矢量的通量与散度.ppt

第一章 矢量分析,任意点处矢量的表示方法:矢量场中任意一点P处的矢量可以用一个矢性函数A=A(P)来表示。当选定了直角坐标系后，它就可以表示为：A=A(x,y,z)利用坐标分量表示法:设Ax,Ay,Az为矢性函数A在直角坐标系中的三个坐标分量，且假定它们都具有一阶连续偏导数，则A可以示为,1.4 矢量场的通量与散度,矢量场的矢量线,第一章 矢量分析,所谓矢量线即在曲线上每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上（如图所示），如静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等，都是矢量线.,P为矢量线上任一点，其矢径为r，则根据矢量线的定义，有其中矢径r的表达式为,矢量线图,第一章 矢量分析,矢量线的特点,矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向,第一章 矢量分析,1.4 矢量的通量和散度,矢量场的通量在矢量场A中取一个面元dS及与该面元垂直的单位矢量n（外法向矢量，如图所示），则面元矢量表示为：dS=n dS,问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。,第一章 矢量分析,由于所取的面元dS很小，因此可认为在面元上各点矢量场A的值相同，A与面元dS的标量积称为矢量场A穿过dS的通量记作,因此矢量场A穿过整个曲面S的通量为,若S 为闭合曲面,物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。,第一章 矢量分析,1.4.3.矢量场的散度,(1)散度的定义设有矢量场A，在其中任一点P处作一个包含P点在内的闭合曲面S，设S所限定的体积为V，当体积V以任意方式缩向P点时，取下列极限:,如果上式的极限存在，则称此极限为矢量场A在点P处的散度，记作,散度的物理意义,矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性,矢量场的散度是一个标量,矢量场的散度是空间坐标的函数,矢量场的散度值表征空间中通量源的密度,若，则该矢量场称为有源场，为源密度,若 处处成立，则该矢量场称为无源场,讨论：在矢量场中，,从点P 单位体积内散发的通量,第一章 矢量分析,散度的表达式为(直角坐标系),圆柱坐标系球坐标系,第一章 矢量分析,重要的定理为散度定理又称高斯定理,该公式表明了矢量场 的散度在体积V内的积分等于矢量场在限定该体积的边界面S上的积分（通量）。,散度定理的证明,从散度定义有：,则在一定体积V内的总的通量为：,得证！,例如：已知R=ex(x-x)+ey(y-y)+ez(z-z),R=|R|求矢量,在,处的散度,