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结构力学,傅向荣,第三章 静定结构的受力分析,3-7 组合结构,静 定 组 合 结 构(Statically determinate composite structures),分清两类杆（弯曲、拉压）从组成入手先解决关键杆计算,静定组合结构,特点既有桁架杆，又有弯曲杆一般有一些关键的联系杆求解的关键点选择恰当方法解决关键杆内力计算选择截面时，必须注意区分两类杆,一、组合结构的受力特点,先算二力杆，后算弯曲杆.,由两类构件组成:弯曲杆(梁式杆)二力杆(桁架杆)；,二、组合结构的受力分析,静 定 组 合 结 构(Statically determinate composite structures),M,Q,N,3-8 三铰拱,三铰拱特点：,是静定结构。,高跨比,1.结构形式：,几何组成分析：,在竖向荷载作用下，产生水平推力。,水平推力对拱的受力影响：,使拱截面弯矩减小；,水平推力由支座或水平拉杆承受。,2.三铰拱计算,支座反力计算：,是同跨简支梁的竖向反力。,竖向反力,水平反力,推力,（左侧）,-同跨度简支梁的跨中截面弯矩。,（即与三铰位置有关。）,与拱轴线形状无关,与拱高 f 成反比。,当 f 0,H。,（A,B,C三铰在一直线上，成为几何瞬变体。）,轴力：平行于拱轴线的切线(拉为正)。,弯矩：受拉侧做弯矩图；,剪力：垂直于拱轴线的切线（顺时针为正)；,拱内力计算：,由,弯矩：,切线与水平线所成锐角（由水平向逆时针为正）,剪力：,轴力：,计算某点内力：,先求同跨简支梁对应点的 和,然后计算拱的内力。,解：求反力:,弯矩：,内力计算：,D右侧：,注意：这里,剪力、轴力：,D左侧：,3.拱的受力特点,拱在竖向荷载下，有水平反力；（对拱脚支撑有较高要求）,由M=Mo-Hy，拱的弯矩较简支梁小；（充分发挥材料作用）,沿跨度等分；,画内力图。,作内力图：,拱截面有轴向压力。,三铰拱受力分析小结：,与等跨简支梁类比。,反力,内力,4.合理拱轴线,合理拱轴线:在固定荷载作用下无弯矩状态的拱轴线，各截面只有轴力。,合理拱轴线方程,由,(合理拱轴线与荷载有关),均布荷载,常见的合理三铰拱轴线：,合理拱轴线:,注：其中方程中的 f 是不定值，又与 q 的大小无关。所以任一抛物线（不同高跨比）在均布荷载作用下都是合理拱轴线。,证：,径向静水压力,合理拱轴线:圆弧,证明：图示圆弧任一截面M、Q为零。,证：由于对称，C点剪力为零。,由,得：,任意截面内力：,任意截面上 为零，只有。,证毕,作业：3-15 3-183-203-23,静定结构的一般性质,一.静定结构基本性质,满足全部平衡条件的解答是静定结构的 唯一解答,证明的思路：静定结构是无多余联系的几何不变体系，用刚体虚位移原理求反力或内力解除约束以“力”代替后，体系成为单自由度系统，一定能发生与需求“力”对应的虚位移，因此体系平衡时由主动力的总虚功等于零一定可以求得“力”的唯一解答。,刚体虚位移原理的虚功方程,P-M=0,可唯一地求得:M=P/,刚体虚位移原理的虚功方程,M不能唯一确定,静定结构满足全部平衡条件的解答是唯一的.超静定结构满足全部平衡条件的解答不是唯一的.,二.静定结构派生性质,1.支座微小位移、温度改变不产生反力和内力,二.静定结构派生性质,1.支座微小位移、温度改变不产生反力和内力2.若取出的结构部分（不管其可变性）能够平衡外荷载，则其他部分将不受力（局部平衡特性）,二.静定结构派生性质,1.支座微小位移、温度改变不产生反力和内力2.若取出的结构部分（不管其可变性）能够平衡外荷载，则其他部分将不受力（局部平衡特性）3.在结构某几何不变部分上荷载做等效变换时，荷载变化部分之外的反力、内力不变,二.静定结构派生性质,1.支座微小位移、温度改变不产生反力和内力2.若取出的结构部分（不管其可变性）能够平衡外荷载，则其他部分将不受力（局部平衡特性）3.在结构某几何不变部分上荷载做等效变换时，荷载变化部分之外的反力、内力不变4.结构某几何不变部分，在保持与结构其他部分连接方式不变的前提下，用另一方式组成的不变体代替，其他部分的受力情况不变,各种结构型式的受力特点,各种结构型式受力特点,整体结构：,无推力结构：,链 杆：桁架只有轴力无弯矩。,梁式杆：多跨梁、刚架、组合结构的部分杆件，有弯矩。,杆件：,有推力结构：,伸臂梁：,减少杆中弯矩的途径：,优点：方便，简单；,利用杆端负弯矩，减少跨中正弯矩。,缺点：截面仍有弯矩。,三铰曲拱：,缺点：曲线杆件施工复杂。,优点：截面弯矩很小或无弯矩；,桁架：,优点：截面无弯矩；,缺点：结点复杂。,上弦、下弦承受弯矩；腹杆承受剪力。,作业：做图示后两个组合结构的内力图。复习准备小测验。,第五章 虚功原理与结构位移计算,5-1 刚体的虚功原理,静定结构的其它分析思路,静力分析的基本方法：取隔离体，建立平衡方程。根据虚功原理，建立虚功方程。,等价性殊途同归,虚功原理：1.对于具有理想约束的刚体体系。2.设体系上作用任意的平衡力系，3.又设体系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，4.则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。,虚功原理的特点：任意平衡力系 X 任意可能位移1.真实平衡力系 X 假想可能位移2.假想平衡力系 X 真实可能位移,理想约束：约束力在可能位移上所作的功恒等于零的约束。（光滑铰结和刚性链杆）,刚体内力在可能位移上作功恒为零。,虚功原理应用一：计算未知力,计算未知力FX,假想虚位移：,列虚功方程：,计算比例系数：,可直接列虚功方程：,两种方法都可得到：,(a),(b),方程(a)形式上是功的方程，实际上是平衡方程。它与直接列C点的力矩平衡方程是一致的。(殊途同归)假想的虚位移是具有任意性的，与力系无关。虚功法是用几何方法来解静力平衡问题。,两种方法都可归结为在未知力作用方向假设单位位移单位位移法,也可令：,虚功原理应用二：计算静定结构约束力,计算静定结构约束力步骤：1.撤除相应约束，化为具有一个自由度的机构。2.将约束力变主动力。3.假设虚位移。4.列虚功方程。5.求解。,注意：约束力可以是支座反力，也可以是各种内力，但注意各种约束力对应的约束类型。,虚功原理应用三：零载法分析几何构造性质,约束为必要约束：撤除后增加一个自由度可能位移在约束力方向产生新位移不存在自内力,虚功方程：,约束为多余约束：撤除后不增加自由度可能位移在约束力方向不产生新位移存在自内力,虚功原理应用四：虚力原理,如图所示的静定粱，支座A向下移动了一个已知距离,现在求B处的位移,假设施加一集中力大小为,应用平衡条件可求出支座反力：,利用虚功原理可得：,第五章 虚功原理与结构位移计算,5-2 结构位移计算的基本思路和计算公式,1 结构位移计算概述,一、结构的位移(Displacement of Structures),线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移,线位移,角位移,相对线位移,相对角位移,(1).位移分类：,无应变刚体位移,有应变变形位移,荷载 温度改变 支座沉降、制造误差,(2).产生位移的原因：,1 结构位移计算概述,一、结构的位移(Displacement of Structures),铁路工程技术规范规定:,二、计算位移的目的,在工程上，,吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；,桥梁在竖向活载下，,钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 1/700 和1/900跨度,高层建筑的最大位移 1/1000 高度。,最大层间位移 1/800 层高。,（3）理想联结(Ideal Constraint)。,三、位移计算的假定,(2)超静定、动力和稳定计算,(3）施工要求,叠加原理适用（principle of superposition),(1)线弹性(Linear Elastic),(2)小变形(Small Deformation),四.位移计算的方法：,(1)建立变形微分方程,(2)能量法,线弹性位移（可用叠加原理）,小变形（用未变形尺寸）,复杂或无法求解,简便,1 结构位移计算概述,2 变形体虚功原理(Principle of Virtual Work),一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work),两种状态,力状态,位移状态,（虚力状态）,（虚位移状态）,注意：,（3）位移状态与力状态完全无关；,（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。,（1）属同一体系；,一些基本概念：,实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功,功：力力方向位移之总和,广义力：功的表达式中，与广义位移对应的项,功：广义力广义位移之总和,虚功：广义力与广义位移无关时所作的功,W=FP111/2orW=FP222/2,W=FP112orW=FP221,（1）质点系的虚位移原理,具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：,二、变形杆件的虚功原理,对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即,（2）刚体系的虚功原理,去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：,对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。,-FP P+FB B=0,原理的表述：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所作的总虚功We，恒等于变形体所接受的总虚变形功Wi。也即恒有如下虚功方程成立,We=Wi,（3）变形体的虚功原理,变形体虚功原理的证明,虚位移是光滑、连续的，相邻分割面虚位移相同。,将变形体分割成若干(有限或无限)部分，计算各部分外力总虚功有两种方案,方案一：各部分上的外力区分为：外荷载和分割面内力两类，相邻分割面内力互为作用与反作用关系。,各部分外力总虚功=外荷载总虚功,W=We,变形体虚功原理的证明,变形体是平衡的，其各部分也必然平衡。因此，各部分上的外力是平衡力系。,方案二：各部分的虚位移区分为：刚体虚位移和变形虚位移两类。但必须注意，虚位移是光滑连续的，可刚体和变形虚位移在分割面处一般是不光滑、连续的。,W=Wi,根据刚体虚位移原理，外力在刚体虚位移上的总虚功等于零。因此各部分外力总虚功=外力在变形虚位移上的总虚功,两方案计算同一内容，因此,We=Wi,需要强调的几个问题,原理的证明表明，原理适用于任何力学行为(线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。,虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是必要性命题。,由于外力在变形虚位移上所作的功相对分割面内力的虚变形功为高阶小量，因此许多文献上称Wi为内力总虚功。,原理可有两种应用：实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解。,需要强调的几个问题,实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问题来求解。,第一种应用一些文献称为“虚位移原理”，而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要性命题。上述两原理都是充分、必要性命题，它们和虚功原理是有区别的。,当变形体为杆件体系时，如：,We 的计算:,当无结点荷载时,We=pu+qv+mds,当有结点荷载时,Wi 的计算:,微段拉伸,微段剪切,微段扭转,微段弯曲,Wi=FN+FQ+Mx+Mds,取微段,其受力如下,对于直杆体系，由于变形互不耦连，所以,变形可看成有如下几部分,杆系结构虚功方程,根据上述推证，可得杆系结构虚功方程如下,=FN+FQ+Mx+Mds=Wi,以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也适用于一切非线性结构。希望能很好理解，尽可能达到掌握！,三、虚功原理的两种应用,1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的平衡力状态之间。,例.求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。,解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态如图(b)、(c),由外力虚功总和为零，即：,通常取,(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程，即,几点说明：,(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。,(2)虚位移与实际力状态无关,故可设,特点:用几何法来解静力平衡问题。,例.求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移.,2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协调位移状态之间。,解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。,由 求得：,虚功方程为：,这便是单位荷载法(Dummy-Unit Load Method),它是 Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也称为Maxwell-Mohr Method,几点说明：,(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程。,(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。,(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力 P=1,总的来讲，必须非常清楚的是：,特点:是用静力平衡法来解几何问题。,返回首页,