解线性方程组的消元法.ppt

1,2.4 解线性方程组的消元法,一.问题的引出,二.高斯消元法,三.高斯若当消元法,2,由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克兰姆法则求出方程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列式的阶数和个数也增多，从而运算量也越来越大，因此在实际求解中该方法是行不通的.,1.问题的引出,3,例2.13 解线性方程组,解,4,消元过程总共作了三种变换：（1）交换方程次序;（2）以不等于零的数乘某个方程;（3）一个方程加上另一个方程的倍.,注：由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行3种初等运算：,(1)对调矩阵的两行。,(2)用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。,(3)将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后加到另一行对应元素上。,统称为矩阵的初等行变换,5,注：,通常称(1)对换变换(2)倍乘变换(3)倍加变换,1）矩阵的初等变换:矩阵的行变换;矩阵的列变换。,逆变换,逆变换,逆变换,记作,(1),(2),(3),2）初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同。,6,定义3：由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,初等矩阵,7,(1)对调两行或两列，得初等对换矩阵。,8,9,10,初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。,注：,11,如果矩阵 经过有限次初等变换变为矩阵，则称矩阵 与 等价，记作：,定义,注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵。任意一个矩阵总可以经过左乘一系列初等矩阵而化为阶梯形矩阵,2.高斯消元法,设,12,若系数行列式，即方程组有唯一解，则其消元过程如下：,作,主元,13,照此消元，直至第 步得到三角形方程组,14,接下来的回代过程首先由最后方程求出，依次向上代入求出 即可。,回代过程,和 的计算公式,回代公式,15,高斯消元法用矩阵初等变换的方法表示就是,16,高斯消元法的改进,