结构随机振动-欧进萍.ppt

结构随机振动01,教材:1.Stochastic Structural Dynamics In Earthquake Engineering 2.结构随机振动 欧进萍 王光远,第一章 工程系统中的随机性1.1 随机结构动力学的研究对象我们知道有这样一类载荷:作用在楼房和桥梁上的风载荷;作用在海洋平台和船舰上的水动力荷载;作用在楼房和坝体上的地震荷载.这类荷载的特点是随时间在强度和频率含量有很大的变化.对于这类载荷中的一条记录,它是确定的,用在以前的结构动力学的课程中知识我们可以求得数值觧.但是这样的一个觧很少有实用价值,原因是我们用的一条记录,那是以前发生的,将来发生的记录是不会和过去的记录一样的.这样,我们不能知道将来的精确的情况,但还要估计一个大概可能的结果.这就是随机动力学要解决的问题.如果结构本身的参数也存在不确定性,这更是随机结构动力学要解决的问题.,我们把这类载荷称为随机过程,我们知道这类载荷的输入具有一定的统计特性,即均值,方差等等,我们想知道输出的统计特性.这就是随机结构动力学要研究的对象,显然它不同于我们已经学过的结构动力学课程.这门课程的先修课程为概率论,随机过程,和确定性振动理论.,1.2 问题的分类按随机性的来源分:一个是激励过程的随机性,这是随机振动理论主要解决的问题;一个是振动系统的参数的随机性,这是参数随机振动理论.正问题和反问题:已知输入和系统求输出这是正问题,称为响应确定问题;已知输入和输出求系统的参数这是反问题,称为系统识别问题,我们这门课程不涉及,有专门课程.非线性的来源分:一个是振荡系统的力学参数的非线性,对于地震工程来说,一般是指迟滞行为,这样的系统常常显示复杂的非线性现象,例如多吸引子,跳跃现象,分岔和混沌;,3.(续上)另一个非线性来源于力函数机理,指输入的非线性.4.最后,另一个分类准则是基于动力问题的力和响应的统计特性,例如高斯分布,平稳性等等.,第二章 随机变量和随机过程2.1 引论这一章的目的是介绍概率论的基本概念,随机变量的统计特征和随机过程.这些知识和结构动力学知识在一起就可以了解以后的章节的内容.这一章具体要掌握:1.什么是随机变量和随机向量?怎样描述它们的统计特性?2.作用在随机变量和随机向量的算子怎样改变它的统计特性?3.哪些统计分布通常利用于描述物理现象?4.什么是随机过程?它与随机变量怎样不同?,5.平稳的,非平稳的和各态历经的随机过程的差别是什么?6.从设计者的角度来看,描述结构动力学涉及的随机过程的必要的统计测量是什么?,2.2 概率论的概念 在自然界或社会活动的许多方面存在着不确定性参数.它们都是一些可测的量(一场地每天最大的温度,机场乘客数,某种股票交易指数,一指定场地期望出现的下一次严重地震的震级)和不可测的量(下一次选举的赢者,某一任务的后果).对于这些不确定性参数的可能取值(或可能后果)需要用概率来描述.我们把某一不确定性参数说成一个事件,这个事件的一个可能后果为,所有可能后果组成一个集合,把它称为样本空间;样本空间的每个元素称为样本点.现在我们对某个事件做试验,试验次数是一个大数,那么可能的样本点 出现的次数为 那么有,为样本空间的样本点数,每一个可能后果出现的相对频率为,很清楚有 和,概率 在相对频率中 趋于无穷大时,那么某一后果 出现的概率为,Bernoulli大数定理可以证明上面的式子,即有,2.3 随机变量 定义随机变量 是一个函数,是样本空间到实数域的映射.这样就可以用代数来运算概率.,样本空间,实数域,映射,我们用大写字母来表示随机变量,用相应的小写字母表示它的一个实现,并且为了简单随机变量 写成.随机变量分为离散的和连续的.,2.3.1 随机变量的概率分布,在概率意义上如何完整描述一个随机变量?它依赖于确定控制样本空间中每一样本点实现的相对频率的概率分布.对于离散随机变量的概率分布一般是根据概率函数来表示.而连续随机变量是利用概率密度函数来表示.这两类随机变量都可以用累积分布来表示.定义累积分布(cumulative distribution).考虑事件,这个可能事件是对应这个随机变量X的许多值(或无穷多个值)成为现实,并且这个不等式实现的概率包括随机变量X的这些值的每一个实现的概率.因此我们定义累积分布为,这是x的单调增加函数,具有,对于离散随机变量,假定实现值,那么相应的累积分布定义为,对于连续随机变量,定义累积分布 的导数为概率密度函数p(x)(the probability density function).即有,2.3.2 随机向量的概率分布,许多物理现象是被随机向量所描述.这个向量是由两个或两个以上的随机变量所组成,这些随机变量在统计意义上可能是互相独立,也可能是互相不独立.,随机向量的统计描述是这些随机变量的联合概率分布(the joint probability distribution).假定有两个随机变量,描述一个随机事件.定义联合累积概率函数 为,很清楚,这个函数要满足下面的边界条件:,随机向量 的联合概率密度函数定义为 的偏导数:,因此,边缘一维概率函数(the marginal one-dimensional probability functions)可以从相应的联合概率密度函数导出,即,条件概率.定义为在已知随机变量 取一个值 的条件下,另一个随机变量 取一个值 的概率.条件概率密度函数为,上式要求.进一步当,那么,如果两个随机变量统计独立,那么,和,N维概率密度函数,边缘概率密度函数和条件概率密度函数分别为(mn):,数值例子.如果两个随机变量 的联合概率密度函数为,证明 是统计独立的.,因为,所以 是统计独立的.,2.3.3 统计矩(Statistical Moment),引言 实际上想要确定一个概率函数是很困难的,甚至是不可能的,有时也不是绝对需要的.例如,混凝土的强度的实验估计几乎不可能确定支配样本强度值的精确概率法则.通常实验室试验的目的是估计平均强度值和偏离这个平均强度值的程度.从设计的观点看,确定某些统计参数-所谓统计矩-是足够的,因为这些参数包含了概率函数形状和性质的重要信息.,平均(期望)值 mean(expected)value 为了定义统计矩,我们需要介绍随机变量 或随机变量 的函数 的平均(期望)值的概念,它被定义为以下的一个线性操作.,对于离散随机变量:,对于连续随机变量:,如果,那么函数 的平均值被称为n-阶统计矩,记为.最有用的统计矩是一阶矩和二阶矩,分别称为均值和均方值:,如果,那么函数 的平均值被称为n-阶中心统计矩,记为.最有用的中心统计矩是二阶中心矩,被称为方差(variance),即,方差和它的根(标准差standard deviation)是测量随机变量偏离均值的离散程度.,变异系数(coefficient of variation)定义为:,它是无量纲测量随机变量偏离均值的离散程度.,偏度系数(skewness)定义为:,这个无量纲系数提供概率密度函数形状的对称性信息.概率密度函数 是对称于平均值.概率密度函数集中在左边,而 概率密度函数集中在右边.,峰度系数(kurtosis)定义为:,这个系数提供随机变量的概率密度函数离开均值接近于零的速率.值大表明分布的尾部厚度增加,这样在离平均值一定距离的极值实现的概率比较高.,值得注意,了解 对于一个随机变量的统计特性往往是足够的,并不要求概率密度函数的完整的描述.,把上面的关系推广到 个随机变量的情况,函数 的平均值定义为,假定有两个随机变量 和 的均值分别为 和,那么定义两个随机变量的相关(corelation)和协方差(covarince),定义两个随机变量的无量纲的相关系数,可以证明,如果两个随机变量的均值为零,那么,如果,那么两个随机变量 的被称为不相关.,如果 那么两个随机变量 被称为统计独立,因此有,2.3.3.1 数值例子 求证,证明:,2.3.3.2 数值例子 求证,证明:,2.3.3.3 数值例子 求证两个随机变量 的相关系数 的范围为,证明:,假定这两个随机变量 的均值分别为,那么我们定义两个新随机变量,对于任何实数,两个随机变量取任意值,不等式 都成立.因此有,要使上面的右边的不等式,即关于 的一元二次方程的不等式,成立,那么它的判别式一定要小于等于零.即有,我们来进一步证明上面推理成立,上面左式得到,即得到上面右式,2.3.4 特征函数,特征函数定义为,特征函数或矩生成函数可以用来确定统计矩的另外一种方法.,对特征函数做泰勒级数在 处的展开:,其中:,所以,对特征函数的对数也做泰勒级数在 处的展开:,所以:,其中:,系数 被称为半不变量或累积量(semi-invariants),它与统计矩有关,即,无量纲系数 可以用半不变量来表示:,上面的关系也可以推广到n个变量的情况.这里给出前三个联合半不变量,定义如下:,2.3.5 车比雪夫不等式(Chebyshevs Inequality),引入车比雪夫不等式的目的.在结构分析和设计中,目的是估计应力或应变响应超过某一极限的概率.为了完成这个目的,我们需要确定感兴趣的随机响应量的分布.如果这样的确定不能达到,人们就要利用近似技术来计算它们超过某一极限的概率.这个技术是基于车比雪夫不等式并考虑均值 和标准 差.,车比雪夫不等式为,来证明这个不等式:,(a)根据定义有,(b)另外有,(c)考虑到积分极限有,所以:,比较(a)和(c)车比雪夫不等式得到证明.,结构随机振动02,2.4 随机变量的变换 问题的提出 感兴趣的工程中的许多量是随机变量 的线性或非线性的变换.假定 定义为 的一一对应.的任一值是一个随机事件,因为它联系随机变量 的一个指定值的实现.问题是:已知 的累积分布 和概率密度函数,随机变量 的累积分布 和概率密度函数 是什么?条件是随机变量 是连续的,函数 是单调增加(或减少)的,并且可微的,我们得到,证明上式,(a)假定 是增函数,那么,对上式求导数得到概率密度函数:,(b)如果 是递减的,那么,对上式求导得到概率密度函数:,(a)和(b)考虑在一起就证明了上面的问题:,如果 不是一一对应 假定随机变量 的 个值 满足方程,那么这个变换关系为,例题2.4.1 如果随机变量 有零均值概率密度函数,我们来确定随机变量 的概率密度函数.,我们知道随机变量 的每一值 对应随机变量 的两个值,那么有,考虑对称性 上式变为,一个随机向量 的一一对应的n-维变量的映射:那么概率密度函数变换为,其中 是雅克比(Jacobian)变换,如果 是 维,并且,这种情况可以把 扩充为 维,方法如下:,利用边缘概率密度函数的概念有,如果 我们有,那么有,2.5 一些有用的概率分布,2.5.1 正态分布(或高斯分布)Normal(or Gaussian)Distribution,随机变量 的正态分布标记为,概率密度函数为,正态分布是关于平均值 对称的,并且.另外半不变量.标准状态分布为,正态随机变量有些很有用的性质.在工程应用中最重要有:,如果 是正态随机变量 的线性变换,那么 也是正态分布的随机变量.如果,那么.也就是高阶统计矩都可以用 和 来表示.如果 是统计独立的随机变量,并且有有限均值和标准差,那么随机变量 当 时它的分布趋于正态分布.这个性质就是中心极限定理.任何具有均值 方差 的非正态随机变量的概率密度函数可以近似用标准正态分布,高阶半不变量 和Hermite多项式 来表示.令,这个非正态随机变量的概率密度函数表示为,其中,n-维正态分布随机向量 的概率密度函数为,其中:,称为协方差矩阵,正态随机向量 的一个极其有用的性质是:,其中,例题2.5.1.1 如果随机变量,相关系数为 求证,我们取,有,证毕.,2.5.2 瑞利,韦布尔,泊松,平均分布,瑞利(Rayleigh)分布:,在研究随机振动的振幅值,以及在噪声理论中很有用.,韦布尔(Weibull)分布:,许多产品的寿命(如轴承的疲劳寿命)服从这个分布.,泊松(Poisson)分布,它是离散型随机变量的一种重要分布,它的概率分布为:,其中.泊松分布的均值和方差都等于.,平均分布(uniform distribution):,一般随机初相角被认为是在 区间内是平均分布的.,课堂练习:,1.如果 和 是两个统计独立的,概率分布分别为 的随机变量,确定随机变量 的概率密度函数.,2.确定随机变量 的概率密度函数,假定,3.如果两个随机变量 和 都服从标准正态分布N(0,1),相关系数为,求.可以利用例题的结果.,2.6 随机过程(Stochastic Process),什么是随机过程?我们回忆一下随机变量的定义.它是概率空间到实数域的一个映射,即,简写为.如果概率空间的每一元素被映射为与时间有关的一条随机变化的记录,即,简写为,这被称为随机过程.这实际上随机过程是这些随时间变化的记录的集合.那么如何描述一个随机过程?每给一个时刻,那么每一条记录在这一时刻对应的值,构成一个随机变量.如果在 个时刻,那么有 个这样的随机变量 即,简写为,所以随机过程也可以定义为一组随机变量的集合.就可以用描述随机向量的方法来描述这个随机过程.完整地描述一个随机过程需要确定 阶的联合概率密度函数.即,2.7 非平稳,平稳和各态历经随机过程这一节来处理随机过程的两个基本性质.第一是关于指定时刻 的随机变量 的统计特性的依赖性;第二是关于前面通过集合分析得到的统计特性是否可以通过对每一条记录的统计特性分析来代替.,非平稳和平稳(Non-stationary and stationary)随机过程,如果指定时刻有一个延迟 时间,下面的关系成立,那么这个随机过程就是平稳随机过程.,不满足这个关系就是非平稳随机过程.强地面运动就是属于非平稳随机过程.,各态历经随机过程(Ergodic Stochastic Processes)平稳随机过程依赖于时间的统计特性是通过样本空间的不同实现的“竖向”分析得到的,如果它们和任意一条记录(实现)的“横向”分析的统计特性一致,那么这个平稳随机过程被称为各态历经的随机过程.,平稳和各态历经随机过程的关系.一个各态历经的随机过程一定是平稳的;而平稳的随机过程不一定是各态历经的.,弱平稳和弱各态历经,上面的随机过程的数学分类是很严格的.要求 阶的联合概率密度函数是很少能做到.一般就要放松这个定义,只需平均值和相关函数保持平稳就可以.这样就有所谓弱平稳随机过程,也称为广义平稳随机过程.如果,那么这个弱平稳随机过程是弱各态历经的.,2.7.1 数值例子,证明随机过程 是平稳和各态历经的随机过程.其中 是正常数,而 在区间 中均匀分布.,(a)垂直分析:,(b)横向分析:,证毕.,2.8 平稳-各态历经随机过程的统计描述 各态历经过程是被假定的,没有经过数学证明.在各态历经的假定下,一条记录分析得到的统计特性可以被认为是整个随机过程的特性.让我们假定一个各态历经随机过程 有一条足够长的总持时为 秒记录.一个随机过程 的第一水准分析包括均值,方差,和变异,偏度和峰度等无量纲系数.这些统计特性的计算足够近似估计随机过程 包括一阶统计描述的分布.很自然,第一水准统计描述是有限的,并且是不够的.它没有关于这个随机过程的相邻值的相关和依赖程度的信息.两个具有相同一阶统计特性的随机过程可以显示不同的形状(如图2-7).这个差别不是局限于时域变化,它是反映这两个记录的频率含量.前者有比较宽的频率含量,后者有比较窄的频率含量.,上面的例子说明需要了解关于随机过程的时间进程和频率含量.也就是需要引入统计分析的二阶或高阶项.,2.8.1 自相关函数(Autocorrelation Function),一个平稳/各态历经的随机过程 的时间进程的一个非常有用的统计特性被表示为自相关函数,它揭示了随机过程的不同的两个时刻 的值 的相关程度.是时间延迟.自相关函数定义为:,自协方差函数(Cross-correlation Function)定义为:,自相关函数的性质,互相关函数,互协方差函数与其性质,1.互相关函数:,2.互协方差函数,3.主要特性,a)不是偶函数,但有,b)极大值不在 处,但有,2.8.2 功率谱密度函数(Power Spectrum Density Function),随机过程的二阶统计信息是在时间域中求得的,在频率域中也有相应的表示,即功率谱密度函数.对于 平稳随机过程的功率谱密度函数它是和这个平稳随机过程的相关函数形成Fourier变换对.,功率谱密度函数是偶函数,即,在负频率处的功率谱值没有直观的物理意义,在工程应用中,往往引入单边功率谱密度函数,功率谱密度函数下的面积等于均方值,即,互功率谱密度函数,定义为,主要性质:,(1)它们一般不是实数;(2)它们一般不是偶函数,但满足下面关系,(3)它们的模满足下面关系,注意:互谱没有明显的物理意义,但随机振动计算涉及它们.,2.9平稳-各态历经随机过程的线性变换,微分操作,这个式子说明一个随机过程和它的时间导数是不相关的.,卷积积分,其中 是 的Fourier变换,星号 表示共轭函数.,例题 白噪声过程 在频率域 范围,其自功率谱为一常数,研究其自相关函数.,解,先研究限带白噪声:,讨论:,其中 是Dirac函数,它有如下的性质:,自相关函数见图,自相关函数是一直线,结构随机振动03,2.10 正态-高斯随机过程,我们已经知道随机过程的完整的统计描述是要求确定它的n-阶概率密度函数,并且这也是不现实的.对于大多数情况,一般仅限于了解随机过程的一阶概率密度函数(常常只通过了解某种统计矩)和二阶功率谱密度函数(或是自相关函数).但是这些有限的信息是不可能唯一确定一个随机过程,因为有许多具有这样的统计信息,但它们有明显不的性质.,尽管这样,对于我们经常遇到的正态平稳/各态历经的随机过程,知道功率谱密度函数(或相关函数)就足够描述这个随机过程的完整统计特性.因为高阶的统计信息可以从二阶统计信息来构成.我们在前面已经接触过.,上面提及的正态平稳随机过程性质,再加上这种随机过程的线性变换的正态性的保持,使得它的功率谱密度函数和相关函数在线性随机振动中有很大用处.,2.11 窄带随机过程的包络和极值,什么是窄带随机过程?对于功率谱密度函数的最简单的模型是所谓带限噪声如图所示.,(1)当 它是简谐(单色)随机过程;,(2)当 它是白噪声随机过程.,窄带随机为什么研究过程?对于一个振荡系统,它相当于一个滤波器,它的输出一般是比输入的带宽要窄.这个窄带输出的较高阶的统计特性是很重要的,因为它超过极值的概率涉及结构的倒塌;它超越某一中间界限的次数涉及结构的疲劳损伤.,窄带随机过程的极值的研究.一般对于对于一个随机过程的极值的研究是相当复杂的,因为在指定时间间隔内某一幅值的极值出现的概率要涉及高阶联合统计特性.但是对于一个窄带随机过程这种分析要简单得多.,我们假定一个窄带随机过程,它具有随机幅值(它相当于 的包络),循环频率(相应于 的中心频率)和随机相角,设为,假定这个窄带随机过程 是正态分布的,上面提及的参数可以确定如下:,期望中心频率 是,包络 是,随机相角 的概率假定为在 是均匀分布,考虑到 和它的导数 是正态平稳/各态历经的随机过程,那么包络过程 的概率密度函数 是瑞利分布(Rayleigh distribution).,随机过程的交差问题 如果随机过程 表示一个振荡器的响应,那么上面提及的包络过程的统计特性提供了一个期望交差率(单位时间交差次数的期望值)的估计手段和响应界限 之间的时间的估计手段.正交差率(即从下面向上穿过界限 的次数)的期望值 是,对于正态随机过程,这个量等于,从上面公式可以得到一个正态窄带随机过程0界限()的交差率为,它可以用来估计振动的平均频率,进而估计在给定时间内的振动的平均循环数.,第三章 单自由度系统对随机输入的响应3.1 引言 这一章的目的:(1)介绍一些基本动力性质,包括SDOF系统的单位脉冲响应和复频率响应函数;响应的相关函数和功率谱密度函数;在时间域和在频率域响应都等于结构性质乘以荷载.(2)详细介绍荷载为正态分布的白噪声的解.(3)SDOF系统的动力响应的极值的统计分析.,3.2 问题的描述,图示SDOF系统,是地震动,假定是各态历经的平稳随机过程的一个实现.,是对 的一个响应.,我们希望这个响应不要超过某一极限值,否则结构要倒塌.这里必须在统计意义上来研究.即要研究:,其中 是y的概率密度函数,是倒塌的概率.,是概率密度函数,是所有可能的实现 的概率描述.那么我们怎样来得到它,本质上说是这一章的任务.,3.3 SDOF系统,图示系统的运动方程为,为了方便两边除以M,得到,3.3.1 时间域求解,注意:(1)上面积分在 为零,因为此时荷载 为零.,(2)对初始条件即初位移和初速度的响应没有包括,因为这部分随时间推移会衰减掉的.,(3)是脉冲响应函数(脉响函数).因为我们输入一个脉冲得到的响应就是它.,3.3.2 频率域求解,我们对运动方程 作Fourier变换得到,解为,其中 为复频率响应函数等于,注意:(1)是 的FT.,(2)时间域的单位脉冲函数的卷积积分被频率域的简单乘法所替代.,(3)复频率响应函数说复数可以写成,3.4 SDOF系统的随机响应,正态分布的假定,假定响应 是正态分布的,那么就需要计算两个统计量,当 的极限.通常对于处于弹性,并且在初始平衡位置的SDOF系统.,如何计算?如果利用上面的式子,它需要很长的持时,理论上是无穷长.所以我们可以用别的方法.下面先介绍Parseval定理.,3.4.2 Parseval定理,Parseval定理为:如果 是两个各态历经的过程,它们相应的Fourier变换为,那么,令,上面关系变为,最后我们得到:,在上面式子中定义,为功率谱密度函数.,可以证明这个定义和我们前面定义的相关函数的Fourier变换为功率谱密度函数是一致的.最后我们得到,物理意义:,3.5 频率域解 3.5.1 功率谱密度函数,我们知道,两边作Fourier变换有,所以,这和前面得到的式子一样.,上面式子两边乘以它们的共轭再除以T,并令 得到,有,这样得到,用上面公式可以计算,另外,这样就可以利用Chebychev不等式或者正态分布函数来计算超过预定位移限值的概率.,3.5.2 自相关函数,各态历经型的随机过程,例如荷载函数,它的自相关函数定义为,两边作Fourier变换得到,再作Fourier逆变换得到,上式如果,我们得到,3.5.3 举例例题1例题2,3.6 在随机荷载下的单层框架结构的设计通过两个例题来说明.例题1例题2,3.7 随机动力响应的极值,3.7.1 显著频率 如果响应 是正态分布,具有 的psdf,那么在单位时间 内穿过 的平均交差数 为,上面式子中的两个积分可以利用残数方法去做,在特殊情况下可以简化.(1)是小阻尼,(2)随机荷载谱接近常数 有,这样得到,形状频率为,在单位时间 内穿过非零界限 的平均交差数为,其中 的方差 为,3.7.2 响应的包络函数 的瑞利分布函数,如果sdof系统有小阻尼,并且随机荷载有较宽的频带 即,那么响应可以写为,其中位移幅值的包络,相角在 平均分布.,我们假定随机变量 和 的联合分布概率密度函数为,这两个变量是独立的所以有,这是瑞利分布.相角的概率密度函数为,3.7.3 举例,基于上面分析,包络函数 超过指定值 的概率为,这两个随机量的平均值为:,结构随机振动04,第四章 多自由度系统对随机输入的响应,4.2 Mdof系统随机动力分析原则,线性系统的运动方程,这里阻尼是相对简单的类型被称为Rayleigh阻尼,阻尼矩阵可以是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合:,线性mdof系统的分析可以有四种方法:,物理坐标,广义坐标,时间域,频率域,1,2,3,4,4.2.1 时间域分析(物理坐标下).,运动方程的解为,其中 是 的脉冲响应矩阵.其中元素 表示:在第 个物理坐标上作用一个单位脉冲,在第 个物理坐标上的响应.,如果荷载向量 是正态分布的,那么正态响应 的统计描述由均值向量 和相关矩阵(或协方差矩阵)完成确定.,a)均值向量为,后面的等式成立是对于平稳过程而言,它具有与时间无关的均值向量.,b)假定是零均值,平稳正态的激励向量,那么有,均方值矩阵为,频率域分析(物理坐标),对运动方程两边做Fourier变换可以得到:,其中,称为频率响应矩阵,在前一节有:,两边做Fourier变换得到,比较频率域的,有,互成Fourier变换对.,频率响应矩阵的元素 是第k个坐标有一个单位简谐激振,在第j个坐标响应幅值.即,均值向量可以写为,参考本页第一式,对时间域的相关矩阵的公式做Fourier变换,可以得到,均方响应矩阵,4.2.3 时间域分析(广义坐标),将mdof系统解偶,成n个独立方程.坐标变换从物理坐标到广义坐标,坐标变换矩阵为振型矩阵.设,为广义坐标.代入运动方程,然后用 前乘方程两边得:,考虑到振型矩阵对质量矩阵和刚度矩阵的正交性,又假定阻尼矩阵有,所以上面方程就可以解偶成:,其中 是广义力向量 中的第j个分量.,展开写为,解偶的方程的解为,其中,最后得到mdof运动方程的解为,比较时间域(物理坐标)的解得到,均值向量和相关矩阵为,4.2.4 频率域分析(广义坐标),上一节得到的解耦运动方程为,两边做Fourier变换得到:,其中 是解耦的第j个运动方程的频响函数,即,这样把n个解偶方程的频率域的解写在一起得到,其中 称为频率域广义坐标下的频响矩阵,它是一个对角矩阵.,频率域物理坐标下的频响矩阵与上面的频响矩阵的关系为:,它是 两边做Fourier 变换得到的.,下面我们在广义坐标下表示响应的功率谱密度函数.我们曾经得到物理坐标的响应的功率谱密度函数为,我们把 代入上式得到:,我们知道广义力向量为 那么它的相关矩阵为,即,两边做Fourier变换得到,于是得到,第j个物理坐标的响应的psdf为:,这个式子可以把各个模态的独立贡献和耦合影响分开,即,令,那么对第j个物理坐标的响应的psdf积分得到响应 的方差,4.2.5 例题 假定广义力向量 的psdf矩阵 对所有频率都是常数(白噪声假定),即,计算系数,根据公式,那么,积分得到,上面积分利用了Elishakoff1983年的结果.,4.3 两个自由度系统在白噪声激励下的响应分析,图示系统,运动方程为,其中,可以求出系统的两个频率和振型,相应的两个模态阻尼比为,激励被假定正态平稳的白噪声仅作用在第一个质量上,荷载过程的psdh矩阵为:,在频率域的物理坐标下求解,首先要求出频响矩阵,在第一坐标作用,响应 代入运动方程得到,求解上面方程得到,见书上的公式.同理可以得到,4.3.1.1 例题 上面的运动方程计算响应的方差.,a)按照方程,我们有,所以得到系统响应的psdf:,b)第一坐标响应方差为,其中,同样可以计算第二坐标响应方差,讨论,频率域广义坐标下的解,将运动方程,其中,做如下的坐标变换,得到,这里 那么,广义力的psdf矩阵,输出psdf矩阵,其中,所以,响应的方差,上面在频率域内积分得到,分析上面的式子.前两项是两个模态的单独贡献,第三项是模态相关的贡献.如果令 是第三项与前两项和的比值,并令,那么,上式表明,如果两个频率相差很大,那么,说明模态相关贡献可以忽略.如果不是这样,不考虑模态相关贡献误差比较大.图4-3说明 小,那么两个频率接近,误差大,当 两个频率相差大,可以不考虑模态相关贡献.,4.4 荷载分量的互相关的作用 上一节我们考虑只有一个力的作用,如果两个质量都有力的作用,那么会有什么不同.我们举例来说明.,4.4.1 例题,上图中,两个自由度系统遭遇基底加速度 的作用,假定它是平稳白噪声,具有功率谱密度为.它的运动方程为,阻尼取Rayleigh型,我们有频率和振型:,从物理坐标到广义坐标的变换,得到,广义力的功率谱密度矩阵,因为,所以,即,计算响应方差,其中,利用前面得到的公式,得到,结构随机振动05,补充:结构平稳随机响应的虚拟激励法,一.结构受单点平稳激励,假定外部激励是一个平稳随机过程(通常还假定是服从正态分布的),则一般给出它的自功率谱函数(对于多点激励问题则给出激励功率谱矩阵).结构分析的主要计算量用于计算重要的位移,内力等响应量的功率谱密度.然后计算出相应的谱矩(特别是方差,二阶矩).根据这些功率谱和谱矩,就可以计算各种直接应用于工程设计的统计量,例如导致结构首次超越破坏的概率或疲劳寿命,评价汽车行驶平顺性的指标等.显然,改进结构响应功率谱密度的计算方法,使其计算方便,高效,精确,对于推进随机振动成果的实用性具有重要意义.虚拟激励法就是为此目的而发展起来的假定方法.下面先按单激励问题来阐述其基本原理.,1.基本原理,我们知道输入功率谱和输出功率谱的关系是,其中 是频率响应函数,它的物理意义是单位简谐输入时系统响应的幅值,即,现在我们构造一个虚拟激励,即在上面的输入前乘以输入的功率谱的开方,它对于时间来说是常数,这样有虚拟响应量.如图所示,这样有,如果上述系统中有两个虚拟响应量即,那么有,利用以上式子可得关于功率谱矩阵的算式,上述虚拟激励法用起来很方便,只要是线性系统,就能用.这是因为虚拟简谐因子 与它的共轭 总是成对出现,最终相乘而抵消;这反映了平稳问题的自谱互谱非时变性.,例1 用虚拟激励法计算平稳随机过程各阶导数的自谱及其相互之间的互谱.设平稳随机过程 的自谱密度 为已知.,构造虚拟激励,其各阶导数为,所以,利用以上简单计算,可以避免许多记忆的麻烦.,例2 用虚拟激励法推导Kanai-Tajimi过滤白噪声表达式.,设基岩的水平加速度 为平稳随机过程,其自谱为白谱.地面运动方程为,即,其中,构造虚拟基岩水平加速度,代入运动方程得到,虚拟地面绝对加速度为,于是由虚拟激励法推导出地面加速度的自功率谱表达式为,这正是Kanai-Tajimi过滤白谱公式.,2.对复杂结构的降阶处理,对于自由度很高的结构,可以采用振型叠加法实现方程的降阶,以进一步提高计算效率.通过下面例题说明.,例3 求解结构受均匀一致平稳随机激励的响应.设地面水平运动加速度为一零均值平稳随机过程,其功率谱密度为 已知.,离散结构受地面激励的运动方程为,坐标变换到模态坐标即,构造虚拟地面加速度激励,假定阻尼矩阵为比例阻尼矩阵,这样运动方程可以解耦为:,其中 为振型参与系数.上面方程的解为,其中,因此,这样我们就得到响应功率谱矩阵:,这个结果和常规算法结果一样,但计算效率有很大提高.,3.对非正交阻尼矩阵的处理,当结构不具备正交阻尼性质时,用虚拟激励法仍可以基于以上实振型而求出 的闭合解.事实上,这时 虽然不是对角阵,但由于荷载是简谐的,所以仍可以求得 的闭合解.为此令,把它代入下面方程,可以得到,其中,这样由上面方程求得 和,也就是得到,然后虚拟激励法得到.,例4 某双跨结构的刚度,质量,阻尼的分布如图.设地面运动加速度的功率谱密度为,不考虑各柱跟间地面运动的相位差.,计算结构位移向量的功率谱密度矩阵 和三根柱剪力的自功率谱密度向量,构造虚拟激励,则该结构的运动方程为,它的解可从下式得到,可以求得,其中,三根柱虚拟剪力为,所以,所以,二,结构受多点完全相干平稳激励,火车轨道存在不平度.火车在轨道上运行时,在同一条轨道上的任意两车轮可以认为受到轮轨相同的随机激励,但其间存在某一时间差.大跨度桥梁的抗震分析一直是工程界极为关心的问题,现在已经普遍认为对这类结构考虑不同地面节点的运动相位差(即所谓行波效应)是很重要的;导管架海洋平台各个支腿受到的随机力之间也必须考虑相位差.对于这类问题,按传统的随机振动方法计算时工作量极大,称为随机振动工程应用的一大障碍.其实上述问题皆可视为广义的单激励问题,略微推广前节虚拟激励法即可简单地解决.,设n自由度的弹性结构受多点(m点)异相位平稳随机激励,设 的自谱密度为 已知,效应的虚拟激励为,显然,与 相应的虚拟激励为;而与前面的虚拟激励为,在此虚拟激励作用下结构的运动方程为,其中 为 常量矩阵,表征外力分布情况.当 很大时先用振型叠加法降阶.先求出q个特征向量 和特征值,它们满足正交规一条件:,方程降阶为,其中,我们可以利用前面的方法来求解,不管阻尼矩阵是否正交.可以求得各种相应量的自谱和互谱.,三,结构多点部分相干平稳激励,汽车运行时,其各车轮所受的路面随机激励之间通常并非如上节所述的是完全相干,又非彼此完全不相干,而是部分相干.大跨度桥在地震荷载作用下,除了必须考虑不同地面节点的运动相位差(行波效应)外,还应考虑地震波并非严格出自一点,以及因土壤介质不均匀而造成各点激励之间相干性的损失;阵风作用于建筑物上时,同一迎风面的不同点处所受的随机阵风荷载之间也是有部分相干性的.处理这类问题比上节处理完全相干问题更为困难.用上节的虚拟激励方法为基础,再前进一步也就可以解决现在的问题.,设n个自由度的线性结构受多点(m点)部分相干平稳随机激励作用,其功率谱矩阵 已知.它一般不能分解为前面的两个向量相乘的形式(2.2.10).但由于功率谱矩阵必定是一厄密特矩阵,所以它可以被表达成下式,我们对每一阶特征对构造下列虚拟激励,就可以将 表达为以下形式,这种情况的虚拟激励与上节的虚拟激励有一样的形式,其虚拟响应按上节的方法计算,首先得到,不能证明:,还可以求其它谱矩阵.设虚拟激励还可以有其它方法.,结构随机振动06,第五章(部分)线性系统对非平稳激励的响应,1.分析的基本原则,假定 是具有零均值和单位方差的各态历经的正态随机过程 的一个实现,并且把它做一个下面的代数变换,上面的非正态荷载激励一个单位质量,固有频率 和阻尼比 的线性系统得到下面的平衡方程,没有精确的方法来确定非正态响应的概率分布,我们可以计算它们的前四阶矩,或相应的无量纲参数,然后通过(2.46)公式来近似估计响应的分布.,(a)均值;,考虑到正态分布 随机变量有下面的性质(见2.5.1),我们得到,所以,(b)方差,计算响应的方差需要计算激励的相关,我们就可以得到激励的相关为,(c)偏度系数,其中 是三阶自相关函数,可以参照前面的方法求得,这样我们可以得到,(d)峰度系数,其中 是四阶自相关函数,上面的结果也可以用二阶自相关函数 来表示.我们也可以得到,我们需要利用数值计算来求解,最后得到峰度系数:,从上面分析可以看出,响应的分布计算是相当复杂的.下面介绍一种比较有效的方法.,2.可分性方法(Separability Method),这个方法在计算响应参数()时,避免计算高阶自相关函数,用下面方法来代替:,其中,很明显,上面的计算要比计算高阶自相关函数简单.对于正态分布.,动力响应有一个正态化影响,也就是,伪静力响应和激励的非正态分布相同,例题 运动方程为,计算响应的参数.假定,利用前面的式子可以得到激励的参数,前面公式 得到,把它代入,得到,这样响应的参数变为,我们知道脉冲响应函数为,其中,最后得到,可以看出当阻尼减小,动力放大称为主要,但响应参数 接近于3,正态分布的峰度系数.,3.混合分布,现在我们来估计响应的概率分布.,刚才我们分析知道,当阻尼很小时响应接近正态分布,当忽略动力时响应接近激励的分布.于是我们可以认为在一般情况下响应的分布在它们之间.,我们令,那么响应的概率分布为,这里 是在0,1区间内.那么如何来确定这个值呢?,1)首先用前面的方法计算,2)然后用我们假定的响应概率分布来计算响应参数得到,3)使下面均方误差最小得到.,数值例子，还是上面的例题，计算响应的概率密度函数。利用书上（5.3）和（5.6）公式，以及可分性方法来计算概率的几个参数。,标准化 得到,(*),计算混合分布,我们知道激励，而 是标准正态分布，根据概率变换可以得到,标准化 得到,所以得到混合分布为,计算得到,(*),比较前面两组参数，利用最小二乘法可以得到 的值，最后得到标准化响应 的概率。把它还原为响应 的概率，得到：,补充：均匀调制单点激励非平稳随机响应的虚拟激励法,结构受到的非平稳随机过程现在越来越引起重视。有一类非平稳随机过程可以看成对平稳随机过程的均匀调