数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解.ppt

1,数理方程与特殊函数,2,非齐次边界条件定解问题求解,本次课主要内容,(一)、边界条件齐次化方法,(二)、分离变量法总结,3,(一)、边界条件齐次化方法,1、一般方法,讨论如下定解问题边界条件齐次化：,采用未知函数代换法：,即：选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件是齐次的。,4,具体过程：,(1)、作代换：,(2)、将代换式代入定解问题中得：,5,(3)、选择W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件齐次！,由(2)、只要W(x,t)满足如下条件即可：,W(x,t)如何选取？,W(x,t)的选取方式很多！下面采用多项式函数待定法选择W(x,t),令：,由*可得：,6,于是得W(x,t)的一种选择式为：,将下式,代入原定解问题中：,7,其中：,(*)属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题，可用齐次化原理或级数法进一步求解！,注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它情形，只需恰当设置待定多项式的形式，也可以求出需要的W(x,t),具体过程如下：,8,(1)、若边界条件为：,作代换：,得W(x,t)需要满足的条件为：,可令：,9,(2)、若边界条件为：,作代换：,得W(x,t)需要满足的条件为：,可令：,10,(3)、若边界条件为：,作代换：,得W(x,t)需要满足的条件为：,可令：,11,(4)、若边界条件为：,作代换：,得W(x,t)需要满足的条件为：,可令：,12,例1、设弦的一端（x=0）固定，另一端（x=L）以sint 作周期振动，这里na/L(n=1,2)且初值为零。试研究弦的自由振动。,解：依题意，得定解问题,令：,13,由边界条件齐次化的多项式待定法可得：,代入原定解问题得：,该问题可用齐次化原理或级数法求解!,14,但是，是否可以恰当选择W(x,t)，使关于V(x,t)的定解问题成为齐次方程和齐次边界条件的定解问题？,由原定解问题边界条件特点，欲使边界条件齐次化，可假定：,将u(x,t)=V(x,t)+X(x)sint代入定解问题中分析，要使关于V(x,t)的定解问题成为齐次方程和齐次边界条件，只需X(x)满足：,15,求出X(x)的解为：,于是,将,代入原定解问题中得：,16,由分离变量得：,原定解问题解为：,17,2、特殊情形下齐次化方法,如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以令：,可以把关于V(x,t)的定解问题直接化为齐次方程和齐次边界条件。,18,例2 求如下定解问题,解：令,将其代入定解问题中得：,19,可将其分解为：,于是得：,20,由分离变量得一般解为：,由初值条件得：,由傅立叶级数展开得：,21,所以，原定解问题的解为：,22,1、适用范围:,(二)、分离变量法总结,有界域上的波动、热传导定解问题和一些特殊区域上的稳态场方程定解问题；,2、基本要求:,叠加原理要能够使用，并能够定出固有值问题.,3、主要方法:,(1)、最基本的分离变量求解(要求齐次方程和齐次边界条件或园域上的周期性条件);,(2)、固有函数展开法(要求齐次边界条件或园域上的周期性条件)。,23,4、主要步骤:,(1)、根据边界的形状选取适当的坐标系。原则是使边界条件表达式最简单。若边界是圆、扇形，柱形，球形，要使用极坐标，柱面坐标和球坐标表示定解问题；,(2)、若边界非齐次,作函数代换化为齐次边界问题；,(3)、若定解问题是非齐方程、齐次边界条件，采用函数分解方法将定解问题进行分解。分解后考虑采用齐次化原理或固有函数值方法求解。,24,应用举例,解：令,将其代入定解问题中得：,例3 求如下定解问题,25,可将其分解为：,于是得：,26,由分离变量得一般解为：,由初值条件得：,由傅立叶级数展开得：,27,28,所以，定解问题的解为：,原定解问题的解为：,29,例4 解环形域内的定解问题：,分析：定解问题属于环形域内的泊松方程定解问题，因此，不能直接分离变量求解。但是，通过观察方程特征，很容易发现其泛定方程的特解形式为：,30,因此可采用特解化简方法化泊松方程为拉普拉斯方程,解：设方程特解形式为：,得：,又令,代入定解问题并采用极坐标得：,31,极坐标系下拉氏方程的一般解为：,根据等式特点，可令：,由边界条件得：,32,所以有：,通过比较系数得：,33,得：,原定解问题的解为：,34,作业,P7677习题3.6第2、4、5、6题,35,Thank You!,36,解：令,取：,例 求如下定解问题,37,得定解问题为：,其中：,38,对于(*),采用固有函数值法求解,可令：,代入(*)中得：,39,于是由傅立叶余弦展开公式有：,其中：,40,当n0时有：,其中：,41,通过计算，得到微分方程的解为：,和,把它们代入所令一般解表达式即可得定解。,