结构动力计算1结构力学学习资料.ppt

基本要求：熟练掌握熟练掌握单自由度体系的自 由振动和简谐荷载作用下的受迫 振动、两个自由度体系的自由振 动及主振型的正交性。掌握计算频率的近似法、阻尼对振动 的影响。了解一般荷载作用下结构的动力反映（杜哈梅积分）、无限自由度体 系的自由振动。,第十五章 结构的动力计算,结构动力计算特点和内容单自由度体系的自由振动单自由度体系的强迫振动多自由度体系的自由振动多自由度体系的强迫振动无限自由度体系自由振动近似法求自振频率,1、结构动力计算的特点和内容动荷载(dynamic load)与静荷载(static load)的区别 动荷载：大小、方向或位置随时间而变，静荷载：大小、方向或位置不随时间而变，,而且变得很快,或变得很慢,衡量荷载变化快慢的标准还有结构的自振频率。,与静力计算的区别。两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间的函数。建立的方程是微分方程。动力计算的内容。研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素：结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型。（自由振动）荷载的变化规律及其动力反应。（强迫振动）2、动荷载分类。按其变化规律及其作用特点可分为：1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）,15-1 动力计算概述,偏心质量m,偏心距e,匀角速度惯性力:P=m 2e,其竖向分量和水平分量均为简谐荷载.,简谐荷载（harmonic load）,一般周期荷载(periodic load),2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。,3）随机荷载：(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无 法事先确定。（如地震荷载、风荷载）,3、动力计算中体系的自由度(degree-of-freedom)确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的个数称为体系的振动自由度。,实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：1）集中质量法(method of lumped mess)把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。,m,mm梁,m,+m梁,I,I,2I,m,+m柱,厂房排架水平振动时的计算简图,单自由度体系(single degree-of-freedom system),三个自由度体系,演示,水平振动时的计算体系,多自由度体系,构架式基础顶板简化成刚性块,(t),v(t),u(t),三个自由度,三个自由度,复杂体系可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度,2）广义坐标法(generalized coordinate)将无限自由度体系化成有限自由度体系的另一种方法假设震动曲线,为满足位移边界条件已知函数,称为形状函数,a1,a2,an为待定的参数（广义坐标）。,烟囱底部的位移条件:,于是近似设变形曲线为:,n个自由度体系,简支梁的位移条件y(0)=0,y(l)=0,于是近似设变形曲线为:,n个自由度体系,几点注意：1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集中质量数，可能比它多，也可能比它少。,2）体系的自由度与其超静定次数无关。3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度，动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。,一个质点两个自由度,两个质点一个自由度,单自由度体系动力分析的重要性,具有实际应用价值，或进行初步的估算。多自由度体系动力分析的基础。,自由振动(free vibration)：振动过程中没有干扰力作用，振动是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。,一、自由振动微分方程的建立（依据原理：达朗伯原理）,m,k,1、刚度法(stiffness method),m,从力系平衡建立的自由振动微分方程,2、柔度法(flexibility method),从位移协调角度建立的自由振动微分方程,取振动体系为研究对象，惯性力：,=1/k,15-2 单自由度体系的自由振动,(DAlembers principle),二、自由振动微分方程的解,振幅:Amplitude of vibration,初始相位角:initial phase angle,三、结构的自振周期(natural period),周期函数的条件:y(t+T)=y(t),是周期函数,且周期是:,频率:(frequency),每秒钟内的振动次数.,圆频率:(circular frequency),2秒内的振动次数.,无阻尼自由振动是简谐振动,自振周期计算公式的几种形式：,圆频率计算公式的几种形式：,其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。st=W在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视、k、st 三则中哪一个最便于计算来选用。,一些重要性质：（1）自振周期与 且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅 a。（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率于小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率于大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。,W是质点的重力,例1：图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三则者的自振频率。,解：1）求,3l/16,5l/32,l/2,据此可得：1:2:3=1:1.512:2,结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。,k,QCA,QCB,例2:求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。,3EI/h2,6EI/h2,6EI/h2,k,例5,解法1：求 k,=1/h,MBA=kh=MBC,解法2：求,例6,解：求 k,对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方便。,一端铰结的杆的侧移刚度为：,两端刚结的杆的侧移刚度为：,强迫振动(forced vibration)结构在荷载作用下的振动。,k,弹性力ky、惯性力,和荷载P(t)之间的平衡方程为:,1、简谐荷载(harmonic load)：,单自由度体系强迫振动的微分方程,特解：,.,.,.,15-3 单自由度体系的强迫振动,演示,最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。,特解可写为：,通解可写为：,设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：,过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）,按自振频率振动,按荷载频率振动,平稳阶段：,最大动位移（振幅）为：,动力系数(magnification factor),重要的特性：当/0时,1，荷载变 化得很慢，可当作静荷载处理。当01，并且随/的增大而增大。当/1时,。即当荷 载频率接近于自振频率时，振幅 会无限增大。称为“共振”。通常 把0.75/1.25称为共振区。,当/1时,的绝对值随/的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。,当动荷载与惯性力共线时,还有,例：已知m=300kg，EI=90105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,=80s-1 求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。,解：1)求,2)求,3)求ydmax Mdmax,例 15-3 有一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。梁长l=4m.解：1）求自振频率和荷载频率,2）求动力系数,175.6MPa,I22b,3570cm4,3570,39.7,39.7,1.35,可见，对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。,52.3/57.4=0.91,325,149.2,必须特别注意，这种处理方法（比例算法）只适用于单自由度体系当动荷载作用在质点且与质点运动方向一致时的情况。对于动荷载不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。,2、一般荷载,一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导,1、瞬时冲量的动力反应,设体系在t=0时静止，然后 有瞬时冲量S作用。,瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。由动量定理：,2、任意荷载P(t)的动力反应,时刻的微分冲量对t瞬时(t)引起的动力反应:,初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:,(Duhamel 积分)（15-29）,初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:,3、几种荷载的动力反应,1）突加荷载,yst=P0=P0/m2,质点围绕静力平衡位置作简谐振动,2）短时荷载,阶段(0tu)：与突加荷载相同：,阶段(tu)：无荷载，体系以t=u时刻的位移,和速度,为初始条件作自由振动。,或者直接由Duhamel积分作,另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。,当0 u,当 u,最大动反应,1）当 u T/2 最大动位移发生在阶段,2）当 u T/2 最大动位移发生在阶段,=2,动力系数反应谱(与T 和之间的关系曲线),3）线性渐增荷载,这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求:,对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大的关系。其动力系数的反应谱如下：,动力系数反应谱(spectrum of magnification factor),动力系数介乎1与2之间。如果升载很短，tr4T,则接近于1,即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。,钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线,因为在振幅位置结构的变形速度为零（动能=0），故在振幅位置的变形势能就代表体系全部机械能。振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗。振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。,阻尼(damping)对振动的影响,演示,忽略阻尼影响时所得结果 能不能 反映实际结构的振动规律。,大体上,忽略阻尼的振动规律,考虑阻尼的振动规律,结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。,简谐荷载作用下有可能出现共振。,自由振动的振幅永不衰减。,自由振动的振幅逐渐衰减。,共振时的振幅趋于无穷大。,共振时的振幅较大但为有限值。,产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内 摩擦；周围介质的阻力。阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系：与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。与质点速度无关（如摩擦力）。粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为 R(t)=Cy).,其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。,考虑阻尼的振动模型,k,m,动平衡方程：,1、有阻尼的自由振动,(阻尼比damping ratio）,设解为：,特征方程为：(characteristicequation),1)1（低阻尼）情况,ae-t,低阻尼y-t曲线,无阻尼y-t曲线,阻尼对自振频率的影响.,当0.2,则0.96r/1在工程结构问题中0.010.1可近似取.,阻尼对振幅的影响.振幅ae-t 随时间衰减.相邻两个振幅的比,振幅按等比级数递减.,称为振幅的对数递减率.(logarithmic decrement),设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:,经过一个周期后,相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:,2)=1（临界阻尼）情况,这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。,工程中常用此方法测定阻尼,例题：图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m,，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期T=1.5s 及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。,解：,返回,临界阻尼常数cr是=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）(critical damping coefficient),阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。,3)1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。,2、有阻尼的强迫振动,单独由v0引起的自由振动：,（低阻尼体系，1）,瞬时冲量dS=Pdt=v0m所引起的振动，可视为 以v0=Pdt/m，y0=0为初始条件的自由振动：,将荷载P(t)的加载过程 看作一系列瞬时冲量,总反应,（1）突加荷载P0,低阻尼y-t曲线,无阻尼y-t曲线,静力平衡位置,具有阻尼的体系在突加荷载作用下，最初所引起的最大位移接近于静位移yst=P0/m2的两倍，然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。,（2）简谐荷载P(t)=Fsint,设特解为：y=Asint+Bcost 代入（17-34）得：,+Asint+Bcost,齐次解加特解得到通解：,自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。,纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变.,结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。,y=Asint+Bcost=yPsin(t),振幅:yp，最大静力位移yst=F/k=F/m2,与频率比/和阻尼比有关,几点讨论：随增大曲线渐趋平缓，特别是在/=1附近的 峰值下降的最为显著。当接近时，增加的,很快，对的数值影响 也很大。在0.75/1.25(共振区)内，阻尼大大地减 小了受迫振动的位移，因此,为了研究共振时的动力反映,阻尼的影响是不容忽略。在 共振区之外阻尼对的影响 较小，可按无阻尼计算。,max并不发生在共振/=1时，而发生在，,由y=yPsin(t)可见，只要有阻尼位移总滞后荷载 P=Fsint一个 相位角，,但因很小，可近似地认为：,当时,0体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主 要由 S平衡，(即P与S反向)，S与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷载处理。,当时,180体系振动得很快，FI很大，S、R相对说来较小，动荷主要由FI 平衡，FI 与y同向，y与P反向；,位移y、弹性力S，惯性力FI，阻尼力R分别为：,k,当=时,90,由此可见：共振时（=），S与FI刚好互相平衡，,yst,有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现位移为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力来平衡动荷载，才出现位移为无限大的现象。,k=m2=m2,=P(t),强迫振动时的能量转换,振动荷载Fsint在振动一个周期所输入的能量,.,在时间段dt内,在一个周期内,.,在时间段dt内,在一个周期内,.,当体系有阻尼时,振动过程中总有能量的损耗,为使振动不衰减,就必须经常补充以能量.当稳态振动时,UR=UP,弹性动内力幅值的计算,一般方法:由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。惯性力与位移同时达到幅值。,无阻尼时同时达到幅值。,有阻尼时位移总滞后荷载一个相位角。,比例算法:无阻尼单自由度体系且荷载作用在振动质点上(动荷载与惯性力共线)时，产生振幅yd的外力P为:,这意味着，在位移达到幅值时，可用F 代替惯性力和荷载的共同作用（有无阻尼均如此）。F产生的动内力和动位移是F产生的静内力和静位移倍。,注意：位移达幅值时，速度为 零，故阻尼力为零，计算 时不必考虑阻尼力。,例15-4 图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数为cz=0.6N/cm3=0.6103kN/m3，基础底面积A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时(1)自振频率；(2)机器运转产生P0sint，P0=20kN，转速为400r/min。求振幅及地基最大压力。(3)如考虑阻尼，阻尼比=0.5，求振幅及地基最大压力。,解:(1)让振动质量向下单位位移需施加的力为：k=czA=0.6103 20=12103kN/m,解:(2)求荷载频率,求动力系数,竖向振动振幅,地基最大压力,解(3)：,求动力系数,竖向振动振幅,地基最大压力,单自由度体系简谐荷载作用下的强迫振动(无阻尼),运动方程：,位移稳态反应为与动荷载同频率的简谐振动。两者同时达到幅值。,惯性力与位移同方向同时达到幅值。,动内力计算：当动荷载作用在质点且与质点运动方向一致时，内力动力系 数与位移动力系数相同。动内力幅值为：Md=Mst Mst是动荷载幅值引起的静内力。,当动荷载不作用在质点或与质点运动方向不一致时，内力动力 系数与位移动力系数不相同。可用以下三种方法计算。,将荷载化成作用在质点且与质点运动方向一致的荷载,=,+,(b)中质点无位移，无 惯性力，按静力法 计算反力。,(c)所示是力 作用于 质点上的情况。,内力及其它处位移为(b)(c)之和,内力动力系数与位移动力系数不相同,利用幅值方程求解,位移稳态反应为与动荷载同频率的简谐振动。两者同时达到幅值。,惯性力与位移同方向同时达到幅值。线弹性体系，位移达幅值时内力也达幅值,振幅方程为：,直接建立运动方程求解。,宜列柔度方程：,或：,动内力计算,求质点稳态振幅及梁跨中动弯矩。,振幅方程为：,