维变换及二维观察.ppt

计算机图形学,第六章 二维变换及二维观察(1),本课教学目的:掌握二维图形的矩阵方法，主要包括平移、缩放、旋转、拉伸变形以及复合变换方法。了解计算机动画制作的基本方法。重点：二维图形的平移、缩放、旋转、拉伸变换矩阵的掌握。难点：复合变换方法,第三章 二维图形变换,1.1 二维图形变换的概述 图形变换指对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形，它提供了构造或修改图形的方法。如 平移、缩放、旋转、拉伸变形图形是点的集合。在二维空间里，一个点可以用两个坐标来表示，如 x,y 也可以是 x。,第1节 二维图形的矩阵方法,y,A=,其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素矩阵的行、矩阵的列、方阵,1.2 矩阵和齐次坐标矩阵：由mn个数按一定位置排列的一个 整体，简称mn矩阵。,矩阵运算加法设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵A+B=数乘kA=k*aij|i=1.m,j=1,.n,变换的数学基础,乘法设A为23矩阵，B为32矩阵 C=A B=,齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2,Pn)表示为（hP1,hP2,，hPn,h），其中h称为哑坐标。注意：1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由普通坐标h齐次坐标 由齐次坐标h普通坐标,齐次坐标,3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。,1.便于表示无穷远点。例如：（a,b,h)，令h等于0齐次坐标可以把几种变换统一表示。如二维空间中，图形变换矩阵可以表示为,齐次坐标的作用,二维图形的几何变换,从变换功能上可把T2D分为四个子矩阵,=(x y i)=(x/i y/i 1),1.3 平移变换,平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状 x*=x+c y*=y+f,1.4 旋转变换,注意；是逆时针旋转角度。,x*=ax a0 y*=ey e0 以坐标原点为放缩参照点当a=e=1时：恒等比例变换当a=e1时：沿x,y方向等比例放大。当a=e1时：沿x,y方向等比例缩小当ae时：沿x,y方向作非均匀的比例变换，图形变形。,1.5 比例变换,1.6 对称变换,与y轴对称的反射变换。(x*y*1)=(-x y 1),2.与x轴对称的反射变换。(x*y*1)=(x-y 1),3.与原点对称的反射变换。(x*y*1)=(-x-y 1),4.与y=x对称的反射变换。(x*y*1)=(y x 1),5.与y=-x对称的反射变换。(x*y*1)=(-y-x 1)：,1.7 错切变换,错切变换是使图形产生一个扭变。（1）沿x方向的错切 x*=x+by b0 y*=y x坐标随原坐标（x y）和系数b作线性变化。b0，图形沿+x方向作错切；b0，图形沿-x方向作错切；,（2）沿y方向的错切 x*=x y*=dx+y d0 y坐标随原坐标（x y）和系数d作线性变化。d0，图形沿+y方向作错切；d0，图形沿-y方向作错切；,直线的变换,直线的变换可以通过对直线的两端点进行变换，从改变直线的位置和方向。直线可表示为：然后与变换矩阵相乘：,*T,*T,多边形的变换,首先将多边形各个顶点坐标写成矩阵形式，然后与变换矩阵相乘。N个顶点多边形可表示为：然后与变换矩阵相乘：,*T,*T,1.8 复合变换,以上所讨论的图形变换是相对于坐标原点或坐标轴来进行的。在实际中，常常需要相对于任意点或任意轴来进行变换。如要相对某一点(xf,yf)作比例、旋转变换。其过程是：先把坐标原点平移到(xf,yf)；在新的坐标系下作比例或旋转变换；再将坐标原点平移回原坐标系。其变换矩阵如下：,（1）相对(xf,yf)点的比例变换矩阵：（2）相对(xf,yf)点的旋转变换矩阵,讨论：对正方形ABCD变形成为ABCD，求其变换矩阵,B,C,