空间向量法解决立体几何证明.ppt

利用空间向量解决立体几何问题,数学专题二,复习:,2.向量的夹角:,A,B,向量 的夹角记作:,1.空间向量的数量积:,4.向量的模长:,3.有关性质:,两非零向量,5.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对 使,推论:,一.引入两个重要的空间向量,1.直线的方向向量 把与直线平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是,2.平面的法向量,与平面垂直的向量叫做平面的法向量.,n,例1.如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为_平面OABC 的一个法向量坐标为_平面AB1C 的一个法向量坐标为_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),练习:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,A,B,C,D,O,A1,B1,C1,D1,z,x,y,解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2),取z=1,解得:,得:,由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）,练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.,A,B,C,D,P,E,解：如图所示建立空间直角坐标系.,设平面EDB的法向量为,二、立体几何中的向量方法平行关系,m,l,一.平行关系：,二、垂直关系：,l,m,l,A,B,C,例1 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE/FG.,A,B,C,D,P,G,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG,证：如图所示,建立空间直角坐标系.,/,AE与FG不共线,几何法呢？,例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，求证：PA/平面EDB.,A,B,C,D,P,E,解1 立体几何法,A,B,C,D,P,E,解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,证明：,设平面EDB的法向量为,几何法呢？,几何法呢？,练习 棱长为a 的正方体 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：,Z,x,y,解：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.,A,B,C,D,P,E,F,证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.,A,B,C,D,P,E,F,证2：,E是AA1中点，,例3 正方体,平面C1BD.,证明：,E,求证：平面EBD,设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系,平面C1BD的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面EBD的一个法向量是,平面C1BD.,平面EBD,证明2：,E,E是AA1中点，,例3 正方体,平面C1BD.,求证：平面EBD,A,B,C,D,P,G,例4棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(1)A1E 平面DBC1;(2)AB1 平面DBC1,A1,C1,B1,A,C,B,E,D,z,x,y,解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,从而A1E 平面DBC1(2),而 n=-2+0+2=0AB1 平面DBC1,