特殊四边形专题复习.ppt
特殊四边形专题复习,平行且相等,平行且相等,平行且四边相等,平行且四边相等,两底平行两腰相等,对角相等邻角互补,四个角都是直角,同一底上的角相等,对角相等邻角互补,四个角都是直角,互相平分,互相平分且相等,互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角,相等,互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角,中心对称图形,中心对称图形轴对称图形,中心对称图形轴对称图形,中心对称图形轴对称图形,轴对称图形,二、几种特殊四边形的性质：,三、几种特殊四边形的常用判定方法：,1、定义：两组对边分别平行 2、两组对边分别相等3、一组对边平行且相等 4、对角线互相平分,1、定义：有一角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形3、对角线相等的平行四边形,1、定义：一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形,1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形,1、两腰相等的梯形 2、在同一底上的两角相等的梯形 3、对角线相等的梯形,1、一组对边平行的四边形是梯形。（）2、一组对边平行，另一组对边相等的的四边形是平行四边形。（）3、两条对角线相等的四边形是矩形。（）4、一组邻边相等的的矩形是正方形。（）5、对角线互相垂直的四边形是菱形。（）6、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。（）,x,判断题,x,x,x,2.若四边形ABCD为平行四边形，请补充条件_使得四边形ABCD为菱形.,AB=BC,或ACBD,5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为 菱形，并说明理由。解：添加的条件 _,ACBD,我想到：,三角形中位线定理,5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为 矩形，并说明理由。解：添加的条件 _,ACBD,我想到：,三角形中位线定理,5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为 正方形，并说明理由。解：添加的条件 _,ACBD,我想到：,三角形中位线定理,且ACBD,6.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PEBC交AB于E，PFCD交AD于F，则阴影部分的面积是.,2.5,我想到：,平行四边形被对角线分成的四个三角形面积相等.,解:四边形CODP是菱形 DPOC,DP=OC 四边形CODP是平行四边形,四边形ABCD是矩形 CO=DO 四边形CODP是菱形,如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应变为什么？,如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？,如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DPOC，且 DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的形状.,8.以ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形.（1）当BAC等于 时，四边形ADFE是矩形；（2）当BAC等于 时，平行四边形ADFE不存在；（3）当ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.,解:（3)AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。AB=AC且BAC=150时，平行四边形ADFE是正方形。,150,60,如图1:正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上的一点，连接EB，过点A作AMBE，垂足M，AM交BD于点F（1）求证OE=OF（2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AMEB的延长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由,A,B,C,D,O,F,E,M,A,B,C,D,F,E,M,O,1.已知ABC中,D是AB的中点,E是AC上的点,且ABE=BAC,EFAB,DFBE,请猜想DF与AE有怎样的特殊关系,并说明理由.,猜想:DF与AE相等且互相平分.,若要使AEDF,点E还应满足什么条件?,2.已知BE、CF分别为ABC中B、C的平分线，AMBE于M，ANCF于N，求证：MNBC.,A,M,N,E,F,C,B,Q,R,提示:证明ABQ和 CAR是等腰三角形,3.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，点E、F在对角线AC上，试问：当BE、DF满足什么条件时，EF与BD互相平分？并说明理由,F,B,A,C,D,E,例题选讲,已知：如图，ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点.求证：四边形EBFD为平行四边形.,你还有其他方法吗？比较哪种方法更简单？,已知：如图，DC/EF/AB，DA/GH/CB，图中有多少平行四边形？,已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD和CB的中点.求证：EF=AB,已知：如图，ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD上的点，且AE=CG，BF=DH 求证：四边形EFGH是平行四边形.,已知：如图，ABCD中，E,F分别是对角线上两点，且AECF求证：四边形BEDF是平行四边形,例题一张四边形纸板形状如图，（）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的四个顶点分别落在四边形的四条边上，可怎样剪？,四边形满足什么情况下中点四边形为矩形？并说明理由,解：分别取，的中点，可剪得中点四边形为平行四边形,两条对角线互相垂直，,解：一张四边形纸板满足时分别取，的中点，就能剪出中点四边形是矩形，,理由如下：,是的中位线,（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）,是的中位线,，,（三角形的中位线平行于第三边）,同理可得：，,四边形是矩形,（三个角是直角的四边形是矩形）,两条对角线互相垂直,练习：已知:如图,AC与BD是矩形ABCD的两条对角线，求证：四边形EFGH是矩形,例1：已知：如图，AC与BD相交于点O，AB CD 且1=2。求证：四边形ABCD是矩形,自我诊断,1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（）A 对角线相等 B 对角线垂直C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等 2、如图,直线EFMN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是 EAC、MCA、ACN、CAF的角平分线，则四边形ABCD是（）A 菱形 B 平行四边形 C 矩形 D 不能确定,C,合作交流、共同提高,1.如图，在平行四边形ABCD中，已知两条对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形,（课本P105 练习第一题）,2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F在AC上，G、H在BD上，且AE=CF,BG=DH.求证：GF=HE.,证明：四边形ABCD是平行四边形OA=OC OB=OD AE=CF,BG=DHOE=OF OG=OH四边形是GFHE平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）GF=HE(平行四边形的对边相等）,思考：证明两条线段相等常用哪些方法？,如图，已知平行四边形ABCD中，DEAC于E,BFAC于F,求证：BE=DF,综合应用、巩固提高,方法一：DEAC,BFACDEBF,DEA=BFC=90。四边形ABCD是平行四边形DA=BC,DABC DAE=BCF 在AED和CBF中DEA=BFC=90,DAE=BCF,DA=BCAEDCBF(A.A.S.)DE=BFDEBF四边形DEBF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）BE=DF(平行四边形的对边相等）,方法二：连接BD，交AC于O点四边形ABCD是平行四边形OD=OB，OA=OC DEAC,BFACDEA=BFC=90。DABC DAE=BCF DA=BCAEDCFB(A.A.S.)AE=CFOE=OF四边形DEBF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）BE=DF(平行四边形的对边相等）,O,1、四边形的四条边分别为a,b,c,d,其中a,c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,那么这个四边形一定是（）A.两组对角分别相等的四边形 B.平行四边形C.对角线互相垂直得四边形D.对角线相等的四边形,B,3。如图，四边形ABCD中，ABCADCR，E是AC的中点，EFBD于F，求证：DFBF。,注意：在已知条件中有直角三角形及斜边的中点时，常利用斜边的中线是斜边的一半这条性质。,1.如图,四边形ABCD是正方形,ABC是等边三角形.求:的度数.,2.已知:如图,四边形ABCD是一个正方形,E是BC延长线上的一个点,且AC=EC.求:DAE的度数.,3.已知:如图,ABC的两条高为BE，CF，点M为BC的中点.求证:MEMF.,3：如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，A=60，B=D=90，求四边形ABCD的面积。,E,注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边等。,解：,延长AD，BC交于点E，,在RtABE中，A=60，,E=30,又AB=2,在RtCDE中，同理可得,S四边形ABCD=S RtABE-S RtCDE,2,1,2）将一个平行四边形的纸片沿一条对角线裁开，能拼成（）种凸四边形？,3,c b a a bc,cc,bb,c c,专题二 折叠问题,1)将菱形ABCD按图折叠，使A与B重合，折痕为MN，A与1之间数量关系为（）。,12A,四边形ABCD是平行四边形证明：BCE、ACF是等边三角形 BCEACF=60即13=23=60 1=2 又CBCE、CACF BACFEC（SAS）ABEF 又ABAD ADEF同理可证：BACBDE DEAF 四边形ABCD是,E F D B C,2 3 1,2）已知：以三角形ABC的三边为边，在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE、ACF（1）四边形ADEF是什么四边形？说明理由。,A,（2）请猜测当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？,当BAC等于150 时，四边形ADEF是矩形。,（3）请猜测当ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？,当BAC等于60 时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。,2）已知：以三角形ABC的三边为边，在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE、ACF（1）四边形ADEF是什么四边形？说明理由。,A D M P N B C,1）梯形ABCD中，ADBC，中位线MN与对角线BD交于点P,试判断BP与DP的大小关系,（BP=DP）,专题四 几何变通题,A D M N B C,Q,P,O,D A O P Q B C,E,证明：取CD中点E,连接PE和QE,A D O F B C,证明：1）四边形ABCD是正方形 对角线AC交BD于点O BOEAOF、BOAO 又AG BE 1+390 又AC BD 2+390 12 AFOBEO OE=OF,E,G,2）已知：正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AGEB，垂足为G，AG交BD于F。求证：OE=OF,1,2,3,针对上述命题，若点E在AC的延长线上，AGEB交EB的延长线于点G，AG的延长线交BO的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OEOF还成立吗？如果成立，请给予证明。如果不成立，请说明理由。,2）已知：正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AGEB，垂足为G，AG交BD于F。求证：OE=OF,A D O F B C,E,G,1,2,3,2、如图，正方形ABCD，菱形AEFC，则FAB=.,22.50,反思:例题1中翻折得到等腰三角形,利用旋转得到平行四边形,由等底等高去求三角形面积.例题2要注意平行线在转化角的方面的作用.,3.如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于E，连结OE，已知CAE=15，求BOE的度数。,反思:1.说明AOB是等边三角形;2.说明ABE是等腰直角三角形;3.说明BOE是等腰三角形;4.求出CBO的度数;5.得出结论.,4、如图,已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且AE平分FAD，试说明BF+DE=AF成立。,反思:1.旋转作图,AMB与ADE是成旋转图形;2.说明MAF=M=E=900-FAE3.得到结论.,5.如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=4，高DF=2，求CF和腰DC的长。,反思:利用辅助线,将梯形转化为四边形与三角形,1、在四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列条件能判断这个四边形是正方形的是（）A、AB=CD,ABCD,AC=BD B、ADBC,B=D C、AO=C0,BO=DO，AB=BC D、AO=BO=CO=D0，ACBD,D,第四部分.基础训练,2、把一张长方形的纸条按图那样折叠，若得到AME70o，则EMN（）A、45o B、50o C、55o D、60o,C,3、菱形的周长等于高的8倍，则其最大内角 等于（）A、60 B、90 C、120 D、150,D,5(1)如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）（A）98（B）196（C）280（D）284,C,4、矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分点，则BEF的面积是（）A、8 B、12 C、16 D、24,D,A,C,B,E,F,A,(2)如图，E为矩形ABCD的边CD上的一点，ABAE4，BC2，则BEC是（）（A）15（B）30（C）60（D）75,D,6.如图所示一种可活动的菱形衣帽架。若墙上钉子的距离AB=BC=12，且AMB=BNC=60，那么做这样的衣帽架至少需要 长的材料。（不计制作过程中的损耗）,144,第五部分:复习小结,1、请相互之间议一议，本课复习的内容；2、相互之间提问讨论还存在的问题。,1、已知正方形ABCD，延长AB到E，连结EC，在BC上取BF=BE,连接AF并延长交EC于G.试说明AF与CE的关系.,第六部分.课外作业,2、如图，在RtABC中,C=Rt，AD平分CAB，DFAB，CEAB，垂足分别为F、E，试说明四边形CDFG为菱形。,3.已知：如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，ABCD，AD=BC，BD平分ABC，A=60，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长,61,一、判断题：,例题,1.两条对角线相等的四边形是矩形（）,2.两条对角线相等且互相垂直的 四边形是矩形.(),3.两条对角线互相垂直平分的 四边形是菱形.(),例题,62,4.两条对角线互相垂直的矩形 是正方形.(),5.两条对角线相等的菱形是正方形.(),6.两条对角线垂直且相等的四边形 是正方形.(),7.矩形的四个角都相等；（）,9.有两个角相等的梯形是等腰梯形；（）,8.有一个角是直角且邻边相等的 平行四边形是正方形；（）,63,二.填空题：,相等,2.两条对角线 的四边形是矩形。,互相平分且相等,3.两条对角线 的平行四边形是菱形。,互相垂直,4.两条对角线 的四边形是菱形。,互相垂直平分,5.两条对角线 的矩形是正方形。,互相垂直,1.两条对角线 的平行四边形是矩形。,6.两条对角线 的菱形是正方形。,相等,64,7.两条对角线 的 平行四边形是正方形。,8.两条对角线 的 四边形是正方形。,9.等腰梯形在同一底上的两个角，对角线。,互相垂直并相等,互相垂直平分并相等,相等,相等,10.已知平行四边形ABCD中，AB12，则C，D。,60,120,65,11.如图(1),ABCD中，1=B=50,则2=。,80,12.菱形ABCD的周长为20cm，BAD120,则对角线AC等于_.,5,66,13.矩形ABCD中，AEBD,垂足为E，对角线 AC,BD交于点O，且BE：ED1：3，若AB=4,则AC的长为_。,8,A,E,B,O,C,D,A,B,D,C,14.已知梯形的上、下底分别为3，5，一条腰长为4，则另一腰的取值范围_。,3,4,3,2,4,2BC6,67,1.ABCD，P为AC上任一点，过点P作EFAB，作MNAB。问图中有几个平行四边形？有几对全等三角形？有几对等积的平行四边形？,A,E,D,C,B,M,F,P,N,9个平行四边形,3对全等三角形,3对等积的平行四边形,三、解答题,2、已知：如图，在矩形ABCD中，AEBD于E，对角线AC、BD相交于点O，且BE：ED=1：3，AD=6cm，求AE的长.,3、已知：如图，若从矩形ABCD的顶点C 作对角线BD的垂线与BAD的平分线 相交于E，求证：AC=CE.,4、已知：如图，E为矩形ABCD的边AD上一点且BE=ED，P为对角线BD上一点，PFBE于F，PGAD于G，求证：PF+PG=AB.,6、如图,边长为6cm的菱形ABCD中,DAB=600,E为AB的中点,F是AC上一动点,求EF+BF的最小值.,7、在矩形ABCD中，为边上，或矩形内部，或矩形外部任一点，分别画出这三种情况，然后证明.,8、两条宽度均为米的国际公路相交成度角，那么这两条公路相交处的公共部分的面积是多少？,9、把边长为的正方形的四个角剪掉，得一个四边形，怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且面积为原来的九分之五？证明并计算。,10、菱形中，为中点，垂直BC，垂直，（）求菱形面积；（）求角CHA的度数。,11、三角形ABC中，角为度，的垂直平分线交于，交于，在上，并且，求证：四边形是平行四边形；当角多少度时，四边形是菱形？,12、正方形边长为，一个直角顶点在上滑动，一边始终经过点，另一边与射线相交于点，设，之间距离为，三角形是否可能为等腰三角形？求出此时点的位置和的值，若不能，说明理由。,一、选择：1、正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四边都相等 B、对角线互相垂直且平分C、对角线相等 D、对角线平分一组对角2、下列命题中（）是假命题.A、对角线互相平分的四边形是平行四边形.B、两条对角线相等的四边形是矩形.C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形.D、两条对角线相等的菱形是正方形.,C,B,试一试,二、填空：1、菱形的对角线长为6和8，则菱形的边长，面积是.2、矩形的对角线长为8，两对角线的夹角为60，则矩形的两邻边分别长和.,5,24,4,你准行,1题,2题,如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应变为什么？,如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？,7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DPOC，且 DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的形状.,8.以ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形.（1）当BAC等于 时，平行四边形ADFE不存在；（2）当BAC等于 时，四边形ADFE是矩形；（3）当ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.,解:（3)AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。AB=AC且BAC=150时，平行四边形ADFE是正方形。,60,150,如图1:正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上的一点，连接EB，过点A作AMBE，垂足M，AM交BD于点F（1）求证OE=OF（2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AMEB的延长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由,A,B,C,D,O,F,E,M,A,B,C,D,F,E,M,O,自主探究一,A,B,C,P,M,Q,已知：ABC中AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.,（1）线段QM、PM、AB之间有什么关系？（2）图中的三角形之间有什么关系？,自主探究二,A,B,C,P,M,Q,已知：ABC中AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.探究:当M位于BC的什么位置时,四边形AQMP是菱形？并说明你的理由.,当ABC满足什么条件菱形AQMP是正方形？,1、检查一个门框是矩形的方法是（）A、测量两条对角线是否相等.B、测量有三个角是直角.C、测量两条对角线是否互相平分.D、测量两条对角线是否互相垂直.2、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（）A、矩形 B、菱形 C、梯形 D、正方形,B,B,考考你,3、菱形的周长等于高的8倍，则其最大内角 等于（）A、60 B、90 C、120 D、150 4、矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分点，则BEF的面积是（）A、8 B、12 C、16 D、24,D,D,A,C,B,E,F,A,E,5、在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和PC的长度之和最小可达到_,如何设计花坛？在一块正方形花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛分成全等的四部分（不考虑道路宽度），你有几种方法？（至少说出三种）,我是一名优秀设计师,在矩形ABCD中，AB=16，BC=8.将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE交AB于点F，求AF的长.,C,E,F,D,A,B,思考,点拨：对于折叠问题，可以从折叠前后的两个图形是全等图形入手进行分析.,李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘，鱼塘四个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树，现在李大爷想把鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大）.又不想把树挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）.(1)若按圆形设计,请画出你设计的示意图,并求出圆形鱼塘的面积;(2)若按正方形设计,请画出你设计的示意图.,合作探究,D,B,C,A,D,C,B,A,O,(1)若按圆形设计,请画出你设计的示意图,并求出圆形鱼塘的面积;,D,A,O,C,B,当直角三角形的斜边一定时,两直角边满足什么条件时直角三角形的面积最大？,你知道吗？,E,5如图3，已知长方形ABCD，过点C引A的平分线AM的垂线，垂足为M，AM交BC于E，连接MB、MD（1）求证：BE=DC；（2）求证：MBE=MDC,6如图4，在梯形ABCD中，ADBC，ABDCAD，ADC=120（1）求证：BDDC；（2）若AB4，求梯形ABCD的面积,7阅读下面问题和分析过程，并按要求进行证明 已知：四边形ABCD中，ABDC，ACBD，ADBC求证：四边形ABCD是等腰梯形分析：要证四边形ABCD是等腰梯形，因为ABDC，所以只要证四边形ABCD是梯形即可；又因为ADBC，故只需证ADBC即可；要证ADBC，现有如图13所示四种添作辅助线的方法，请任意选择其中两种图形，对原题进行证明,类型之二平行四边形的判定2010中山如图31-3，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD、等边ABE已知BAC=30，EFAB，垂足为F，连接DF（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形,【解析】（1）证明ABCEBF（理由AAS）；（2）证ADEF，就要证DAF=AFE=90,再证AD=EF即可.证明：（1）在RtABC中，BAC=30，ABC=60.在等边ABE中，ABE=60，且AB=BE.EFAB，EFB=90，RtABCRtEBF，AC=EF.（2）等边ACD中，DAC=60，AD=AC，又BAC=30,DAF=90,ADEF.又AC=EF,AD=EF,四边形ADFE是平行四边形【点悟】证明一个四边形是平行四边形，有多种证明思路，我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证明思路.如本题中若证明两组对边分别平行（或分别相等），则证明过程显然比证明一组对边平行且相等复杂得多.,类型之三 平行四边形的综合探究2010晋江如图31-4，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明（写出一种即可）关系：ADBC，AB=CD，A=C,B+C=180.已知：在四边形ABCD中，.求证：四边形ABCD是平行四边形,例2,如图，在梯形ABCD中，AD BC，AB=BC+AD，H是CD中点，试说明：BHAH,H,延长AH，交BC延长线于点E,4.如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘米，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF。试确定重叠部分AEF的面积。,
