图 2.5-7 例2.5-6图,当输入f2(t)作用于系统，在t0区间上产生的响应为零状态响应，即,2.6 系统微分方程的经典解法,2.6.1 齐次解和特解,按照微分方程的经典解法，其完全解y(t)由齐次解yh(t)和特解yp(t)两部分组成，即,1.齐次解 齐次解yh(t)是下面齐次微分算子方程,满足0+初始条件y(j)(0+)(j=0,1,n-1)的解。,首先，将A(p)因式分解为,式中，i为特征方程A(p)=0的第i个根，ri是重根的阶数。,然后，分别求解算子方程,得到齐次解的第i个分量，即,最后，将各分量相加，求得齐次解,表 2.3 特征根及其相应的齐次解,2.特解,表 2.4 几种典型自由项函数相应的特解,2.6.2 响应的完全解,将微分方程的齐次解和特解相加就得到系统响应的完全解，即,对于n阶系统，需要通过n个初始条件来确定完全解中的待定系数。,例 2.6-1 给定某LTI系统的微分方程为,(1)当输入f(t)=e-t时，由表2.4可设微分方程特解为,在上面两式中，令t=0，并考虑已知初始条件，得,(2)当输入f(t)=10 sin t，t0时，由表2.4知，其特解可表示为,相应一阶导数,一个连续系统的完全响应，可以根据引起响应的不同原因，将它分解为零输入响应和零状态响应两部分。也可以按照数学上对系统微分方程的求解过程，将完全响应分解为齐次解和特解两部分。其中，齐次解的函数形式仅取决于系统本身的特性，与输入信号的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应。但应注意，齐次解的系数值是与输入信号有关的。特解的形式由微分方程的自由项或输入信号决定，故称为系统的强迫响应。,如果输入是阶跃信号或有始周期信号，那么也可将系统响应分解为暂态响应和稳态响应。完全响应中暂时存在的分量称为暂态响应，随着时间的增长，它最终将衰减为零；响应中剩余部分称为稳态响应，通常也由阶跃信号或周期信号组成。在式(2.6-12)中，由于输入的是负实数指数信号，响应中对应的特解部分随t的增长最终衰减为零，故在完全响应中只包含暂态响应，而没有稳态响应分量。,例 2.6-2 某连续系统的输入输出方程为,已知f(t)=(t)，y(0-)=1,y(0-)=2，试计算y(0+)和y(0+)值。解 由于输入f(t)=(t)时，微分方程式(2.6-14)右端含有(t)项，故方程左端y(t)项也应含有(t)项。这样y(t)应含有(t)项(即y(t)在t=0处具有幅度为1的跃变)，而y(t)在t=0处连续。所以,将y(0-)和y(0-)值代入上式，得,