极限存在准则25两个重要极限.ppt

2.4 极限存在准则,夹逼原理单调有界准则闭区间套定理和柯西收敛准则(不作要求),2.4.1 夹逼原理,证:,由条件(2),当,时,当,时,令,则当,时,有,由条件(1),即,故,定理（数列极限）,定理（函数极限）,如果,（2）,例、,证明,证:利用夹逼准则.,且,由,例,证明,证 当a=1时结论显然成立，先设a 1,令,由二项式定理，,所以有,由夹逼原理知,当0a1时，,由于1/a 1,利用上面已证明的结论知，,例,证,令,由前例可知,故有,2.4.2 单调有界准则,(证明略),单调增加,定理 单调有界数列必有极限,例,设,证明数列,极限存在，并求其值.,证:用数学归纳法易证,解得a=3。,2.5 两个重要极限,圆扇形AOB的面积,证:当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,注：,当,时,推广形式：,例,解,例,解,例,解,例,解,例,解,推广形式：,数列形式：,（e,例,求,解:令,则,说明：若利用,则,原式,例,求,解:,或,例,求,解:,练习册上的几个题（练习2.5）,求下列极限：,一、2.,解:,一、3.,（n为奇数）,解:,令 t=arccosx,则x=cost，从而,一、4.,解:,注意到，,所以,5.,解:,仿照第4题可证，,二、2.,解:,而,所以,二、3.,解:,令,