数模(差分方程模型).ppt
重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,数学建模电子教案,重庆邮电大学数理学院沈世云,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,差分方程模型,重庆邮电大学数理学院沈世云,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,7.1 差分方程基本知识7.2 市场经济中的蛛网模型7.3 减肥计划节食与运动7.4 差分形式的阻滞增长模型7.5 按年龄分组的种群增长,第七章 差分方程模型,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,7.1 差分方程基本知识,1、差分方程:差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系,从而建立差分方程。差分方程就是针对要解决的目标,引入系统或过程中的离散变量,根据实际背景的规律、性质、平衡关系,建立离散变量所满足的平衡关系等式,从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解,或者分析得到方程解的 特别性质(平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等),从而把握这个离散变量的变化过程的规律,进一步再结合其他分析,得到原问题的解。,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,Fibonacci 数列,问题,13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作算盘书中记载着这样一个有趣的问题:一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔,成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔.若不计兔子的死亡数,问一年之后共有多少对兔子?,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,将兔群总数记为 fn,n=0,1,2,,经过观察可以发现,数列fn满足下列递推关系:f0=f1=1,fn+2=fn+1+fn,n=0,1,2,这个数列称为Fibonacci数列.Fibonacci数列是一个十分有趣的数列,在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.,Fibonacci数列的一些实例.1.蜜蜂的家谱 2.钢琴音阶的排列 3.树的分枝 4.杨辉三角形,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,日常的经济问题中的差分方程模型,1.银行存款与利率,假如你在银行开设了一个1000元的存款账户,银行的年利率为7%.用an表示n年后你账户上的存款额,那么下面的数列就是你每年的存款额:a0,a1,a2,a3,an,设r为年利率,由于an+1=an+r an,因此存款问题的数学模型是:a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,2.家庭教育基金,从1994年开始,我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来的教育费用,小张夫妇从他们的儿子出生时开始,每年向银行存入x元作为家庭教育基金.若银行的年利率为r,试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元,按年利率3%计算,小张夫妇每年应向银行存入多少元?,设n年后教育基金总额为an,每年向银行存入x元,依据复利率计算公式,得到家庭教育基金的数学模型为:a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,3.抵押贷款,小李夫妇要购买二居室住房一套,共需30万元.他们已经筹集10万元,另外20万元申请抵押贷款.若贷款月利率为0.6%,还贷期限为20年,问小李夫妇每月要还多少钱?,设贷款额为a0,每月还贷额为x,月利率为r,第n个月后的欠款额为an,则 a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,一阶线性差分方程,在上述模型中,给出了an+1与an之间的递推公式.将它们写成统一的形式:a0=c,an+1=an+b,n=0,1,2,3,称此类递推关系为一阶线性差分方程.当b=0时称为齐次差分方程,否则称为非齐次差分方程.,定义1 对任意数列A=a1,a2,an,,其差分算子定义如下:a1=a2-a1,a2=a3-a2,an=an+1-an,定义2 对数列A=a1,a2,an,,其一阶差分的差分称为二阶差分,记为2A=(A).即:2an=an+1-an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an,一般地,可以定义n阶差分.,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,差分方程 an+1=an+b的解,定理1 一阶线性差分方程 an+1=an+b 的通解是:,定理2 对一阶线性差分方程 an+1=an+b,若|1,则 an逐渐远离平衡解 b/(1-)(发散型不动点).,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,则被称为方程对应的 齐次线性差分方程。,若所有的 ai(t)均为与t无关的常数,则称其为 常系数差分方程,即n阶常系数线性差分方程可分成,(7.1),的形式,其对应的齐次方程为,(7.2),也是方程(7.2)的解,其 中c1、c2为任意常数,这说明,齐次方程的解构成一个 线性空间(解空间)。此规律对于(7.1)也成立。,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,方程(7.1)可用如下的代数方法求其通解:(步一)先求解对应的特征方程,(7.3),(C1,Cn为任意常数),,,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,为任意常数,i=1,2k。,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,初始条件为y(0)=2和y(1)=3,求方程的齐次解。,例2.系统的差分方程,特征根为,于是,由初始条件,解得:,故齐次解,解:特征方程为,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,2、特解,特解得求法:将激励x(n)代入差分方程右端得到自由项,特解的形式与自由项及特征根的形式有关。,(1)自由项为nk的多项式,1不是特征根:,1是K重特征根:,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,(2)自由项为,不是特征根,则特解,是特征单根,则特解,是k重特征根,则特解,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,(3)自由项为正弦 或余弦 表达式,(4)自由项为正弦,不是特征根,是特征根,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,例3:求下示差分方程的完全解,其中激励函数,且已知,解:特征方程:,齐次通解:,将 代入方程右端,得,设特解为 形式,代入方程得,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,日常的经济问题中的差分方程模型,1.银行存款与利率,假如你在银行开设了一个1000元的存款账户,银行的年利率为7%.用an表示n年后你账户上的存款额,那么下面的数列就是你每年的存款额:a0,a1,a2,a3,an,设r为年利率,由于an+1=an+r an,因此存款问题的数学模型是:a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,2.家庭教育基金,从1994年开始,我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来的教育费用,小张夫妇从他们的儿子出生时开始,每年向银行存入x元作为家庭教育基金.若银行的年利率为r,试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元,按年利率3%计算,小张夫妇每年应向银行存入多少元?,设n年后教育基金总额为an,每年向银行存入x元,依据复利率计算公式,得到家庭教育基金的数学模型为:a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,家庭教育基金模型的解,由 a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,得通解:,将 a0=x,=1+r,b=x 代入,得 c=x(1+r)/r,因此方程的特解是:,将 a18=100000,r=0.03 代入计算出 x=3981.39.,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,3.抵押贷款,小李夫妇要购买二居室住房一套,共需30万元.他们已经筹集10万元,另外20万元申请抵押贷款.若贷款月利率为0.6%,还贷期限为20年,问小李夫妇每月要还多少钱?,设贷款额为a0,每月还贷额为x,月利率为r,第n个月后的欠款额为an,则 a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,购房抵押贷款模型的解,由 a0=200000,an+1=(1+r)an-x,n=0,1,2,3,将=1+r,b=-x 代入得到方程的特解:,若在第N个月还清贷款,令 aN=0,得:,将 a0=200000,r=0.006,N=20*12=240 代入计算出 x=1574.70,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,4.分期付款,小王看到一则广告:商场对电脑实行分期付款销售.一台售价8000元的电脑,可分36个月付款,每月付300元即可.同时他收到了银行提供消费贷款的消息:10000元以下的贷款,可在三年内还清,年利率为15%.那么,他买电脑应该向银行贷款,还是直接向商店分期付款?,经过分析可知,分期付款与抵押贷款模型相同.设第n个月后的欠款额为an,则 a0=8000,an+1=(1+r)an-300,n=0,1,2,3,贷款模型 a0=8000,an+1=(1+0.15/12)an-x,n=0,1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,7.2 市场经济中的蛛网模型,问 题,供大于求,现象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,蛛 网 模 型,xk第k时段商品数量;yk第k时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,f与g的交点P0(x0,y0)平衡点,一旦xk=x0,则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,设x1偏离x0,x1,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,曲线斜率,蛛 网 模 型,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,在P0点附近用直线近似曲线,P0稳定,P0不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,商品数量减少1单位,价格上涨幅度,价格上涨1单位,(下时段)供应的增量,考察,的含义,消费者对需求的敏感程度,生产者对价格的敏感程度,小,有利于经济稳定,小,有利于经济稳定,结果解释,xk第k时段商品数量;yk第k时段商品价格,结果解释,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,经济不稳定时政府的干预办法,1.使 尽量小,如=0,以行政手段控制价格不变,2.使 尽量小,如=0,靠经济实力控制数量不变,结果解释,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,x0为平衡点,研究平衡点稳定,即k,xkx0的条件,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,方程通解,(c1,c2由初始条件确定),1,2特征根,即方程 的根,平衡点稳定,即k,xkx0的条件:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,模型的推广,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,1、问题的分析,由于公鹿和母鹿的比例大致相等,所以在此仅考虑母鹿的增长。鹿群的增长与鹿的死亡率和生育率密切相关,因为鹿的生育周期为一年,即一岁以上的母鹿可以生育,所以我们把母鹿分为两组,一岁以下的为幼鹿,其余的为成年鹿。根据这样的分组,一年以后存活的幼鹿都为成年鹿,而这一年中出生的鹿构成新的幼鹿。从以上的分析,我们可把观测的时间间隔取为一年。,2、模型假设,)动物的数量足够大,故可以用连续的方法来度量。,)只考虑母鹿,并将其分为两组,一岁以下为幼鹿组,其余为成年鹿组。,7.3 简单的鹿群增长问题,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,)把时间离散化,每年观测一次,即环境因素、生育、死亡方式等每年重复发生。,)不考虑饱和状态,即在所考虑的时间段内,种群的增长几乎不受自然资源的制约。,)疾病是死亡的主要原因,鹿的死亡数与鹿的总数成正比。,)鹿的生育数与鹿的总数成正比。,3、模型的建立与求解,分别以,和,表示第n年幼鹿和成年鹿的数量。,一年后,幼鹿存活的数量与,之比叫做幼鹿的存活率。,由假设,每年的存活率是一常数,分别以,和,表示幼鹿和成年鹿的存活率。,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,因为年长的幼鹿在这一年之内可能超过一岁,因而有生育能力。根据假设,生育率也是常数,,分别以,和,表示幼鹿和成年鹿的生育率。,假设刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为s。,一年以后,原来的幼鹿可生育幼鹿数为,成年鹿可生育的幼鹿数为,由于哺乳期的新生幼鹿的存活率为s,,所以一年以后新的幼鹿数:,(7.2.1),一年以后,原来的幼鹿存活数为,原来的成年鹿的存活数为,所以新的成年鹿的数目是,(7.2.2),重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,(7.2.1).(7.2.2)联立起来,即得下面的线性差分方程组:,(7.2.3),或用矩阵表示为:,(7.2.4),这是一个一步方程,令,,A=,则(7.2.4)式可表示为,(7.2.5),重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,于是可推出:,或,=,n,(7.2.6),如果知道开始时幼鹿数量,和成年鹿的数量,,由(7.2.6)可算出第n年的鹿的总数。,为了给出解的一般表达式,先把矩阵A对角化:,令,=0,即,得特征方程:,(7.2.7),重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,其判别式为,=,由于s,都是大于零的,所以判别式 0,,和,矩阵A可以对角化。,特征方程(7.2.7)有两个相异的实根,,这保证了,对于特征根,,从下面的线性方程组,=,可解得特征向量,同理可解得对应于特征根,的特征向量,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,所以可得矩阵 P,使得,A,即,于是得,将上式代入(7.2.6)式,=,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,=,记,=,(7.2.8),所以,=,=,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,由此可得:,n,故解得:,(7.2.9),现在利用公式(7.2.9)对下面的一组数据,0.8(千头),0.3,0.62 s0.8,1(千头),1.5,0.75,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,计算今后6年鹿的总数。,为此,将以上数据代入(7.2.7),解得,将数据代入(7.2.8)得,最后由(7.2.9)得,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,4、模型评价,该模型的假设中,没有考虑资源的制约,所以当鹿群的增长接近饱和状态时,该模型失效。如果考虑自然资源的制约,则模型假设中的第条不成立,这时生育率与食物的获取有关。,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,7.4 减肥计划节食与运动,背景,多数减肥食品达不到减肥目标,或不能维持,通过控制饮食和适当的运动,在不伤害身体的前提下,达到减轻体重并维持下去的目标,分析,体重变化由体内能量守恒破坏引起,饮食(吸收热量)引起体重增加,代谢和运动(消耗热量)引起体重减少,体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.525 超重;BMI30 肥胖.,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,模型假设,1)体重增加正比于吸收的热量每8000千卡增加体重1千克;,2)代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗200千卡 320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡;,3)运动引起的体重减少正比于体重,且与运动形式有关;,4)为了安全与健康,每周体重减少不宜超过1.5千克,每周吸收热量不要小于10000千卡。,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,某甲体重100千克,目前每周吸收20000千卡热量,体重维持不变。现欲减肥至75千克。,第一阶段:每周减肥1千克,每周吸收热量逐渐减少,直至达到下限(10000千卡);,第二阶段:每周吸收热量保持下限,减肥达到目标,2)若要加快进程,第二阶段增加运动,试安排计划。,1)在不运动的情况下安排一个两阶段计划。,减肥计划,3)给出达到目标后维持体重的方案。,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,确定某甲的代谢消耗系数,即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡,基本模型,w(k)第k周(末)体重,c(k)第k周吸收热量,代谢消耗系数(因人而异),1)不运动情况的两阶段减肥计划,每周吸收20000千卡 w=100千克不变,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡,第一阶段10周,每周减1千克,第10周末体重90千克,吸收热量为,1)不运动情况的两阶段减肥计划,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,第二阶段:每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克,1)不运动情况的两阶段减肥计划,基本模型,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,第二阶段:每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克,第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按 减少至75千克。,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,运动 t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。,2)第二阶段增加运动的减肥计划,t每周运动时间(小时),重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,3)达到目标体重75千克后维持不变的方案,每周吸收热量c(k)保持某常数C,使体重w不变,不运动,运动(内容同前),重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,7.3 差分形式的阻滞增长模型,连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型),t,xN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关),离散形式,x(t)某种群 t 时刻的数量(人口),yk 某种群第k代的数量(人口),若yk=N,则yk+1,yk+2,=N,讨论平衡点的稳定性,即k,ykN?,y*=N 是平衡点,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性,一阶(非线性)差分方程,(1)的平衡点y*=N,讨论 x*的稳定性,变量代换,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,(1)的平衡点 x*代数方程 x=f(x)的根,稳定性判断,(1)的近似线性方程,x*也是(2)的平衡点,x*是(2)和(1)的稳定平衡点,x*是(2)和(1)的不稳定平衡点,补充知识,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,的平衡点及其稳定性,平衡点,稳定性,另一平衡点为 x=0,不稳定,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,的平衡点及其稳定性,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,初值 x0=0.2,数值计算结果,b 3,x,b=3.3,x两个极限点,b=3.45,x4个极限点,b=3.55,x8个极限点,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,倍周期收敛x*不稳定情况的进一步讨论,单周期不收敛,2倍周期收敛,(*)的平衡点,x*不稳定,研究x1*,x2*的稳定性,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,倍周期收敛,的稳定性,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,倍周期收敛的进一步讨论,出现4个收敛子序列 x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3,平衡点及其稳定性需研究,时有4个稳定平衡点,2n倍周期收敛,n=1,2,bn 2n倍周期收敛的上界,b0=3,b1=3.449,b2=3.544,n,bn3.57,b3.57,不存在任何收敛子序列,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,的收敛、分岔及混沌现象,b,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,7.4 按年龄分组的种群增长,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,建立差分方程模型,讨论稳定状况下种群的增长规律,假设与建模,种群按年龄大小等分为n个年龄组,记i=1,2,n,时间离散为时段,长度与年龄组区间相等,记k=1,2,以雌性个体数量为对象,第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi,第i 年龄组在1时段内的死亡率为di,存活率为si=1-di,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,假设与建模,xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量,按年龄组的分布向量,预测任意时段种群按年龄组的分布,Leslie矩阵(L矩阵),(设至少1个bi0),重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,稳定状态分析的数学知识,L矩阵存在正单特征根1,,若L矩阵存在bi,bi+10,则,P的第1列是x*,特征向量,解释,L对角化,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,稳态分析k充分大种群按年龄组的分布,种群按年龄组的分布趋向稳定,x*称稳定分布,与初始分布无关。,各年龄组种群数量按同一倍数增减,称固有增长率,3)=1时,各年龄组种群数量不变,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1,稳态分析,存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比,(与si 的定义 比较),3)=1时,