简单数学建模实例.ppt

2023/10/17,1,建 模 实 例,商人怎样安全过河？三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小 船只能容纳二人，由他们自已划行，随从们密约，在河的一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河大权掌握在商人手中，商人们怎样才能安全渡河呢？,2023/10/17,2,建 模 实 例,安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每一步即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员作出决策，在有限步内使人员全部过河.用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的充许变化范围内，确定每一步的决策，达到渡河的目标,2023/10/17,3,建 模 实 例,模型的生成过成：记第k次渡河前此岸的商人数为xk,随从数为yk,k=1,2,，xk,yk=0,1,2,3，将二维向量sk=(xk,yk)定义为状态,安全渡河条件下的状态集称为允许状态集合，记作S，不难写出 S=(x,y)|x=0,3;y=0,1,2,3或x=2,y=0,1,2或x=1;y=0,1,2023/10/17,4,建 模 实 例,记第k次渡船上的商人数为uk,随从数为vk 将二维向量dk=(uk,vk)定义为决策,允许决策集合记作D,由小船的容量可知 D=（u,v）|u+v=1,2 因为k为奇数时船由此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态sk 随决策dk变化的规律是：sk+1=sk+(-1)k d k,2023/10/17,5,建 模 实 例,求决策dkD(k=1,2,n)，使状态skS，按照转移规律，由初始状态s1=(3,3)经有限n步后到达状态sn+1=(0,0).模型求解 当商人和随从数都不多的情况下，用图解法解此模型更为方便。,2023/10/17,6,建 模 实 例,在xoy坐标系上画出方格，方格点上的坐标同时也表示状态 s=(x,y).允许状态集是沿方格线移动1或2格，k为奇数时向左、下方移动，k为偶数时向右、上方移动。要确定一系列的dk使由s1=(3,3)经过那些点最终移至原点（0，0）,2023/10/17,7,建模实例,2023/10/17,8,建 模 实 例,2023/10/17,9,建 模 实 例,评注 这里介绍的模型是一种规格化的方法，使我们可以用计算机求解，从而具有广泛意义.譬如当商人和随从人数增加或小船容量加大时，靠逻辑思考就困难了，而这种模型则仍可方便地求解,2023/10/17,10,谢谢,