空间直线及其方程 (2).ppt
第六节 空间直线及其方程,一、空间直线的一般方程,二、空间直线的对称式方程与参数方程,三、两直线的夹角,四、直线与平面的夹角,五、杂例,返回,一、空间直线的一般方程,空间直线L可以看作是两个平面II1和II2的交线(图755).,如果两个相交的平面II1 和II2 的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0，那么直线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程，即应满足方程组,(1),反过来，如果点M不在直线L上，那么它不可能同时在平面II1和II2上，所以它的坐标不满足方程组(1).因此，直线L可以用方程组(1)来表示.方程组(1)叫做空间直线的一般方程.,通过空间一直线L的平面有无限多个，只要在这无限多个平面中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表示空间直线L.,返回,二、空间直线的对称式方程与参数方程,如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量.任意知道，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.,由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线，所以当直线L上一点M0(x0,y0,z0)和它的一方向向量s=(m,n,p)为已知时，直线L的位置就完全确定了，下面我们来建立这直线的方程.,设点M(x,y,z)时直线L上的任一点，那么向量,与L的方向向量s平行(7-56).,所以两向量的对应坐标成比例，由于,=(x-x0,y-y0,z-z0),s=(m,n,p)，,从而有,(2),的方程，叫做直线的对称式方程或点向式方程.,反过来，如果点M不在直线L上，那么由于,这两向量的对应坐标就不成比例.因此方程组(2)就时直线L,与s不平行，,直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数，二向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦.,由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程.如设,那么,(3),方程组(3)就是直线的参数方程.,例 1 用对称式方程及参数方程表示直线,解 先找出这直线上的一点(x0,y0,z0).例如，可以取x0=1，代入方程组(4)，得,即(1,0,-2)是这直线上的一点.,下面再找出这直线的方向向量s.由于两平面的交线与这两平面的法线向量n1=(1,1,1)，n2(2,-1,3)都垂直，所以可取,因此，所给直线的对称式方程为,令,得所给直线的参数方程为,返回,三、两直线的夹角,两条直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角.,设直线L1和L2的方向向量依次为s1=(m1,n1,p1)和s2(m2,n2,p2)，那么L1和L2的夹角,应是(s1,s2)和(-s1,s2)=,-(s1,s2)两者中的,锐角，因此cos,=|cos(s1,s2)|.按两向量的夹角的余弦公式，,直线L1和直线L2的夹角,可由,cos,=,(5),来确定.,从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：,两直线L1、L2互相垂直相当与m1m2+n1n2+p1p2=0；,两直线L1、L2互相平行或重合相当于,例 2 求直线L1：,和L2：,的夹角.,解 直线L1的方向向量为s1(1,-4,1)；直线L2的方向向量为s2=(2,-2,-1).,cos,=,=,所以,返回,四、直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角,垂直时，规定直线与平面的夹角为,称为直线与平面的夹角(图757)，当直线与平面,设直线的方向向量为s=(m,n,p)，平面的法,线向量为n=(A,B,C)，直线与平面的夹角为,，那么,|,-(s,n)|，因此sin,|cos(s,n)|.因此sin,=,=|cos(s,n)|，按两向量,夹角余弦的坐标表示式，有,sin,(6),因此直线与平面垂直相当与直线的方向向量与平面的法线向量平行，所以，直线与平面垂直相当与,(7),例 3 求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程.,解 因为所求直线垂直于已知平面，所以可以取已知平面的法线向量(2,-3,1)作为所求直线的方向向量.由此可得所求直线的方程为,返回,五、杂例,例 4 求与两平面x-4y=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点(-3,2,5)的直线的方程.,解 因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s一定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直，所以可以取,因此所求直线的方程为,例 5 求直线,与平面2x+y+z-6=0的交点.,解 所给直线的参数方程为,x=2t,y=3t,z=4+2t,代入平面方程中，得,2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.,解上列方程，得t=-1.把求得的t值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为,x=1,y=2,z=2.,例 6 求过点(2,1,3)且与直线,的方程.,垂直相交的直线,再求已知直线与这平面的交点.已知直线的参数方程为,x=-1+3t,y=1+2t,z=-t.(10),把(10)代入(9)中，求得t=,，从而求得交点为,以点(2,1,3)为起点，点,为终点的向量,是所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为,有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程.,设直线L由方程组,所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例.,我们建立三元一次方程：,(13),其中,为任意常数.因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成,比例，所以对于任何一个,值，方程(13)的系数：,不全为零，从而方程(13)表示,一个平面，若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程(11)和(12)，因而也满足方程(13)，故方程(13)表示通过直线L的平面，且对于于不同的,同的平面.,值，方程(13)表示通过直线L的不,反之，通过直线L的任何平面(除平面(12)外)都包含在方程(13)所表示的一族平面内.通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程(13)就作为通过直线L的平面束的方程(事实上，方程(13)表示缺少平面(12)的平面束).,例 7 求直线,在平面x+y+z=0上的投影直线的,方程.,解 过直线,的平面束的方程为,(x+y-z-1)+,(x-y+z+1)=0,(1+)x+(1-)y+(-1+)z+(-1+)=0,即,(14),其中,为待定常数.这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是,即,由此得,=-1,代入(14)式，得投影平面的方程为,2y-2z-2=0 即 y-z-1=0,所以投影直线的方程为,返回,
