空间问题的基本理论详解.ppt
1,2023/10/17,第七章 空间问题的基本理论,2,2023/10/17,主要内容,7.1 空间问题的一般理论与基本方程 7.2 物体中任一点的应力状态 7.3 空间问题的两种简化形式,3,2023/10/17,为什么要研究空间三维弹性体？,有工程的需要：对于复杂的工程问题，由于结构体的形状复杂，受力也多种多样，因而有必要对三维的空间问题予以研究。某些可看作平面问题的精细化求解：平面问题只是对某些具有特殊几何与外部载荷特征的（如薄板受面内作用力、柱形体受与轴向无关的载荷等）三维空间问题的简化处理。,4,2023/10/17,概述,弹性力学基本方程建立了弹性力学问题的数学模型，为求解弹性力学奠定了基础。虽然这些方程的直接求解十分困难，只有小部分可以得到分析解，这些解已经有了广泛的应用，更为重要的是这些方程的建立为有限元、边界元等数值计算提供了基础。弹性力学基本方程的求解一般是在一定条件下，对问题进行简化，化简方程再进行求解，简化后一般可分为平面问题，轴对称问题、球对称问题。,5,2023/10/17,空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空间球对称问题和空间轴对称问题。,一、球对称问题,当弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是圆球或空心球。,球对称问题,概述,6,2023/10/17,概述,如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称与某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一般是圆柱或半空间。,在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标、Z的函数，与无关。,二、轴对称问题,7,2023/10/17,一般地，需要从四个方面来考虑：静力学方面；几何学方面；物理学方面；边界条件。,7.1.1 静力学方面 平衡微分方程,什么是平衡微分方程？如何建立平衡微分方程？,8,2023/10/17,9,2023/10/17,10,2023/10/17,故直角坐标系下的空间问题的平衡微分方程为：,剪应力互等关系：,11,2023/10/17,7.1.2 几何学方面几何方程,目的：导出空间问题中各应变分量和位移 分量之间的关系，即为几何方程,分析：弹性体发生变形时，微小的六面体 不仅边长要发生变化，同时相邻两 边的夹角(直角)也可能发生变化。,空间任意一点 P点的应变分量：,三个正应变,三个剪应变,空间任意一点 P点的位移分量：,12,2023/10/17,在平面问题中，已经分析了位于oxy平面内的应变分量和位移分量之间的关系，得到如下的几何方程：,利用相同的分析方法，分析空间弹性体位于oyz和ozx两平面相应线元的变形，可以得到另外三个几何方程，将其与上面三个几何方程归并在一起，即可得到空间问题的几何方程。,13,2023/10/17,故弹性空间问题的几何方程为：,写成矩阵的形式为：,其中,14,2023/10/17,为了导出刚体位移的表达式，可令各应变分量为零，即,代入几何方程，积分可得刚体位移的表达式为：,式中 分别为沿着x,y,z三个坐标轴方向的刚体平移；分别为绕着x,y,z三个坐标轴的刚体转动。,15,2023/10/17,问题：若已知物体内任一点P处的六个应变分量(1)是否可以确定过P点的任意方向的微小线段的正应变？(2)是否可以确定过P点的任意两个方向上微小线段之间的夹 角的改变？,结论：在物体内任意一点，如果已知六个应变分量，可以求得经过该点的任一线段的正应变，也可以求得经过该点的任意两线段之间的夹角的改变，即六个应变状态完全决定了这点的应变状态。,故空间弹性体中的任意一点的应变状态可 以表示为：,16,2023/10/17,设有微小的正平行六面体，其棱边的长度为dx,dy,dz,在变形前的体积为dxdydz,变形后的体积为：,定义体积应变为弹性体单位体积的体积改变，则,略去高阶微量，得体积应变为：,17,2023/10/17,7.1.3 物理学方面物理方程,对于各向同性的完全弹性体，应力与应变之间的关系，就是材料力学中的广义胡克定理，即,18,2023/10/17,将物理方程的前三式相加，可得,令,又由于体积应变为：,故有：,虎克定理,上式称为体积弹性定律，为体积应变，相应的称作体积应力，称作体积弹性模量。,19,2023/10/17,前面我们论述了有关空间弹性问题相关的静力学、几何学和物理学三个方面，可以看出：所建立的方程共有15个，包括平衡方程3个、几何（应变与位移关系）方程6个、物理方程（应力应变关系）6个；而所包含的全部未知函数数目也是15个，6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量,7.1.4 边界条件,20,2023/10/17,由微分方程的相关理论我们知，在适当的定解边界条件下，该组15个微分方程完全有可能确定15个待求的未知量。一般地，弹性力学问题的边界包括位移边界和应力边界。在位移边界问题中，位移分量在边界上应当满足位移边界条件,对于边界简单几何特征情形，应力边界容易表示。但实际问题中边界的形状往往很复杂，可能为斜面、曲面等，因此我们有必要建立一般边界几何构形下的边界条件的提法。但这将涉及到斜面上应力、应变和位移的表述。,21,2023/10/17,(1)位移边界条件,在位移边界 上：,(2)应力边界条件,(3)混合边界条件,22,2023/10/17,7.1.5 方程综合,(1)平衡方程,(2)几何方程,23,2023/10/17,故物理方程的另一种形式为：,(3)物理方程,24,2023/10/17,(1)位移边界条件,在位移边界 上：,(2)应力边界条件,(3)混合边界条件,弹性空间问题的基本未知函数共15个，即6个应力分量，6个应变分量 和3个位移分量，这些未知函数都只是位置坐标 x、y，z的函数。空间问题的基本方程有15个，而基本未知函数也是15个，故可以通过求解基本方程就可以得到平面问题的基本未 知函数。空间问题的基本方程均为微分方程，故求解此方程时需 要借助相应问题的边界条件。,25,2023/10/17,在空间问题中，相容方程为:,同平面问题类似，几何方程中的6个应变分量 是用三个位移分量u，v，w表示的，因此这6个应变分量不能取为x,y,z的任意函数，它们之间必须满足一定的关系，以保证变形协调，这种关系称作变形协调条件或相容方程。,26,2023/10/17,对于边界简单几何特征情形，应力边界容易表示。但实际问题中边界的形状往往很复杂，可能为斜面、曲面等，因此我们有必要建立一般边界几何构形下的边界条件的提法。但这将涉及到斜面上应力、应变和位移的表述。,边界条件提取-斜面上应力应变状态问题-如何描述空间问题中一点的应力状态？,27,2023/10/17,任意斜截面上的应力,问题描述：已知物体中过任意一点的垂直于x轴、y轴和z轴 截面上的应力分量，求外法线为N的任意斜截面 上的应力。,P,A,B,C,设任一斜面ABC的外法线N的方向余弦为：,已知:P点的六个应力分量：,欲求:过P点的任一斜面(外法线N的方向余弦为l,m,n)上的应力分量：,28,2023/10/17,P,A,B,C,设斜面ABC上的总应力 沿着坐标轴x,y,z方向上的分量为，面ABC面积为ds，根据四面体的平衡条件：,29,2023/10/17,任意斜面上的正应力 即为 在N方向的分量之和，于是有：,代入即可得到斜面上的正应力 的表达式：,同时斜面上的剪应力 满足以下关系：,结论：对物体内任意一点，如果已知三个相互垂直面上的 6个应力分量，则利用上式可以计算得到该点任一斜 截面上的正应力和剪应力，故对于空间弹性体，6个 应力分量就完全确定了一点的应力状态。,30,2023/10/17,7.2.2 空间问题的应力边界条件,若P 点在弹性体的边界上，其外法线为N，边界上的面力分量为，则边界斜面上的应力分量与边界上的面力分量满足以下关系：,故有：,此即为空间弹性体的应力边界条件，它给出了应力分量的边界值和面力分量之间的关系。,31,2023/10/17,应力边界条件的几种特殊情况：,32,2023/10/17,工程中的强度理论一般都是以主应力表示的，故主应力的概念和主应力的计算在工程设计中起着重要的作用。,如果经过点的某一斜面上的剪应力为零，则该斜面上的正应力称作点的一个主应力；此斜面称作点的一个应力主面；该斜面的法向称作点的一个应力主向。,假设P点有一个应力主面存在，在该面上剪应力，则该面上的全应力就等于正应力，也等于主应力，即：,则该面上的全应力在坐标轴上的投影为：,7.2.3 主应力,33,2023/10/17,将此式代入斜面上应力分量的表达式可得：,各方向余弦之间的关系为：,可以用上面四式来求解四个待定未知量。,前三式要有非零解的充要条件为：,34,2023/10/17,展开可得：,其中：,上式称为应力状态的特征方程，可以证明它有三个实根，此即所求的三个主应力。,应力状态的第一、二、三不变量,由于三个主应力是应力状态方程的三个根，故有,故应力状态不变量也可用主应力表示为：,35,2023/10/17,当求得主应力以后，利用下式求主方向,将二式除以,36,2023/10/17,同样也可以求出其他主应力的方向余弦。,37,2023/10/17,主应力的基本性质：,(1)正交性。当三个主应力互不相等时，三个主平面是相互垂直的。,(2)实数性。三个主应力必为应力状态方程的实根。,(3)极值性。当截面方位变化时，所有截面上的正应力中最大和最小值是主应力。,若假定，则可以得到：,这表明 是所有正应力中的最大值，而 是所有正应力中的最小值。,38,2023/10/17,7.3.1 轴对称空间问题,空间轴对称问题中基本物理量：,对于空间轴对称问题，采用圆柱坐标系 要比采用 直角坐标系 方便很多。,对于很多空间问题，若弹性体的形状、所受外力以及约束 情况 均对称于z轴而与 无关，例如圆柱体、半无限空 间等，那么，其应力、应变和位移也 均对称于z轴而与 无关，这类问题称作空间轴对称问题。,应力分量列阵：,应变量列阵：,位移分量列阵：,39,2023/10/17,1.平衡方程,40,2023/10/17,41,2023/10/17,2.几何方程,42,2023/10/17,空间轴对称问题的几何方程为：,43,2023/10/17,3.物理方程,参照直角坐标系，可以得到空间轴对称问题的物理方程为;,44,2023/10/17,其中 为体积应变。,体积应力：,前三式相加可得：,故物理方程可以表示为另一种形式：,45,2023/10/17,7.3.2 球对称空间问题,何谓球对称问题？如果弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外部因素（载荷、温度场等）都对称于某一点（通过该点的任意平面都是对称面），则所有的应力、应变与位移也就对称于这一点，这种问题称为点对称问题，或球对称问题。,显然球对称问题只能发生在空心或实心的圆球体内。在描述球对称问题时，自然选取球坐标系比较方便。,
