电磁场电磁波教案 (2).ppt

第一章 矢量分析,主 要 内 容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理,1.标量场的方向导数与梯度2.矢量场的通量与散度3.矢量场的环量与旋度4.无散场和无旋场5.格林定理 6.矢量场的惟一性定理7.亥姆霍兹定理 8.正交曲面坐标系,2023/10/16,1,1 标量（1）标量：只有大小没有方向的物理量。用斜体字母表示，如A。,（2）恒力作功W=FS力F和位移S都是矢量，而功W是标量，F和S进行了一次点乘。,（3）标量还可能是复数，如交流电路中的复数电压U，复数电流I等，人们把相位信息巧妙的存放在复数的幅角上，公式推导和计算都很方便。,a 一部分标量是算数量：如质量m、体积v、直流电阻R均大于等于0。,b 另一部分标量是代数量：,电量Q、静电位、磁通量等可正可负；,电量Q正负可描述带正电还是带负电；,磁通量的正负可描述磁力线的穿进和穿出；,忽略力F的方向属性后，从它的正负依然可甄别是吸力还是斥力；,规定了参考方向以后，电流强度I的正负可描述电流的瞬时方向等等。,在研究的问题中，如果只存在两种对立的广义方向，则使用标量进行描述和处理是合理的。,1-1 标量与矢量,2023/10/16,2,2 矢量：既有大小又有方向且满足平行四边形合成法则的物理量。,例：物体的位移s，速度v，加速度a，角速度，力F，电场强度E等。,3 标量场与矢量场,场是物质的存在形态，在空间同一点上，允许同时存在多种场，或者一种场的多种模式，这与实物粒子的不可入性和排他性有天壤之别。,标量场：标量的空间分布构成标量场。,矢量场：矢量的空间分布构成矢量场。,或者说：如果在空间区域上，每一点都存在一确定的物理量A，则场域上存在由场量A构成的场，如果A是标量，我们就说上存在一标量场；如果A是矢量，则说明场域上存在一矢量场。,用加粗的斜体字母表示，如A。手写体为斜体字母加箭头，如。,2023/10/16,3,4 按时空变化规律的几种典型场,（2）如果A=A(t)，即场量A仅随时间t变化，而在空间上呈现均匀分布，这种场被称为均匀场。,5 常矢量：若矢量的大小及方向均与空间坐标无关，这种矢量称为常矢量。否则，称为变矢量。,（1）如果A=A(x,y,z)，即场量A不随时间t变化，人们把这种场称为静态场或恒定场。,例如，房间的温度场T(x,y,z)一般是均匀场，因为尽管在一昼夜中温度是变化的，但同一时刻t房间内任意两点间的温差为0；换言之，不同点上的温度变化是同步的，在均匀情况下，观测不到波动现象，只能观测到整个场域在作同步的振动。,（3）均匀平面波,（4）时变场,例如：地球内部密度分布，点电荷的静电位和电场强度E。,2023/10/16,4,1-2 矢量的代数运算,2.加法：结合律：,交换率：,3.矢量与标量相乘：,2023/10/16,5,1-3 矢量的标积,3.单位矢量：模为1的矢量。,则：任一矢量等于该矢量的模与其单位矢量的乘积。,两个矢量的标积是一个标量，且满足交换律，即：,则矢量A与矢量B的标积的代数定义为：,则,2023/10/16,6,则矢量A为坐标轴上投影的合成矢量，即,或者,2023/10/16,7,5.矢量标积的几何意义：,由,可得：,是矢量B在矢量A方向上的投影大小,标积AB等于矢量A的模与矢量B在矢量A的方向上的投影大小的乘积，或者说等于矢量B的模与矢量A在矢量B的方向上的投影大小的乘积。,是矢量A在矢量B方向上的投影大小,显然：,2023/10/16,8,两个矢量的矢积仍然是一个矢量,注意：矢量的矢积运算不满足交换律,1.矢量的矢积又称为叉积或外积，以叉号“”表示。在直角坐标系中若矢量A和矢量B分别为,则矢量A与矢量B矢积的代数定义可用行列式表示为,1-4 矢量的矢积,2023/10/16,9,2.矢量矢积的几何意义：,2023/10/16,10,显然：,可见，矢量（AB）的方向与矢量A及矢量B垂直，且由若矢量A旋转到矢量B，并与矢量（AB）构成右旋关系，矢量（AB）的大小为。,5.标量场的方向导数与梯度,方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上的变化率。,例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为,2023/10/16,11,2023/10/16,12,梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方 向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。,在直角坐标系中，方向导数 可写为,若矢量l的方向余弦为，则上式变为,若令（）为矢量G的三个坐标分量，即,而矢量l的单位矢量 为,数学关系推导：,2023/10/16,13,那么，标量场 沿矢量l方向上的方向导数 可以写为,矢量G 称为标量的梯度，以grad表示，即,由此可见，标量场的梯度是一个矢量场。由式 可见，当 的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最大值。因此，标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。,在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为,式中grad 是英文字母 gradient 的缩写。,若引入算符，它在直角坐标系中可表示为,则梯度可表示为,2023/10/16,14,梯度运算规则:,例1-4-1 已知标量场，求（2,1,3）处方向导数的最大值。,解：根据梯度的定义，求得该标量场 的梯度为：,那么，在（2,1,3）处的梯度为，其模为 因此，在（2,1,3）处方向导数的最大值为。,例1-4-2 计算 及。这里 为空间 点与 点之间的距离，如图。点的坐标为,点的坐标为，表示对 运算，表示对 运算。,解：令 点的位置矢量为，点的位置矢量为，则,再令,则,由题意,则,又,同理,则,因此,同理,注意：上述运算过程及结果在电磁场计算中经常遇到，通常以 表示产生电磁场的源坐标，以 表示场坐标。图中，表示源点，表示场点。当计算某一分布源在空间某点产生的场强时，为动点，为定点；当计算空间场量的分布特性或者空间某点各个场量之间的关系时，为动点，为定点。,通量定义：矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲面 S 的通量，以标量 表示，即,6.矢量场的通量与散度,通量的正、负、零：通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。,2023/10/16,19,电学实例：由物理得知，真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数 0 之比，即，,可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。,2023/10/16,20,散度：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度，以 div A 表示，即,式中div 是英文字母 divergence 的缩写，V 为闭合面 S 包围的体积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量，可以简单的记为通量体密度。,直角坐标系中散度可表示为,2023/10/16,21,因此散度可用算符 表示为,高斯散度定理,或者写为,从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。,2023/10/16,22,散度运算规则:,拉普拉斯算子:,直角坐标系中,因此,式中 称为拉普拉斯算子。,直角坐标系表达式：,例1-5-1 求空间任一点 的位置矢量 的散度。,解：已知,因此,环量：矢量场 A 沿有向闭合曲线 l 的线积分称为矢量场 A 沿该曲 线的环量，以 表示，即,7.矢量场的环量与旋度,可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向处处与线元 dl 的方向保持一致，则环量 0；若处处相反，则 0。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。,2023/10/16,25,由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线 l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率 0 的乘积。即,式中电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。,2023/10/16,26,旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋度，则其 方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对 该矢量方向的最大环量强度，即,式中 rot 是英文字母 rotation 的缩写，en 为最大环量强度的方向上的单位矢量，S 为闭合曲线 l 包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量，或简单记为最大环量面密度。,2023/10/16,27,直角坐标系中旋度可用矩阵表示为,或用算符 表示为,应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。,2023/10/16,28,斯托克斯旋度定理,同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。,或者写为,2023/10/16,29,旋度运算规则:,例1-6-1 证明，式中 为常矢量，为位置矢量。,证：令，而，则,那么,散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。,8.无散场和无旋场,两个重要公式：,左式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。,2023/10/16,31,右式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。,两个重要公式：,第一式是判别场量是否是旋度场的准则。若，则矢量 可以写成 的形式。,例：矢量 能否表示成某矢量场的旋度？说明理由。,说明：矢量 是无散场。因为任一无散场可以表示成另一矢量场的旋度，因此，可以表示成某矢量场的旋度。,解：对矢量 求散度。,两个重要公式：,第二式是判别场量是否是梯度场的准则。若，则矢量 可以写成 的形式。,例：矢量 是否为梯度场？说明理由。,解：对矢量 求旋度。,说明：矢量 是无旋场。因为任何梯度场一定是无旋场，因此，是梯度场。,9.格林定理,设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，如下图示。,那么，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式,根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成,式中S 为包围V 的闭合曲面，为标量场 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏导数。,上两式称为标量第一格林定理。,2023/10/16,34,基于上式还可获得下列两式：,上两式称为标量第二格林定理。,设任意两个矢量场 P 与 Q，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场 P 及 Q 满足下列等式,式中S 为包围V 的闭合曲面，面元 dS 的方向为S 的外法线方向，上式称为矢量第一格林定理。,2023/10/16,35,基于上式还可获得下式：,此式称为矢量第二格林定理。,无论何种格林定理，都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。,此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。,格林定理广泛地用于电磁理论。,2023/10/16,36,10.矢量场的惟一性定理,位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。,已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。,2023/10/16,37,若矢量场 F(r)在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，源分布在有限区域 V 中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场 F(r)可以表示为,11.亥姆霍兹定理,式中,2023/10/16,38,2023/10/16,39,（1）无限空间中的矢量场被其散度及旋度惟一的确定，而且它给出了场与源之间的定量关系。（2）已知，梯度场是无旋场，旋度场是无散场。所以，任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。（3）如果矢量场的散度及旋度已知，即可求出该矢量场。因此，矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。,式中,定理表明：,亥姆霍兹定理：,12.正交曲面坐标系,已知矢量 A 在圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示为,式中 a,b,c 均为常数，A 是常矢量吗？,2023/10/16,40,2023/10/16,41,一个正交曲面坐标系由 的3个正交坐标曲面构成，称为坐标变量。令 分别表示3个相应坐标变量梯度方向上的单位矢量。三个曲面处处正交，因此，,以及,在三维正交坐标系 中，矢量A 可表示为：,若一条曲线上各点的切线方向与 方向一致，则称该曲线为变量 的坐标轴。,2023/10/16,42,(1)度量系数,令,称为相应的坐标变量 的度量系数（拉梅系数）,在矢量分析中，经常对矢量函数进行微分与积分运算，这种运算需要坐标变量的微分变化对应于微分长度的变化，但是在正交曲面坐标系中，其坐标变量不一定代表长度。如：，代表角度。因此，为了能对各种坐标变量进行微分运算，必须把非长度的坐标变量的微分增量转化为微分长度。,有向长度的微分增量可以表示为：,那么，该微分增量可用度量系数表示为,有向曲面的微分增量可以表示为：,体积的微分增量可以表示为：,dS在相应的坐标平面上的投影面积用度量系数表示为：,2023/10/16,44,正交曲面坐标系中梯度、散度、旋度的一般表示式：,2023/10/16,45,直角坐标系中,直角坐标系中梯度、散度、旋度的一般表示式：,(2)圆柱坐标系,2023/10/16,46,(3)球坐标系,2023/10/16,47,