线性变换的运算.ppt

7.2 线性变换的运算,一、内容分布7.2.1 加法和数乘线性变换的积7.2.3线性变换的多项式二、教学目的:掌握线性变换的加法、数乘和积定义，会做运算.掌握线性变换的多项式,能够求出给定线性变换的多项式.三、重点难点:会做运算.,7.2.1 加法和数乘,令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个线性映射叫做V 的一个线性变换.注：可见线性变换是特殊的线性映射，因而具有线性映射的性质。我们用L(V)表示向量空间和一切线性变换所成的集合.,我们用L(V)表示向量空间和一切线性变换所成的集合，设定义:加法:数乘:,那么 和 都是V的一个线性变换.下面证明:和 都是V 的一个线性变换.,所以 是V的一个线性变换,令，那么对于任意 和任意,所以k是V的一个线性变换.,线性变换的加法满足交换律和结合律,容易证明,对于任意,以下等式成立:,(1),(2),令表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然具有以下性质：对任意 有：,(3),设 的负变换指的是V到V的线性映射容易验证，也是V的线性变换，并且,（4）,线性变换的数乘满足下列算律：,这里k,l是F中任意数，,是V的任意线性变换.,定理 L（V）对于加法和数乘来说作成数域F上一个向量空间.,Note：上述运算性质由有关运算的定义及变换相等的概念易证，注意等式的含义以及有些等式两端的运算是何运算。由上述讨论可得：,线性变换的积,设 容易证明合成映射 也是V上的线性变换，即 我们也把合成映射 叫做与的积，并且简记作 除上面的性质外，还有：,对于任意 成立。,证明 我们验证一下等式（9）其余等式可以类似地验证。设 我们有,因而（9）成立。,Note：1）上述验方法由有关运算的定义及变换的相等得。2）补充几点：A)单位变换有：B)零变换 有：C)一般地，线性变换的乘积不满足交换律,D）由 一般不能得 或，因为两个非零变换的乘积可能是零变换E)线性变换的乘法一般不满足消去律，即由 且 不能得.（可见L(V)的乘法类似于矩阵乘法的性质）,7.2.3 线性变换的多项式,线性变换的乘法满足结合律：对于任意 都有,因此,我们可以合理地定义一个线性变换的n次幂,这里n是非负整数。,我们再定义,这里表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。Note:1）线性变换的幂指数为非负整数；2)3)一般地,这个线性变换叫做当 时f(x)的值，并且记作,（1）因为对于任意 我们也可将 简记作，这时可以写,（2）带入法：如果 并且,那么根据L(V)中运算所满足的性质,我们有,