算法引论及简单算法.ppt

补充材料1 算法引论及简单算法,清华大学 自动化系刘连臣2010年11月1日,计算机语言与程序设计基础,1,注 意,算法是程序设计的灵魂,2,与数据结构的区别：考虑问题的角度：数据结构关心不同的数据结构在解题中的作用和效率；算法关心不同设计技术的适用性和效率。考虑问题的高度：数据结构关心的是解具体问题，算法不仅如此，它提供一种解决问题的通用方法。,与其他课程的关系,高级程序设计语言（C语言，等）,数据结构,算法设计与分析,系统的设计与实现,3,主要内容,目标：了解算法分析的基本含义。掌握查找算法、排序算法、递推算法等算法理念。,提纲补1.1 算法分析补1.2 查找算法补1.3 排序算法补1.4 递推算法,4,补1.1 算法分析,前面的课程内容以C语言语法为主本补充章介绍一些基本算法大家在编写程序的时候，“八仙过海，各显神通”，解决同一个问题，可以使用各种方法。算法之间存在着“优劣”之分,5,补1.1 算法分析,1、算法分析的目的 通过对算法分析，在把算法变成程序实际运行前，就知道为完成一项任务所设计的算法的好坏，从而运行好算法，改进差算法，避免无益的人力和物力浪费。,6,补1.1 算法分析,2、算法分析的含义算法分析是一种分析技术，它以独立于具体的硬件平台、编译器和编程语言的方式，来描述算法的执行行为，即它关心的是算法，而不是程序。算法分析是一种测量算法的性能的方法，它不关心精确的细节，如在算法的某次运行中总共执行了多少条机器指令，而是想要一个大致的估计，即随着输入数据规模的增大，算法所需工作量以何种速度递增。（关心变化趋势）,7,补1.1 算法分析,3、算法复杂性 时间复杂性和空间复杂性,8,补1.1 算法分析,1.有些计算机需要用户提供程序运行时间的上限，一旦达到这个上限，程序将被强制结束。2.正在开发的程序可能需要提供一个满意的实时响应。,为什么要考虑时间复杂性？,9,1.多用户系统中运行时，需指明分配给该程序的内存大小。2.可提前知道是否有足够可用的内存来运行该程序。3.一个问题可能有若干个内存需求各不相同的解决方案，从中择取。4.利用空间复杂性来估算一个程序所能解决问题的最大规模。,考虑程序的空间复杂性的理由：,补1.1 算法分析,10,4.如何进行算法分析？事前分析：就算法本身，通过对其执行性能的理论分析，得出关于算法特性时间和空间的一个特征函数（）与计算机软硬件没有直接关系。事后测试：将算法编制成程序后放到计算机上运行，收集其执行时间和空间占用等统计资料，进行分析判断直接与物理实现有关。,补1.1 算法分析,11,1）事前分析目的：试图得出关于算法执行特性的一种形式描 述，以“理论上”衡量算法“好坏”。如何给出反映算法执行特性的描述？最直接方法：统计算法中各种运算的执行情况：运用了哪些运算 每种运算被执行的次数 该种运算执行一次所花费的时间 算法的执行时间=Fi*ti,补1.1 算法分析,12,估算执行时间的方法,选择一种或多种（如加、乘和比较等），然后确定这种（些）操作分别执行了多少次。令n代表程序实例特征，则执行时间计算公式为：TP（n）=c1ADD(n)+c2SUB(n)+c3MUL(n)+c4DIV(n)+,c1、c2、c3、c4分别表示一次加、减、乘、除操作所需的时间。函数ADD(n)、SUB(n)、MUL(n)、DIV(n)分别表示程序P中，所使用的加、减、乘、除操作的次数。,这种方法是否成功取决于识别关键操作的能力，这些关键操作对时间复杂性的影响最大。,一条语句在整个程序运行时实际执行时间=频率计数*每执行一次该语句所需的时间,补1.1 算法分析,13,频率计数：算法中语句或运算的执行次数。例：x=x+y for(i=1;i=n;i+)for(i=1;i=n;i+)x=x+y;for(j=1;j=n;j+)x=x+y;(a)(b)(c)分析：(a)：x=x+y执行了1次(b)：x=x+y执行了n次(c)：x=x+y执行了n2次 注：在事前分析中，只限于确定与所使用机器及其他环境因素无关的频率计数，依此建立一种理论上分析模型。,补1.1 算法分析,14,数量级语句的数量级：语句的执行频率。例：1，n，n2 算法的数量级：算法包含所有语句的执行频率之和。算法的数量级从本质上反映了一个算法的执行特性。例：求解同一问题的三个算法分别具有n,n2,n3数量级。若n=10，则可能的执行时间将分别是10，100，1000 个单位时间与环境因素无关。,补1.1 算法分析,15,补1.1 算法分析,5、算法复杂性的等级常量阶时间复杂度为O(1)算法运行时间不随着问题的规模而变化如：简单的赋值语句，x=y;算术运算，x=y*5+z%3;固定次数的循环语句等,for(i=0;i10;i+)for(j=0;j20;j+)aij=0;,16,补1.1 算法分析,线性阶时间复杂度为O(n)算法运行时间随着问题的规模而成线性变化,for(i=0;in;i+)sum=sun+i;算法执行了多少次运算？,i=0;执行了1次in;执行了n+1次i+；执行了n次sum=sun+i;执行了n次共执行了3n+2次运算,时间复杂度就是O（3n+2）实际上，算法的时间复杂度并不精确计算基本操作的执行次数，它主要考虑问题规模的增长率。O（n）,17,补1.1 算法分析,平方阶时间复杂度为O(n2)算法运行时间随着问题的规模而成平方变化,for(i=0;in;i+)for(j=0;jn;j+)sum=sun+aij;/执行n2次printf(“%dn”,sum);/执行n次时间复杂度就是O（n2）,18,补1.1 算法分析,多项式阶时间复杂度为O(nd)d为固定常数算法运行时间随着问题的规模而成d次多项式阶变化对数阶 O(logn)指数阶 O(log2n)阶乘阶 O(n!),若T(n)=adnd+a1n+a0是一个d次多项 式，则有T(n)=O(nd),19,5、算法分类（计算时间）,多项式时间算法：可用多项式（函数）对其计算时间限界的算法。常见的多项式限界函数有：(1)(logn)(n)(nlogn)(n2)(n3)指数时间算法：计算时间用指数函数限界的算法 常见的指数时间限界函数：(2n)(n！)(nn)说明：当n取值较大时，指数时间算法和多项式时间 算法在计算时间上非常悬殊。,补1.1 算法分析,20,计算时间的数量级对算法有效性的影响 数量级的大小对算法的有效性有决定性的影响。例：假设解决同一个问题的两个算法，它们都有n个输入，计算时间的数量级分别是n2和nlogn。则：n=1024：分别需要1048576和10240次运算。n=2048：分别需要4194304和22528次运算。分析：在n加倍的情况下，一个(n2)的算法计算时间增长4倍，而一个(nlogn)算法则只用两倍多一点的时间即可完成。,补1.1 算法分析,21,典型的计算时间函数曲线,结论：在顺序处理机上扩大所处理问题的规模，最有效的途径是降低算法计算复杂度的数量级，而不是（仅仅依靠）提高计算机的速度。,补1.1 算法分析,22,补1.2 查找算法,所谓查找（search），即根据给定的某个值，在一组数据（如一个数组）中，确定有没有出现相同值得数据元素。查找是非常实用的算法。如，查找字典。问题描述，令b表示被查找的数组，n表示数组元素的个数，x表示被查找的目标。问题是“数据x是否出现在数组b当中？”,23,补1.2 查找算法,1、顺序查找方法基本思路：从数组b的第一个元素开始，逐个地与x进行比较，一直到查找成功或者所有的数组元素都已经处理完毕。,参考程序：int search(int b,int n,int x)int k;for(k=0;(kn)算法的复杂度为O(n),24,补1.2 查找算法,2、折半查找方法(对于有序数组),参考程序：int search(int b,int n,int x)int L,R,mid;L=0;R=n-1;while(L=R)mid=(L+R)/2;if(x=bmid)return(mid);else if(xbmid)R=mid-1;else L=mid+1;return(-1);算法的复杂度为O(lnN),25,补1.3 排序算法,所谓排序（sort），就是将一个任意的数据元素的序列，重新排列成一个具有某种顺序的序列。排序是非常实用的算法。如，成绩排名等。问题描述，令a表示待排序的数组，n表示数组元素的个数，在排序之前，数组中元素是随机的，而在排序之后，这些数据按照一定的规律存放。,26,补1.3 排序算法,冒泡法基本思路：其原理为从a0开始，依次将其和后面的元素比较,若a0ai，则交换它们，一直比较到an。同理对a1,a2,.an-1处理，即完成排序。,void bubble(int*a,int n)/*定义两个参数：数组首地址与数组大小*/int i,j,temp;for(i=0;iaj)temp=ai;ai=aj;aj=temp;,27,补1.3 排序算法,选择法 基本思路：选择法循环过程与冒泡法一致，它还定义了记号k=i,然后依次把ak同后面元素比较，若akaj,则使k=j.最后看看k=i是否还成立，不成立则交换ak,ai,这样就比冒泡法省下许多无用的交换，提高了效率。,void choise(int*a,int n)int i,j,k,temp;for(i=0;iaj)k=j;/*是k总是指向最小元素*/if(i!=k)/*当k!=i是才交换，否则ai即为最小*/temp=ai;ai=ak;ak=temp;,28,补1.4 递推算法,递推（Recursive Algorithm），即从某个一直得初始条件出发，根据这个已知的事实，并按照一定规律推断出下一个事实。然后再从这个新的已知的事实出发，向下再推断一个事实。递推是计算机数值计算的一个重要方法，可以将复杂的运算简化为若干个重复的简单运算，从而发挥计算机长于重复处理的特点。其实质与差分方程类似，著名的例子为Fibonacci数列。,29,补1.4 递推算法,例：猴子吃桃有一只小猴子，有一天摘了一堆桃子，当天吃掉了一半，后来觉得不过瘾，就又多吃了一只。第二天，小猴子又将剩下的桃子吃掉了一半，并多吃了一个。以后每天都吃了前一天剩下的一半零一个。到了第十天的时候，发现只剩下一只桃子了。请问小猴子第一天一共摘了多少桃子？,30,补1.4 递推算法,解题思路T10=T9-T9/2-1 即 T9=(T10+1)*2T8=(T9+1)*2T7=(T8+1)*2 T1=(T2+1)*2定义A为桃子的个数，第10天为1个，第9天为4个，第8天为10个。,#include void main()int A,i;A=1;for(i=9;i=1;i-)A=(A+1)*2 pintf(小猴子第一天共摘了%d 个桃子.n，A);,31,补1.4 递推算法,例：猴子分桃1979年李政道去中国科技大学访问，出了一道题目。5只猴子摘了一堆桃子，等第二天再来分。夜里一只猴子偷偷爬起来，吃掉了一只桃子，然后把剩下的桃子分成5份，取走了自己应得到的一份，然后回家了。过了会儿，第二只猴子也爬了起来，吃掉了一只桃子，然后把剩下的桃子分成5份，取走了自己应得到的一份。第三、四、五只猴子都是这样，吃掉了一只桃子后，正好把剩下的桃子每次都能分成5份。请问最初至少有多少个桃子？每只猴子夜里起床后看到多少只桃子？,32,补1.4 递推算法,解题思路定义peachi（1i 5）表示第i只猴子看到的桃子数。peach2=(peach1-1)*4/5peachi=(peachi-1-1)*4/5（2i 5）如果知道了peach1 或者 peach5中的任意一个，都可以递推出来每只猴子看到的桃子个数。可惜不知道啊。,33,补1.4 递推算法,解题思路但是我们知道：peach1%5=1；peach2%5=1，并且peach2=(peach1-1)*4/5peach3、peach4、peach5也如此可以用枚举法，让peach1=6，来试验是否满足上述条件。然后依次peach1累加5，直到满足上述所有要求。,34,14.4 递推算法,#include void main()int i,peach6=0;/peach0不使用，为了计算方便 peach1=6;while(1)for(i=2;i=5;i+)peachi=(peachi-1-1)*4/5;if(peachi%5!=1)break;if(i=5)peach1+=5;else break;printf(最初至少有%d个桃子n,peach1);for(i=1;i=5;i+)printf(第%d 只小猴子夜里看到了%d 只桃子。n,i,peachi);,35,小结与要求,深入理解算法是程序设计的灵魂的含义。在编写程序解决实际问题之前，必须要有解决问题的思路与想法。对于该方法的基本要求是自己要清楚。不同的方法对应于不同的算法，要知道如何评价一个算法优劣。常用算法的一些基本思路要掌握：常用的查找算法、排序算法、枚举方法、递推方法要掌握，并会解决一些常见问题。,谢谢各位同学！,请提宝贵意见。,