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    矩阵与线性变换.ppt

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    矩阵与线性变换.ppt

    1,.矩阵的初步概念 与线性变换,矩阵概念的引入,线性变换与矩阵的关系,矩阵的乘法,2,一、矩阵概念的引入,几个引例,()考察三位同学上学期无机、高数两门课程的成绩:,上面的数表完全刻画了三位同学的考试情况,3,系数,常数项,()线性方程组,解的情况完全取决于,对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.,线性方程组的系数和常数项按原相对位置可排为,4,()四种食品(Food)在三家商店(Shop)中,单位,量的售价(以某种货币单位计)可用以下数表给出,在科学技术领域和生活实践中,许多对象都可以采用上边的数表形式表示,进而进行研究,5,矩阵的定义,简记为,横排称行,纵排称列;,6,例如:,是一个矩阵;,是一个n(n+)矩阵;,是一个3矩阵;,7,一些特殊矩阵:,实矩阵:,元素都是实数.,复矩阵:,有些元素是复数.,同型矩阵:,行数相同,列数相同的几个矩阵,是一个 复矩阵,为同型矩阵.,8,n阶(级)矩阵:,行矩阵(向量):,n矩阵,列矩阵(向量):,n矩阵,nn矩阵,记作,零矩阵:,元素全为的矩阵,记作,或,是一个三阶方(矩)阵;,注意:,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如:,9,对角矩阵:,除主对角线上有非零元素外,其余的非主对角线上的元素都是的方阵,数量矩阵:,主对角线上元素都相等的对角矩阵,10,单位矩阵:,主对角线上元素全为的对角矩阵,对称矩阵:,的方阵,反对称矩阵:,的方阵,记作或,注意:反对称矩阵的对角线上的元素一定是,11,相等矩阵:,两个同型矩阵的对应行对应列的元素相等,例 设,解,行列式与矩阵的区别:,1.一个是算式,一个是数表,2.一个行、列数相同,一个行、列数可不同.,3.对 n 阶方阵可求它的行列式.记为:,12,二、线性变换及其矩阵,定义,线性变换.,一般来说,13,对线性变换来说,与矩阵有密切的关系,系数矩阵,线性变换与矩阵之间是相互唯一确定的,称之为线性变换的矩阵,14,这样对线性变换的讨论就可转化为对相应矩阵的讨论,下面我们看几个简单的却是重要的线性变换,(),表示平面上绕坐标原点的一个旋转变换,是变换的矩阵,表示关于x轴的反射(反映),表示关于原点的中心反射(反映),15,(),表示空间一点绕z轴的一个旋转变换,是关于xoy面的(镜面)反射变换,是关于ox轴的反映.,自己写出这些变换的矩阵.,16,关于线性变换的进一步的话题:,新变量与旧变量的个数相同时的线性变换是我们用的最多的,比如刚才的几个例子.一般n个变量的线性变换的形式为,其矩阵为n阶方阵,以这些元素为元素的行列式称为变换的行列式.,17,如果变换的行列式,称相应的线性变换是非奇异,的,或非退化的,或是一一变换.,否则就是奇异的或退化的.,如果线性变换的矩阵是单位矩阵,则称为恒等变换.,你能写出n个变量的恒等变换的表达式吗?,下面谈谈连续施行两个变换的问题,假如对空间的任意点,先绕z轴旋转角度,变为点,再作对xoy面的镜面反射(反映),,变为点,则,18,绕z轴的旋转变换的表达式,的反映可表为,把前一式代入后一式,得,19,其中,可由下列方法得到:,20,一般地,,把第一个式子中的变量y代入第二个式子,得到的是变量x与z的关系,具有形式,21,变换是连续施行变换和的结果,称为,的乘积,记作,其中,(注意书写顺序!),即矩阵C的第k行第j列的元素等于矩阵B的第k行与矩阵A的第j列的对应元素的乘积之和,对应于线性变换的乘积,我们把矩阵称为矩阵与矩阵的乘积,记作,22,例如,例,例,求AB,23,解,注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.,一个pm矩阵与一个mn矩阵的乘积是一个pn矩阵,24,例如,是不能相乘的,而,一阶矩阵,此例说明矩阵的乘法不满足交换律,即一般地,例,25,矩阵乘法满足的运算规律:,(其中 为数);,矩阵乘法不满足交换律,特别注意:,矩阵乘法不满足消去律,即,26,若A是n 阶方阵,则 为A的 次幂,即,方阵的幂:,并且,例如:,有,但是,同时,27,思考:,在什么条件下,有下列式子成立?,28,线性变换的矩阵表示,对于线性变换,如果令,则线性变换可表为,两个线性变换,的乘积就可表示为,多么简洁啊!,29,例,求变换,的乘积,30,最后我们给出n阶方阵的行列式的定理结束本节,定理,两个n阶方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积,即,方阵,例,易知,故,31,本节结束,刚才我们已经知道,对两个n阶方阵来说,

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