极限存在准则及两个重要极限(创新班).ppt

极限存在准则 两个重要极限,第七节 极限存在准则及两个重要极限,一、极限存在准则,本节先介绍两个极限是否存在的判定准则,并利用它们来推导出两个重要极限.,1.夹逼准则,证,上两式同时成立,上述数列极限存在准则可以推广到函数的情况.,注,在构造yn,zn 或 g(x),h(x)的时候可以采取将xn 或 f(x),适当地缩小,适当地扩大,适当的标准为yn,zn 或 g(x),h(x)的极限容易求出,且yn,zn 或 g(x),h(x)的极限相等.,例1,解,由夹逼定理得,练一练,解,从数列的夹逼准则到函数的夹逼准则，需要用到体现函数极限与数列极限关系的一个定理.,(自学)证 必要性,根据假设,证毕,注 此定理常用于判断函数极限不存在.,证 取两个趋于 0 的数列,及,有,2.单调有界准则,单调不减,单调不增,几何解释:若xn单调不减,xn有两种可能,即移向无穷远或无限接近某一定点A,因xn有上界M,则xn的极限存在且不超过M.,准则的含义:单调不减且有上界的数列必有极限;单调不增且有下界的数列必有极限.,利用极限存在准则II可以证明一些极限的存在性,并求极限.,例2,证,例3,解,(舍去),于是,解得,练一练,(1),二、两个重要极限,注1,于是,类似可得,综上所述,i)极限呈；,ii)中(1)和(2)的表达式必须相同.,当(1)和(2)的表达式不相同时,必须作恒等变换凑(2)与(1)相同.,区别,缺一不可,例3,一般地,练一练,解,解,解,练一练,在下列等式中,错误的是(),(3),(2),考虑 x 取正整数 n 且趋于时的情形下先证 存在.,类似地,因为,从而 an 单增.,对任意的 n 有,这个极限值被瑞士欧拉首先用字母e(是一个无理数,其值用e=2.7182818284)来表示,即,于是,等价形式,i)极限呈；,ii)中(1)和(2)的表达式连同符号是互为倒数.,当(1)和(2)的表达式不互为倒数时,必须作恒等变换凑(2)与(1)互为 倒数.,缺一不可,例4,解,解,例5,练一练,解法一,解法二,原式,原式,练一练,解,原式,解,例6,例7 求,解 原式=,练一练,解,练一练,解,例7,连续复利问题,令,则表示利息随时计入本金.这样 t 年末的本利和为,于是到t年末共结算nt 期(每期利率为),其本利和为,(1)已知现值A,求终值At,有复利公式,(2)已知终值At,求现值A0,有贴现公式(这是利率称为贴现率),这种将前一期利息计入本金再计算利息的方法称为复利;,当一年内计息期数 时的复利成为连续复利.,解,解,练一练,解,解,分段函数的极限,在分段点左右不能用同一式计算，必须计算左右极限.,思考题,求极限,思考题解答,