简单不等式的解法.ppt

6.2简单不等式的解法,一、一元一次不等式,一元一次不等式可整理为axb(a0).,1.当a0时,不等式的解为x;,2.当a0时,不等式的解为x.,二、一元二次不等式,1.解一元二次不等式的步骤:,(1)把二次项的系数a变为正的.(若a0,那么在不等式两边都,乘以-1,把系数变为正),(2)解对应的一元二次方程.(先看能否因式分解,若不能,再看,然后求根),(3)求解一元二次不等式.(根据一元二次方程的根及不等号的方向,当a0且0时,定一元二次不等式的解集的口诀:“小于号取中间,大于号取两边”),2.一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系,1.若函数f(x)=则使f(x0)的x0的取值范围为(),(A)(-,1(3,+).,(B)(-,2(4,+).,(C)(-,2)(3,+).,(D)(-,3)(4,+).,【解析】当x(-,1时,2-x即2-x2-2,解得x2,因此x1;,当x(1,+)时,log81x即log81xlog81(81=log813,解得x3,因此x3.,综上可得x3或x1.,【答案】A,2.使得1x|2x2+ax-a20的a的取值范围为.,【解析】由1x|2x2+ax-a20,得a2-a-20-1a2,故a的范围为(-1,2).,【答案】(-1,2),3.已知不等式-x2+bx+c0的解集为x|20的解集为.,【解析】由题意知2,3是方程-x2+bx+c=0的两个实数解,根据根与系数之间的关系得 即,代入不等式cx2-bx-10,得6x2+5x+10,即(2x+1)(3x+1)0,即(2x+1)(3x+1)0,解得-x-.,所以原不等式的解集为x|-x-.,【答案】x|-x-,题型1简单不等式的解法,例1(1)关于x的不等式x2-ax-20a20任意两个解的差不超过9,则a的最大值与最小值的和是(),(A)2.(B)1.(C)0.(D)-1.,(2)已知函数f(x)=那么不等式f(x)0的解集为.,【分析】(1)任意两个解的差不超过9即不等式解的最大值与最小值差值不超过9,因此解出不等式即可;(2)分段解出不,等式,最后求并集.,【解析】(1)方程x2-ax-20a2=0的两根是x1=-4a,x2=5a,则由关于x的不等式x2-ax-20a20任意两个解的差不超过9,得|x1-x2|=|9a|9,即-1a1,且a0.故a的最大值与最小值的和是0.,(2)当x0时,由-|x+1|0可得x-1;,当x0时,由x2-10得-1x1,所以0 x1,故不等式的解集为x|x-1或-1x1.,【答案】(1)C(2)x|x-1或-1x1,【点评】解不等式的核心问题是将不等式同解变形,由复杂向简单转化,不等式的性质是同解变形的理论依据,方程的根、函数的图象和性质都会给不等式的求解提供帮助,要注意将它们有机结合,互相转化.,变式训练1(1)不等式f(x)=ax2-x-c0的解集为x|-2x1,则函数y=f(-x)的图象是(),(2)若不等式+m4,则m的值为.,【解析】(1)f(x)=ax2-x-c0解集为x|-2x1,即方程ax2-x-c=0的两根为-2,1,f(x)=-x2-x+2,y=f(-x)=-x2+x+2.且f(-x)的两根分别为-1和2.,(2)由+m0,得 0,即当1+m0时,解集在两根之内,显然不合题意;,当1+m0,其大根为1-m,小根为-m.,所以 得m=-3.,【答案】(1)C(2)-3,例2解关于x的不等式(a为参数).,【分析】移项,通分,把分式不等式转化为整式不等式,分类讨论,得出不等式解集.,【解析】原不等式等价于-0,0(x-2)(1-)x+-10.,当a=1时,解为x2;,题型2含参数不等式的解法,当0a1时,解为2x1+;,当a1时,解为x2或x1+;,当a2或x1+.,综上所述,当a=1时,原不等式的解集为x|x2;,当0a1时,原不等式的解集是x|2x1+;,当a1时,原不等式的解集是x|x2或x1+.,【点评】解任意含参数(单参)的一元二次不等式对参数进行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式=0时所得到的参数的值,然后依此进行分类即可,这样这类问题便有了“通法”,都可迎刃而解.,变式训练2解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+10.,【解析】若a=0,原不等式-x+11.,若a0 x1.,若a0,原不等式(x-)(x-1)0,(*),其解的情况应由与1的大小关系决定,故,当a=1时,(*)式的解集为;,当a1时,(*)式x1;,当0a1时,(*)式1x.,综上所述,当a1;,当a=0时,解集为x|x1;,当0a1时,解集为x|1x;,当a=1时,解集为;,当a1时,解集为x|x1.,例3(1)已知函数y=log2(m-2)x2+2(m-2)x+4的定义域为R,则m的取值范围是.,(2)若不等式mx2-2x+1-m0对满足-2m2的所有m都成立,则实数x的取值范围是.,【分析】(1)将函数定义域为R转化为不等式大于零恒成立,然后通过转化为二次函数求解;,(2)将m视为变量,转化为关于m的一次函数的单调性,构造不,题型3三个二次之间的转化,等式关系,得出实数x的取值范围.,【解析】(1)函数y=log2(m-2)x2+2(m-2)x+4的定义域为R,(m-2)x2+2(m-2)x+40对xR成立.,当m=2时,成立;,当m2时,根据对数真数恒大于零,得(m-2)x2+2(m-2)x+40的解集为R.,即,解得,m的取值范围为2,6).,(2)已知不等式可化为(x2-1)m+(1-2x)0.,设f(m)=(x2-1)m+(1-2x),这是一个关于m的一次函数(或常数函数),从图象上看,要使f(m)0在-2m2时恒成立,其等价条,件是:,即,解得,所以,实数x的取值范围是(,).,【答案】(1)2,6)(2)(,),【点评】(1)“三个二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容,具有丰富的内涵,和密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中很多试题与“三个二次”问题有关,而不等式的解法其核心内容也是一元二次不等式的解法,因此“三个二次”及其关系的问题一直以来是高考中的热点.(2)题是一个关于x的二次不等式,若将主元看作m,则变为关于m的一次函数,从而使问题变为一次不等式.,变式训练3(1)若关于x的不等式 1的解集是一切实数,则实数k的取值范围是.,(2)若命题“a1,3,使ax2+(a-2)x-20”为真命题,则实数x的取值范围是.,【解析】(1)分母4x2+6x+3的0,4x2+6x+30对任意实数x恒成立.,原不等式可化为2x2+2kx+k4x2+6x+3,即2x2+(6-2k)x+3-k0恒成立.,即1k3.,(2)令m(a)=ax2+(a-2)x-2=(x2+x)a-2x-2,m(a)是关于a的一次函数,命题“a1,3,使ax2+(a-2)x-20”为真命题,m(1)0或m(3)0,即x2-x-20,或3x2+x-20,由得x2;由得x.,所以,所求实数x的取值范围是x.,【答案】(1)(1,3)(2)(-,-1)(,+),例4汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.,在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别,题型4不等式解法在实际问题中的应用,有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问:甲、乙两车有无超速现象?,【分析】判断两车是否超速,可以通过刹车距离确定该车速度,因此,根据速度与刹车距离的函数关系,确定两车速度范围即可.,【解析】由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x212,即x2+10 x-12000,解得x30或x-40(不合实际意义,舍去),这表明甲车的车,速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m,由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.,对于乙车,有0.05x+0.005x210,即x2+10 x-20000,解得x40或x-50(不合实际意义,舍去),这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.,综上易知甲车未超速,乙车超速.,【点评】本题通过函数与不等式的综合,考查了学生的数学,应用能力,在解题过程中要特别注意函数的定义域.,变式训练4某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x)(万元),其中固定成本为2万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本);销售收入R(x)(万元)满足:,R(x)=假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律.,(1)要使工厂有赢利,产量x应控制在什么范围内?,(2)工厂生产多少台产品时,可使赢利最多?,【解析】依题意,G(x)=x+2,设利润函数为f(x),则f(x)=,(1)要使工厂有赢利,即解不等式f(x)0,当0 x5时,解不等,式-0.4x2+3.2x-2.80,即x2-8x+70,得1x7,1x5.,当x5时,解不等式8.2-x0,得 x8.2,5x8.2.,综上所述,要使工厂赢利,x应满足1x8.2,即产品产量应控制在大于100台,小于820台的范围内.,(2)0 x5时,f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,故当x=4时,f(x)有最大值3.6.,而当x5时,f(x)8.2-5=3.2,所以,当工厂生产400台产品时,赢利最多.,1.解不等式的基础是一元一次不等式和一元二次不等式,解决其他类型的不等式的关键就是要善于利用有关的性质或定理,通过等价转换,变成一元一次、二次不等式(组).,2.要注意含参不等式的分类讨论与分段函数不等式的区别,对含参不等式分类讨论所得的各个不等式解集不能取并集;而对分段函数分类讨论后,要取各个不等式的并集.,3.含参不等式问题,如果不等式的解集与参数有关,就必须分,类讨论,但是要注意分类标准,做到不重不漏.,例解不等式lo()0.,【错解】由原不等式得 1,去分母得2x-3x+4,解得x7,故原不等式的解集为x|x7.,【剖析】上面的解法错在:一是把对数不等式转化为代数不等式时忽略了函数的定义域;二是解分式不等式时随意地去分母,我们研究的问题都是在它们有意义的前提下进行的,因此忽略了定义域对数值可能不存在了.不等式的性质明确表,明不等式的两边同乘(除)以同一个正数或负数,不等号的方向是不同的,只有确定这个数是正数或负数时才能判定不等号是同向或异向.以上两点是解不等式时最易犯的错误,务必牢记.,【正解】原不等式可转化为,x7.,故原不等式的解集为x|x7.,一、选择题(本大题共5小题,每小题6分),1.(基础再现)不等式 0的解集是(),(A)(-,-1)(-1,2.,(B)(-1,2.,(C)(-,-1)2,+).,(D)-1,2.,【解析】0 所以-1x2.,【答案】B,2.(基础再现)设集合A=x|x2-10,B=x|log2x0,则AB等于(),(A)x|x1.,(B)x|x0.,(C)x|x-1.,(D)x|x1或x-1.,【解析】A=x|x2-10=x|x1或x0=x|x1,因此AB=x|x1.,【答案】A,3.(视角拓展)函数y=的定义域为(),(A)-1,-)(0,.,(B)-1,.,(C)(-,-)(0,+).,(D)(-,(0,1.,【解析】lo(3x2+2x)0,03x2+2x1,0 x或-1x-.,【答案】A,4.(视角拓展)已知不等式x2-2x-30的解集为A,不等式x2+x-60的解集是B,不等式x2+ax+b0的解集是AB,那么a+b等于(),(A)-3.(B)1.(C)-1.(D)3.,【解析】由题意:A=x|-1x3,B=x|-3x2,AB=x|-1x2,由根与系数的关系可知:a=-1,b=-2,选A.,【答案】A,5.(高度提升)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-40恒成立,则实数a的取值范围是(),(A)(-,-2).(B)(-,2.,(C)(-2,2).(D)(-2,2.,【解析】(1)a=2时满足题意;(2)a2时,对应方程的=4(a-2)2+16(a-2)0,且a-20,解得-2a2.综上可知实数a的范围是(-2,2.,【答案】D,6.(基础再现)已知常数t是负实数,则函数f(x)=,的定义域是.,【解析】由题知12t2-tx-x20,(x+4t)(x-3t)0.由于t为负实数,于是可解得x3t,-4t.,【答案】3t,-4t,二、填空题(本大题共4小题,每小题7分),7.(基础再现)不等式-4-x2-x-2的解集是.,【解析】2x2+x+4,x(-1,-1)(-1,-1).,【答案】(-1,-1)(-1,-1),8.(视角拓展)设函数f(x)是定义在R上的奇函数.若当x(0,+)时,f(x)=lg x,则满足f(x)0的x的取值范围是.,【解析】f(x)在R上是奇函数,f(-0)=-f(0),f(0)=0,设x0,f(x)=-f(-x)=-lg(-x),f(x)=,由f(x)0得 或,x1或-1x0.,【答案】(-1,0)(1,+),9.(高度提升)为激发学生学习的兴趣,老师上课时在黑板上写出三个集合:A=x|0,B=x|4x2+x-30,C=x|log x1.然后叫3名同学到讲台上,并将“”中的数告诉了他们,要求他们各用一句话来描述,以便同学们能确定该数.以下是三位同学的描述:甲:此数为负整数;乙:A是B成立的充分不必要条件;丙:A是C成立的必要不充分条件.若老师评说三位同学都说的对,则“”中的数为.,【解析】根据题意可得B=x|-1x,C=x|0 x.根据甲的描述,设负整数为k,则A=0 x-.,根据乙丙的描述AB,CA,因此-,解得-3k-,因此k=-2.,【答案】-2,10.(基础再现)解下列不等式:,(1)-3x2+6x2;,(2)0 x2+x-24.,【解析】(1)原不等式可化为3x2-6x+20.,=(-6)2-432=120,方程3x2-6x+2=0的两根为,三、解答题(本大题共3小题,每小题14分),x1=1-,x2=1+,原不等式的解集是x|1-x1+.,(2)原不等式可转化为不等式组,解得x1或x-2,解得-3x2.,原不等式的解集为x|-3x-2或1x2.,11.(高度提升)解不等式x2-(a2+a)x+a30(a为参数).,【解析】原不等式可化为(x-a)(x-a2)0.,若aa2,则a2-aa;,若a1,则原不等式的解集为x|xa2;,若a=a2,即a=0或a=1,则原不等式的解集为xR|x0且x1.,因此,当0a;,当a1时,原不等式的解集为x|xa2;,当a=0或a=1时,原不等式的解集为xR|x0且x1.,12.(能力综合)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)-2x的解集为(1,3).,(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;,(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.,【解析】(1)f(x)+2x0的解集为(1,3),故可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.,由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0.,因为方程有两个相等的实根,所以,=-(2+4a)2-4a9a=0,即5a2-4a-1=0,解得a=1或a=-.,由于a0,所以a=-,将a=-代入得f(x)的解析式f(x)=-x2-x-.,(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-,又a0,可得当x=时f(x)有最大值-.,由-0且a0得,解得a-2-或-2+a0.,故当f(x)的最大值为正数时,实数a的取值范围是(-,-2-)(-2+,0).,