理论物理第五章-点和引言.ppt

,第二篇 运动学,第5章 点的运动,5-1 描述点运动的变矢量法,5-2 描述点运动的直角坐标法,5-3 描述点运动的弧坐标法,第5章 点的运动,运动方程：点在空间的位置表达为时间的函数,速度：点运动的快慢,加速度：速度的变化,5-1 描述点运动的变矢量法,第5章 点的运动,5-1 描述点运动的变矢量法,运动方程,运动方程变矢量法中，运动方程用点 在任意瞬时t的位置矢量r(t)表示。r(t)简 称为位矢。,r=r(t),5-1 描述点运动的变矢量法,速 度,t 瞬时:矢径 r(t),r(t)r(t t)r(t),点在 t 瞬时的速度,t 时间间隔内矢径的改变量,t t 瞬时:矢径 r(t t)或r(t)r(t),5-1 描述点运动的变矢量法,速 度,速 度 描述点在 t 瞬时运动快慢和运动方向。,速度的方向沿着运动轨迹的切线，指向与点的运动方向一致。,速度大小等于矢量的模。,速度的单位一般为M/S,5-1 描述点运动的变矢量法,加 速 度,v(t)v(t t)v(t),点在 t 瞬时的加速度：,t 时间间隔内速度的改变量,t t 瞬时:速度 v(t t)或v(t)v(t),加速度 描述点在 t 瞬时速度大小和方 向的变化率。,5-1描述点运动的变矢量法,加 速 度,加速度的方向为 v的极限方向(即沿速度 矢端曲线的切向),加速度大小等于矢量 a 的模。,加速度的单位一般为M/S2,5-2 描述点运动的直角坐标法,第5章 点的运动,x=f1(t),y=f2(t),z=f3(t),运动方程,5-2描述点运动的直角坐标法,5-2 描述点运动的直角坐标法,运动方程,点在空间的位置由3个方程确定：,x=f1(t),y=f2(t),z=f3(t),速 度,(Oxyz)为定参考系,5-2 描述点运动的直角坐标法,速 度,5-2 描述点运动的直角坐标法,速 度,点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于 点的相应坐标对时间的一阶导数。,cos=vx/vcos=vy/vcos=vz/v,5-2 描述点运动的直角坐标法,加速度,点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影 等于点的相应坐标对时间的二阶导数。,cos=ax/acos=ay/acos=az/a,5-2 描述点运动的直角坐标法,描述点运动的直角坐标法,例题 1,椭圆规机构,求：P点的运动方程、速度、加速度。,例题 1,椭圆规机构，OA=AB=AC=L，BP=d,求：P点的运动方程、速度、加速度,1、建立固定参考系Oxy；,2、将所考察的点置于坐标系中的一般位置；,3、根据已知的约束条件列写点的运动方程。,5-2 描述点运动的直角坐标法,1、建立固定参考系Oxy；,2、将所考察的点置于坐标系中的一般位置；,3、根据已知的约束条件列写点的运动方程。,P点的运动方程：,从中消去 t 得到P点的轨迹方程,解：,5-2 描述点运动的直角坐标法,例题 1,P点的运动方程：,P点的速度：,解：,cos=vx/vcos=vy/vcos=vz/v,5-2 描述点运动的直角坐标法,例题 1,P点的速度：,P点的加速度：,解：,cos=ax/acos=ay/acos=az/a,5-2 描述点运动的直角坐标法,例题 1,几点讨论,1、建立运动方程时，一定要将所考察的点置于坐标系中的一般位置：对于直线坐标，位于坐标轴的正向；对于直角坐标系，位于坐标系的第一象限。,5-2 描述点运动的直角坐标法,例题 1,描述点运动的直角坐标法,几点讨论,2、关于P点运动的性质：何时作加速运动？何时作减速运动？,a0，P加速运动吗？a0，P减速运动吗？请同学们自己给结论。,例题 1,5-3 描述点运动的弧坐标法,第5章 点的运动,弧坐标要素与运动方程 密切面与自然轴系 速度 加速度,弧坐标要素与运动方程,如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。,弧坐标具有以下要素：,1、有坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点)；,2、有正、负方向(一般以点的运动方向作为正向)；,3、有相应的坐标系(自然轴系)。,5-3 描述点运动的弧坐标法,密切面与自然轴系,5-3 描述点运动的弧坐标法,密切面与自然轴系,密切面,当P点无限接近于 P点时，过这两点的切线所组成的平面，称为P点的密切面。,5-3 描述点运动的弧坐标法,密切面与自然轴系,由密切面得到的几点结论,空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是唯一的,空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。,曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，用1/表示。,曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称为第二曲率。,5-3 描述点运动的弧坐标法,密切面与自然轴系,s-,s+,自然轴系,自然轴系PTNB,P空间曲线上的动点；,T 过动点P的密切面内 的切线，其正向指向 弧坐标正向；,N 密切面内垂直于切线 的直线，其正向指向 曲率中心；n,B 过动点P垂直于切线和主法线的直线，其正向由b=n确定。,5-3 描述点运动的弧坐标法,密切面与自然轴系,自然轴系,自然轴系的基矢量b=n,直角坐标系的基矢量k=i j,5-3 描述点运动的弧坐标法,密切面与自然轴系,自然轴系,自然轴系的特点,自然轴系跟随动点在轨迹曲线上运动。,自然轴系能作运动参考系吗？,5-3 描述点运动的弧坐标法,速 度,5-3 描述点运动的弧坐标法,描述点运动的弧坐标法,速 度,弧坐标中的速度表示,其中,所以,的方向与P点的切线方向一致,而,描述点运动的弧坐标法,速 度,弧坐标中的速度表示,描述点运动的弧坐标法,速 度,弧坐标中的速度表示,点的速度只在切线轴上有投影，其等于弧坐标对时间的一阶导数。,描述点运动的弧坐标法,速 度,几点讨论,速度矢量 位于密切面内。,描述点运动的弧坐标法,加 速 度,描述点运动的弧坐标法,加 速 度,根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式,弧坐标中的加速度表示,描述点运动的弧坐标法,加 速 度,弧坐标中的加速度表示,?,描述点运动的弧坐标法,加 速 度,弧坐标中的加速度表示,当0时，和 以及 同处于P点的密切面内，这时，的极限方向垂直于，亦即n方向。,描述点运动的弧坐标法,加 速 度,弧坐标中的加速度表示,?,描述点运动的弧坐标法,加 速 度,弧坐标中的加速度表示,描述点运动的弧坐标法,加 速 度,弧坐标中的加速度表示,加速度表示为自然轴系投影形式,切向加速度，沿切线方向,法向加速度，沿半径指向曲率中心,描述点运动的弧坐标法,加 速 度,描述点运动的弧坐标法,加 速 度,几点讨论,切向加速度 a 表示速度矢量大小的变化率；,直线运动,an=0,描述点运动的弧坐标法,加 速 度,几点讨论,ab=0,表明加速度 a在副法线方向没有分量；,加速度矢量 a 位于密切面内。,匀速圆周运动,a=0,切向加速度 a 表示速度矢量大小的变化率；,法向加速度 an表示速度矢量方向的变化率；,第5章 点的运动,已知：滑槽半径R=OA=0.1m，=/8 sin2t，单位为 S，rad,求：1、B点的运动方程 2、t1=1/4s，t2=1s时的aB,解：,轨迹已知，定O点为弧坐标原点,B点的运动方程为：,S=R2=/40 sin2t(m),例题 2,第5章 点的运动,求：1、B点的运动方程 2、t1=1/4 s，t2=1 s时的aB,解：,S=R2=/40 sin2 t(m),v=2/20cos2 t(m/s),a=-3/10 sin2 t(m/s2),t1=1/4 s时(=45),an=v2/R=4/40cos22 t(m/s2),v=0,a=-3/10(m/s2),an=0,例题 2,第5章 点的运动,求：2、t1=1/4 s，t2=1 s时的aB,解：,v=2/20cos2 t(m/s),a=-3/10 sin2 t(m/s2),t1=1 s时(=0),an=v2/R=4/40cos22 t(m/s2),v=2/20(m/s),an=4/40(m/s2),a=0,例题 2,第5章 点的运动,例题 3,已知：一点在xoy平面内以不变的加速度 a 运动，a=2 m/s2,方向与x轴平行，初瞬时点的速度为v0=2 m/s,方向与y轴夹角=30求：t=1 s时，该点轨迹的曲率半径,思路：,a 积分求 v，？,与 v和 an相关,a与 a 求 an，a？,第5章 点的运动,例题 3,已知：一点在xoy平面内以不变的加速度 a 运动，a=2 m/s2,方向与x轴平行，初瞬时点的速度为v0=2 m/s,方向与y轴夹角=30求：t=1 s时，该点轨迹的曲率半径,解：,积分求 vx，vy，v,对 v 微分求 a,结论与讨论,第5章 点的运动,结论与讨论,描述点运动的三种方法比较,变矢量法结果简明，具有概括性，一般用于推导。,直角坐标法实际问题中，一种广泛应用 的方法。,弧坐标法应用于运动轨迹已知的情形，使 速度与加速度矢量大小的变化率 和方向变化率区分开来，物理意 义更加清晰。,结论与讨论,运动量在直角坐标中 与在自然轴坐标中的关系,v,a,结论与讨论,点的运动学应用的两类问题,第一类问题：（微分运算）,已知运动规律，确定速度与加速度；,第二类问题：（积分运算）,已知加速度以及运动的初始条件，确定 速度和运动规律 第一类问题的反运算。,结论与讨论,速度、加速度的标量表示与矢量表示 的重要区别,速度大小,速度方向,结论与讨论,速度、加速度的标量表示与矢量表示 的重要区别,速度大小的变化率,速度方向的变化率,结论与讨论,点的匀变 速、匀速运动公式：,匀变 速：a=常量,v=v0+at,S=s0+v0t+(1/2)at2,匀 速：v=常量，a=0,S=s0+vt,结论与讨论,点以不变的加速度a沿任意曲线运动。请判断点的运动性质：,(A)点在做匀变速运动,(C)点运动性质不可判断,(D)点在做变速运动,(B)点在做匀速运动,结论与讨论,点沿着一螺旋线自外向内运动。点所走过的弧长与时间的一次方成正比。请判断点的运动性质：,(A)越跑越快；,(C)加速度越来越大；,(D)加速度越来越小。,(B)越跑越慢；,S=k t,60,运动学,指出在下列情况下,点M作何种运动?,(匀变速直线运动),(匀速圆周运动),(匀速直线运动或静止),(直线运动),(匀速运动),(圆周运动),(匀速运动),(直线运动),(匀速曲线运动),(匀变速曲线运动),61,点作曲线运动,判断下列情况下点的运动,判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?,运动学,M1点作匀速运动M2点作加速运动M3点作减速运动,作业：,第五章思考题,题 5-3,5-6，5-7，5-9，5-10,