方差(概率论与数理统计).ppt

引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发子弹击中的环数分别为：,甲 10,7,9,8,10,6,乙 8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？,解 首先比较平均环数,4.2 方差,再比较稳定程度,甲：,乙：,乙比甲技术稳定，故乙技术较好.,进一步比较平均偏离平均值的程度,甲,乙,E X-E(X)2,若E X-E(X)2 存在,则称其为随机,定义,即 D(X)=E X-E(X)2,变量 X 的方差,记为D(X)或 Var(X),D(X)描述 r.v.X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度,数,若 X 为离散型 r.v.，分布律为,若 X 为连续型r.v.，概率密度为 f(x),计算方差的常用公式：,D(C)=0,D(aX)=a2D(X),D(aX+b)=a2D(X),特别地，若X,Y 相互独立，则,则,若X,Y 相互独立,对任意常数C,D(X)E(X C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立,D(X)=0,P(X=E(X)=1,称为X 依概率 1 等于常数 E(X),性质 1 的证明：,性质 2 的证明：,性质 3 的证明：,当 X,Y 相互独立时，,注意到，,性质 4 的证明：,当C=E(X)时，显然等号成立；,当C E(X)时，,例1 设X P(),求D(X).,解,例2 设X B(n,p)，求D(X).,解一 仿照上例求D(X).,解二 引入随机变量,相互独立，,故,例3 设 X N(,2),求 D(X),解,常见随机变量的方差,区间(a,b)上的均匀分布,E(),N(,2),例4 已知X,Y 相互独立,且都服从 N(0,0.5),求 E(|X Y|).,解,故,例5 将 编号分别为 1 n 的 n 个球随机地放入编号分别为 1 n 的n 只盒子中,每盒一 球.若球的号码与盒子的号码一致，则称为一个配对.求配对个数 X 的期望与方差.,解,则,标准化随机变量,设随机变量 X 的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称,为 X 的标准化随机变量.显然，,仅知 r.v.的期望与方差 并不能确定其分布,与,有相同的期望方差但是分布却不相同,例如,例6 已知 X 服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1 2 X,求Y 的密度函数.,解,在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.,附例 在 0,1 中随机地取两个数 X,Y,求 D(min X,Y),解,1,1,0,例7 已知 X 的 d.f.为,其中 A,B 是常数，且 E(X)=0.5.,求 A,B.(2)设 Y=X 2,求 E(Y),D(Y),解(1),(2),例5 设X 表示独立射击直到击中目标 n 次为止所需射击的次数,已知每次射击中靶的概率为 p,求E(X),D(X).,解 令 X i 表示击中目标 i-1 次后到第 i 次击中目标所需射击的次数，i=1,2,n,相互独立，且,故,本例给出了几何分布与巴斯卡分布的期望与方差,