数据库系统概论第5章DataBa.ppt

An Introduction to Database System,中国人民大学信息学院计算机系,数据库系统概论An Introduction to Database System第五章 关系数据理论,An Introduction to Database System,第五章 关系数据理论,5.1 问题的提出5.2 规范化5.3 数据依赖的公理系统*5.4 模式的分解5.5 小结,An Introduction to Database System,5.1 问题的提出,关系数据库逻辑设计针对具体问题，如何构造一个适合于它的数据模式数据库逻辑设计的工具关系数据库的规范化理论,An Introduction to Database System,问题的提出,一、概念回顾二、关系模式的形式化定义三、什么是数据依赖四、关系模式的简化定义五、数据依赖对关系模式影响,An Introduction to Database System,一、概念回顾,关系：描述实体、属性、实体间的联系。从形式上看，它是一张二维表，是所涉及属性的笛卡尔积的一个子集。关系模式：用来定义关系。关系数据库：基于关系模型的数据库，利用关系来描述现实世界。从形式上看，它由一组关系组成。关系数据库的模式：定义这组关系的关系模式的全体。,An Introduction to Database System,二、关系模式的形式化定义,关系模式由五部分组成，即它是一个五元组：R(U,D,DOM,F)R：关系名U：组成该关系的属性名集合D：属性组U中属性所来自的域DOM：属性向域的映象集合F：属性间数据的依赖关系集合,An Introduction to Database System,三、什么是数据依赖,1.完整性约束的表现形式限定属性取值范围：例如学生成绩必须在0-100之间定义属性值间的相互关连（主要体现于值的相等与否），这就是数据依赖，它是数据库模式设计的关键,An Introduction to Database System,什么是数据依赖（续）,2.数据依赖是通过一个关系中属性间值的相等与否体现出来的数据间的相互关系是现实世界属性间相互联系的抽象是数据内在的性质是语义的体现,An Introduction to Database System,什么是数据依赖（续）,3.数据依赖的类型函数依赖（Functional Dependency，简记为FD）多值依赖（Multivalued Dependency，简记为MVD）其他,An Introduction to Database System,四、关系模式的简化表示,关系模式R（U,D,DOM,F）简化为一个三元组：R（U,F）当且仅当U上的一个关系r 满足F时，r称为关系模式 R（U,F）的一个关系,An Introduction to Database System,五、数据依赖对关系模式的影响,例：描述学校的数据库：学生的学号（Sno）、所在系（Sdept）系主任姓名（Mname）、课程名（Cname）成绩（Grade）单一的关系模式：Student U Sno,Sdept,Mname,Cname,Grade,An Introduction to Database System,数据依赖对关系模式的影响（续）,学校数据库的语义：一个系有若干学生，一个学生只属于一个系；一个系只有一名主任；一个学生可以选修多门课程，每门课程有若干学生选修；每个学生所学的每门课程都有一个成绩。,An Introduction to Database System,数据依赖对关系模式的影响（续）,属性组U上的一组函数依赖F：F Sno Sdept,Sdept Mname,(Sno,Cname)Grade,An Introduction to Database System,关系模式Student中存在的问题,数据冗余太大浪费大量的存储空间 例：每一个系主任的姓名重复出现 更新异常（Update Anomalies）数据冗余，更新数据时，维护数据完整性代价大。例：某系更换系主任后，系统必须修改与该系学生有关的每一个元组,An Introduction to Database System,关系模式Student中存在的问题,插入异常（Insertion Anomalies）该插的数据插不进去 例，如果一个系刚成立，尚无学生，我们就无法把这个系及其系主任的信息存入数据库。删除异常（Deletion Anomalies）不该删除的数据不得不删例，如果某个系的学生全部毕业了，我们在删除该系学生信息的同时，把这个系及其系主任的信息也丢掉了。,An Introduction to Database System,数据依赖对关系模式的影响（续）,结论：Student关系模式不是一个好的模式。“好”的模式：不会发生插入异常、删除异常、更新异常，数据冗余应尽可能少。原因：由存在于模式中的某些数据依赖引起的解决方法：通过分解关系模式来消除其中不合适 的数据依赖。,An Introduction to Database System,5.2 规范化,规范化理论正是用来改造关系模式，通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖，以解决插入异常、删除异常、更新异常和数据冗余问题。,An Introduction to Database System,5.2.1 函数依赖,一、函数依赖二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖三、完全函数依赖与部分函数依赖四、传递函数依赖,An Introduction to Database System,一、函数依赖,定义5.1 设R(U)是一个属性集U上的关系模式，X和Y是U的子集。若对于R(U)的任意一个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值相等，而在Y上的属性值不等，则称“X函数确定Y”或“Y函数依赖于X”，记作XY。X称为这个函数依赖的决定属性集(Determinant)。Y=f(x),An Introduction to Database System,说明：,1.函数依赖不是指关系模式R的某个或某些关系实例满足的约束条件，而是指R的所有关系实例均要满足的约束条件。2.函数依赖是语义范畴的概念。只能根据数据的语义来确定函数依赖。例如“姓名年龄”这个函数依赖只有在不允许有同名人的条件下成立3.数据库设计者可以对现实世界作强制的规定。例如规定不允许同名人出现，函数依赖“姓名年龄”成立。所插入的元组必须满足规定的函数依赖，若发现有同名人存在，则拒绝装入该元组。,An Introduction to Database System,函数依赖（续）,例:Student(Sno,Sname,Ssex,Sage,Sdept)假设不允许重名，则有:Sno Ssex，Sno Sage,Sno Sdept，Sno Sname,Sname Ssex，Sname SageSname Sdept但Ssex Sage若XY，并且YX,则记为XY。若Y不函数依赖于X,则记为XY。,An Introduction to Database System,二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖,在关系模式R(U)中，对于U的子集X和Y，如果XY，但Y X，则称XY是非平凡的函数依赖若XY，但Y X,则称XY是平凡的函数依赖例：在关系SC(Sno,Cno,Grade)中，非平凡函数依赖：(Sno,Cno)Grade 平凡函数依赖：(Sno,Cno)Sno(Sno,Cno)Cno,An Introduction to Database System,平凡函数依赖与非平凡函数依赖（续）,于任一关系模式，平凡函数依赖都是必然成立的，它不反映新的语义，因此若不特别声明，我们总是讨论非平凡函数依赖。,An Introduction to Database System,三、完全函数依赖与部分函数依赖,定义5.2 在关系模式R(U)中，如果XY，并且对于X的任何一个真子集X，都有 X Y,则称Y完全函数依赖于X，记作X Y。若XY，但Y不完全函数依赖于X，则称Y部分函数依赖于X，记作X P Y。,An Introduction to Database System,完全函数依赖与部分函数依赖（续）,例:在关系SC(Sno,Cno,Grade)中，由于：Sno Grade，Cno Grade，因此：(Sno,Cno)Grade,An Introduction to Database System,四、传递函数依赖,定义5.3 在关系模式R(U)中，如果XY，YZ，且Y X，YX，则称Z传递函数依赖于X。注:如果YX，即XY，则Z直接依赖于X。例:在关系Std(Sno,Sdept,Mname)中，有：Sno Sdept，Sdept Mname Mname传递函数依赖于Sno,An Introduction to Database System,5.2.2 码,定义5.4 设K为关系模式R中的属性或属性组合。若K U，则K称为R的一个侯选码（Candidate Key）。若关系模式R有多个候选码，则选定其中的一个做为主码（Primary key）。主属性与非主属性ALL KEY,An Introduction to Database System,外部码,定义5.5 关系模式 R 中属性或属性组X 并非 R的码，但 X 是另一个关系模式的码，则称 X 是R 的外部码（Foreign key）也称外码主码又和外部码一起提供了表示关系间联系的手段。,An Introduction to Database System,5.2.3 范式,范式是符合某一种级别的关系模式的集合。关系数据库中的关系必须满足一定的要求。满足不同程度要求的为不同范式。范式的种类：第一范式(1NF)第二范式(2NF)第三范式(3NF)BC范式(BCNF)第四范式(4NF)第五范式(5NF),An Introduction to Database System,5.2.3 范式,各种范式之间存在联系：某一关系模式R为第n范式，可简记为RnNF。,An Introduction to Database System,5.2.4 2NF,1NF的定义如果一个关系模式R的所有属性都是不可分的基本数据项，则R1NF。第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库。但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式。,An Introduction to Database System,2NF,例:关系模式 SLC(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)Sloc为学生住处，假设每个系的学生住在同一个地方。函数依赖包括：(Sno,Cno)f Grade Sno Sdept(Sno,Cno)P Sdept Sno Sloc(Sno,Cno)P Sloc Sdept Sloc,An Introduction to Database System,2NF,SLC的码为(Sno,Cno)SLC满足第一范式。非主属性Sdept和Sloc部分函数依赖于码(Sno,Cno),An Introduction to Database System,SLC不是一个好的关系模式,(1)插入异常假设Sno95102，SdeptIS，SlocN的学生还未选课，因课程号是主属性，因此该学生的信息无法插入SLC。(2)删除异常 假定某个学生本来只选修了3号课程这一门课。现在因身体不适，他连3号课程也不选修了。因课程号是主属性，此操作将导致该学生信息的整个元组都要删除。,An Introduction to Database System,SLC不是一个好的关系模式,(3)数据冗余度大 如果一个学生选修了10门课程，那么他的Sdept和Sloc值就要重复存储了10次。(4)修改复杂 例如学生转系，在修改此学生元组的Sdept值的同时，还可能需要修改住处（Sloc）。如果这个学生选修了K门课，则必须无遗漏地修改K个元组中全部Sdept、Sloc信息。,An Introduction to Database System,2NF,原因 Sdept、Sloc部分函数依赖于码。解决方法 SLC分解为两个关系模式，以消除这些部分函数依赖 SC（Sno，Cno，Grade）SL（Sno，Sdept，Sloc）,An Introduction to Database System,2NF,SLC的码为(Sno,Cno)SLC满足第一范式。非主属性Sdept和Sloc部分函数依赖于码(Sno,Cno),An Introduction to Database System,2NF,函数依赖图：,An Introduction to Database System,2NF,2NF的定义定义5.6 若关系模式R1NF，并且每一个非主属性都完全函数依赖于R的码，则R2NF。例：SLC(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)1NF SLC(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)2NF SC（Sno，Cno，Grade）2NF SL（Sno，Sdept，Sloc）2NF,An Introduction to Database System,第二范式（续）,采用投影分解法将一个1NF的关系分解为多个2NF的关系，可以在一定程度上减轻原1NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。将一个1NF关系分解为多个2NF的关系，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。,An Introduction to Database System,5.2.5 3NF,例：2NF关系模式SL(Sno,Sdept,Sloc)中函数依赖：SnoSdept SdeptSloc SnoSlocSloc传递函数依赖于Sno，即SL中存在非主属性对码的传递函数依赖。,An Introduction to Database System,3NF,函数依赖图：,An Introduction to Database System,3NF,解决方法 采用投影分解法，把SL分解为两个关系模式，以消除传递函数依赖：SD（Sno，Sdept）DL（Sdept，Sloc）SD的码为Sno，DL的码为Sdept。,An Introduction to Database System,3NF,SD的码为Sno，DL的码为Sdept。,An Introduction to Database System,3NF,3NF的定义定义5.8 关系模式R 中若不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z（Z Y）,使得XY，Y X，YZ，成立，则称R 3NF。例，SL(Sno,Sdept,Sloc)2NF SL(Sno,Sdept,Sloc)3NF SD（Sno，Sdept）3NF DL（Sdept，Sloc）3NF,An Introduction to Database System,3NF,若R3NF，则R的每一个非主属性既不部分函数依赖于候选码也不传递函数依赖于候选码。如果R3NF，则R也是2NF。采用投影分解法将一个2NF的关系分解为多个3NF的关系，可以在一定程度上解决原2NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。将一个2NF关系分解为多个3NF的关系后，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。,An Introduction to Database System,5.2.6 BC范式（BCNF）,定义5.9 设关系模式R1NF，如果对于R的每个函数依赖XY，若Y不属于X，则X必含有候选码，那么RBCNF。若RBCNF 每一个决定属性集（因素）都包含（候选）码R中的所有属性（主，非主属性）都完全函数依赖于码R3NF（证明）若R3NF 则 R不一定BCNF,An Introduction to Database System,BCNF,例：在关系模式STJ（S，T，J）中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。每一教师只教一门课。每门课由若干教师教，某一学生选定某门课，就确定了一个固定的教师。某个学生选修某个教师的课就确定了所选课的名称：(S，J)T，(S，T)J，TJ,An Introduction to Database System,5.2.6 BCNF,An Introduction to Database System,BCNF,STJ3NF(S，J)和(S，T)都可以作为候选码S、T、J都是主属性STJBCNFTJ，T是决定属性集，T不是候选码,An Introduction to Database System,BCNF,解决方法：将STJ分解为二个关系模式：SJ(S，J)BCNF，TJ(T，J)BCNF 没有任何属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖,An Introduction to Database System,3NF与BCNF的关系,如果关系模式RBCNF，必定有R3NF如果R3NF，且R只有一个候选码，则R必属于BCNF。,An Introduction to Database System,BCNF的关系模式所具有的性质,所有非主属性都完全函数依赖于每个候选码 所有主属性都完全函数依赖于每个不包含它的候选码 没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性,An Introduction to Database System,5.2.5 多值依赖与第四范式（4NF）,例:学校中某一门课程由多个教师讲授，他们使用相同的一套参考书。关系模式Teaching(C,T,B)课程C、教师T 和 参考书B,An Introduction to Database System,表5.1,An Introduction to Database System,用二维表表示Teaching,An Introduction to Database System,多值依赖与第四范式（续）,TeachingBCNF:Teach具有唯一候选码(C，T，B)，即全码Teaching模式中存在的问题(1)数据冗余度大：有多少名任课教师，参考书就要存储多少次,An Introduction to Database System,多值依赖与第四范式（续）,(2)插入操作复杂：当某一课程增加一名任课教师时，该课程有多少本参照书，就必须插入多少个元组例如物理课增加一名教师刘关，需要插入两个元组：（物理，刘关，普通物理学）（物理，刘关，光学原理）,An Introduction to Database System,多值依赖与第四范式（续）,(3)删除操作复杂：某一门课要去掉一本参考书，该课程有多少名教师，就必须删除多少个元组(4)修改操作复杂：某一门课要修改一本参考书，该课程有多少名教师，就必须修改多少个元组 产生原因存在多值依赖,An Introduction to Database System,一、多值依赖,定义5.10 设R(U)是一个属性集U上的一个关系模式，X、Y和Z是U的子集，并且ZUXY，多值依赖 XY成立当且仅当对R的任一关系r，r在（X，Z）上的每个值对应一组Y的值，这组值仅仅决定于X值而与Z值无关 例 Teaching（C,T,B）对于C的每一个值，T有一组值与之对应，而不论B取何值,An Introduction to Database System,一、多值依赖,在R（U）的任一关系r中，如果存在元组t，s 使得tX=sX，那么就必然存在元组 w，v r，（w，v可以与s，t相同），使得wX=vX=tX，而wY=tY，wZ=sZ，vY=sY，vZ=tZ（即交换s，t元组的Y值所得的两个新元组必在r中），则Y多值依赖于X，记为XY。这里，X，Y是U的子集，Z=U-X-Y。t x y1 z2 s x y2 z1 w x y1 z1 v x y2 z2,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,平凡多值依赖和非平凡的多值依赖若XY，而Z，则称 XY为平凡的多值依赖否则称XY为非平凡的多值依赖,An Introduction to Database System,多值依赖的性质,（1）多值依赖具有对称性 若XY，则XZ，其中ZUXY 多值依赖的对称性可以用完全二分图直观地表示出来。（2）多值依赖具有传递性 若XY，YZ，则XZ-Y,An Introduction to Database System,多值依赖的对称性,An Introduction to Database System,多值依赖的对称性,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,（3）函数依赖是多值依赖的特殊情况。若XY，则XY。（4）若XY，XZ，则XY Z。（5）若XY，XZ，则XYZ。（6）若XY，XZ，则XY-Z，XZ-Y。,An Introduction to Database System,多值依赖与函数依赖的区别,(1)有效性多值依赖的有效性与属性集的范围有关若XY在U上成立，则在W（X Y W U）上一定成立；反之则不然，即XY在W（W U）上成立，在U上并不一定成立多值依赖的定义中不仅涉及属性组 X和 Y，而且涉及U中其余属性Z。一般地，在R（U）上若有XY在W（W U）上成立，则称XY为R（U）的嵌入型多值依赖,An Introduction to Database System,多值依赖与函数依赖的区别,只要在R（U）的任何一个关系r中，元组在X和Y上的值满足定义5.l（函数依赖），则函数依赖XY在任何属性集W（X Y W U）上成立。,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,(2)若函数依赖XY在R（U）上成立，则对于任何Y Y均有XY 成立多值依赖XY若在R(U)上成立，不能断言对于任何Y Y有XY 成立,An Introduction to Database System,二、第四范式（4NF）,定义5.10 关系模式R1NF，如果对于R的每个非平凡多值依赖XY（Y X），X都含有候选码，则R4NF。（XY）如果R 4NF，则R BCNF 不允许有非平凡且非函数依赖的多值依赖 允许的是函数依赖（是非平凡多值依赖）,An Introduction to Database System,第四范式（续）,例：Teach(C,T,B)4NF 存在非平凡的多值依赖CT，且C不是候选码用投影分解法把Teach分解为如下两个关系模式：CT(C,T)4NF CB(C,B)4NF CT，CB是平凡多值依赖,An Introduction to Database System,5.2 规范化,5.2.1 第一范式（1NF）5.2.2 第二范式（2NF）5.2.3 第三范式（3NF）5.2.4 BC范式（BCNF）5.2.5 多值依赖与第四范式（4NF）5.2.6 规范化,An Introduction to Database System,5.2.6 规范化,关系数据库的规范化理论是数据库逻辑设计的工具。一个关系只要其分量都是不可分的数据项，它就是规范化的关系，但这只是最基本的规范化。规范化程度可以有多个不同的级别,An Introduction to Database System,规范化（续）,规范化程度过低的关系不一定能够很好地描述现实世界，可能会存在插入异常、删除异常、修改复杂、数据冗余等问题一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式集合，这种过程就叫关系模式的规范化,An Introduction to Database System,规范化（续）,关系模式规范化的基本步骤 1NF 消除非主属性对码的部分函数依赖消除决定属性 2NF集非码的非平 消除非主属性对码的传递函数依赖凡函数依赖 3NF 消除主属性对码的部分和传递函数依赖 BCNF 消除非平凡且非函数依赖的多值依赖 4NF,An Introduction to Database System,规范化的基本思想,消除不合适的数据依赖的各关系模式达到某种程度的“分离”采用“一事一地”的模式设计原则 让一个关系描述一个概念、一个实体或者实体间的一种联系。若多于一个概念就把它“分离”出去所谓规范化实质上是概念的单一化,An Introduction to Database System,规范化（续）,不能说规范化程度越高的关系模式就越好在设计数据库模式结构时，必须对现实世界的实际情况和用户应用需求作进一步分析，确定一个合适的、能够反映现实世界的模式上面的规范化步骤可以在其中任何一步终止,An Introduction to Database System,第五章 关系数据理论,5.1 数据依赖5.2 规范化5.3 数据依赖的公理系统5.4 模式的分解,An Introduction to Database System,5.3 数据依赖的公理系统,逻辑蕴含定义5.11 对于满足一组函数依赖 F 的关系模式R，其任何一个关系r，若函数依赖XY都成立,则称 F逻辑蕴含X Y,An Introduction to Database System,Armstrong公理系统,一套推理规则，是模式分解算法的理论基础用途求给定关系模式的码从一组函数依赖求得蕴含的函数依赖,An Introduction to Database System,1.Armstrong公理系统,关系模式R 来说有以下的推理规则：Al.自反律（Reflexivity）：若Y X U，则X Y为F所蕴含。A2.增广律（Augmentation）：若XY为F所蕴含，且Z U，则XZYZ为F所蕴含。A3.传递律（Transitivity）：若XY及YZ为F所蕴含，则XZ为F所蕴含。注意：由自反律所得到的函数依赖均是平凡的函数依赖，自反律的使用并不依赖于F,An Introduction to Database System,定理 5.l Armstrong推理规则是正确的,（l）自反律:若Y X U，则X Y为F所蕴含证:设Y X U 对R 的任一关系r中的任意两个元组t，s：若tX=sX，由于Y X，有ty=sy，所以XY成立.自反律得证,An Introduction to Database System,定理5.l,(2)增广律:若XY为F所蕴含，且Z U，则XZYZ 为F所蕴含。证：设XY为F所蕴含，且Z U。设R 的任一关系r中任意的两个元组t，s；若tXZ=sXZ，则有tX=sX和tZ=sZ；由XY，于是有tY=sY，所以tYZ=sYZ，所以XZYZ为F所蕴含.增广律得证。,An Introduction to Database System,定理5.l,(3)传递律：若XY及YZ为F所蕴含，则 XZ为 F所蕴含。证：设XY及YZ为F所蕴含。对R 的任一关系 r中的任意两个元组 t，s。若tX=sX，由于XY，有 tY=sY；再由YZ，有tZ=sZ，所以XZ为F所蕴含.传递律得证。,An Introduction to Database System,2.导出规则,1.根据A1，A2，A3这三条推理规则可以得到下面三条推理规则：合并规则：由XY，XZ，有XYZ。（A2，A3）伪传递规则：由XY，WYZ，有XWZ。（A2，A3）分解规则：由XY及 ZY，有XZ。（A1，A3）,An Introduction to Database System,导出规则,2.根据合并规则和分解规则，可得引理5.1 引理5.l XA1 A2Ak成立的充分必要条件是XAi成立（i=l，2，k）。,An Introduction to Database System,3.函数依赖闭包,定义5.l2 在关系模式R中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作 F的闭包，记为F+。定义5.13 设F为属性集U上的一组函数依赖，X U，XF+=A|XA能由F 根据Armstrong公理导出，XF+称为属性集X关于函数依赖集F 的闭包,An Introduction to Database System,F的闭包,F=X Y,Y Z,F+计算是NP完全问题，X A1A2.An F+=X,Y,Z,XY,XZ,YZ,XYZ,X X,Y Y,Z Z,XY X,XZ X,YZ Y,XYZ X,X Y,Y Z,XY Y,XZ Y,YZ Z,XYZ Y,X Z,Y YZ,XY Z,XZ Z,YZ YZ,XYZ Z,X XY,XY XY,XZ XY,XYZ XY,X XZ,XY YZ,XZ XZ,XYZ YZX YZ,XY XZ,XZ XY,XYZ XZ,X ZYZ,XY XYZ,XZ XYZ,XYZ XYZ,An Introduction to Database System,关于闭包的引理,引理5.2 设F为属性集U上的一组函数依赖，X，Y U，XY能由F 根据Armstrong公理导出的充分必要条件是Y XF+用途 将判定XY是否能由F根据Armstrong公理导出的问题，就转化为求出XF+，判定Y是否为XF+的子集的问题,An Introduction to Database System,求闭包的算法,算法5.l 求属性集X（X U）关于U上的函数依 赖集F 的闭包XF+输入：X，F输出：XF+步骤：（1）令X（0）=X，i=0（2）求B，这里B=A|(V)(W)(VWF V X（i）A W)；（3）X（i+1）=BX（i）,An Introduction to Database System,算法5.l,（4）判断X（i+1）=X（i）吗?（5）若相等或X（i）=U,则X（i）就是XF+,算法终止。（6）若否，则 i=i+l，返回第（2）步。对于算法5.l，令ai=|X（i）|，ai 形成一个步长大于1的严格递增的序列，序列的上界是|U|，因此该算法最多|U|-|X|次循环就会终止。,An Introduction to Database System,Define XF+=closure of X=set of attributes functionally determined byXBasis:XF+:=XInduction:If Y XF+,and Y A is a given FD,then add A to XF+End when XF+cannot be changed.,Algorithm,y,X+,New X+,A,An Introduction to Database System,U=A,B,C,D;F=A B,BC D;A+=AB.C+=C.(AC)+=ABCD.,Example,AC,B,An Introduction to Database System,Example,AC,D,B,U=A,B,C,D;A B,BC D.(AC)+=ABCD.,An Introduction to Database System,函数依赖闭包,例1 已知关系模式R，其中U=A，B，C，D，E；F=ABC，BD，CE，ECB，ACB。求（AB）F+。解 设X（0）=AB；(1)计算X（1）:逐一的扫描F集合中各个函数依赖，找左部为A，B或AB的函数依赖。得到两个：ABC，BD。于是X（1）=ABCD=ABCD。,An Introduction to Database System,函数依赖闭包,(2)因为X（0）X（1），所以再找出左部为ABCD子集的那些函数依赖，又得到ABC，BD，CE，ACB，于是X（2）=X（1）BCDE=ABCDE。(3)因为X（2）=U，算法终止所以（AB）F+=ABCDE。,An Introduction to Database System,4.Armstrong公理系统的有效性与完备性,建立公理系统体系目的：从已知的 f 推导出未知的f明确：1.公理系统推导出来的 f 正确？2.F+中的每一个 f 都能推导出来？/f 不能由F 导出,f F+F F+f,An Introduction to Database System,4.Armstrong公理系统的有效性与完备性,有效性：由F出发根据Armstrong公理推导出来的每一个函数依赖一定在F+中/*Armstrong正确完备性：F+中的每一个函数依赖，必定可以由F出发根据Armstrong公理推导出来/*Armstrong公理够用，完全完备性：所有不能用Armstrong公理推导出来f,都不为真 若 f 不能用Armstrong公理推导出来，f F+,An Introduction to Database System,有效性与完备性的证明,证明：1.有效性 可由定理5.l得证2.完备性只需证明逆否命题:若函数依赖XY不能由F从Armstrong公理导出，那么它必然不为F所蕴含分三步证明：,An Introduction to Database System,有效性与完备性的证明,(1)引理:若VW成立，且V XF+，则W XF+证 因为 V XF+，所以有XV成立；因为X V，VW，于是XW成立 所以W XF+(2)/*若 f 不能用Armstrong公理推导出来，f F+/*若存在r，F+中的全部函数依赖在 r上成立。/*而不能用Armstrong公理推导出来的f,在r上不成立。构造一张二维表r，它由下列两个元组构成，可以证明r必是R（U，F）的一个关系，即F+中的全部函数依赖在 r上成立。,An Introduction to Database System,Armstrong公理系统的有效性与完备性(续),XF+U-XF+11.1 00.0 11.1 11.1 若r不是R 的关系，则必由于F中有函数依赖VW在r上不成立所致。由r的构成可知，V必定是XF+的子集，而W不是XF+的子集，可是由第（1）步，W XF+，矛盾。所以r必是R的一个关系。,An Introduction to Database System,Armstrong公理系统的有效性与完备性(续),(3)/*若 f 不能用Armstrong公理推导出来，f F+/*而不能用Armstrong公理推导出来的 f,在r上不成立。若XY 不能由F从Armstrong公理导出，则Y 不是 XF+的子集。（引理5.2）因此必有Y 的子集Y 满足 Y U-XF+，则XY在 r 中不成立，即XY必不为 R 蕴含/*因为 F+中的全部函数依赖在 r上成立。,An Introduction to Database System,Armstrong公理系统的有效性与完备性(续),Armstrong公理的完备性及有效性说明:“蕴含”=“导出”等价的概念 F+=由F出发借助Armstrong公理导出的函数依赖的集合,An Introduction to Database System,5.函数依赖集等价,定义5.14 如果G+=F+，就说函数依赖集F覆盖G（F是G的覆盖，或G是F的覆盖），或F与G等价。,An Introduction to Database System,函数依赖集等价的充要条件,引理5.3 F+=G+的充分必要条件是 F G+，和G F+证:必要性显然，只证充分性。（1）若FG+，则XF+XG+。（2）任取XYF+则有 Y XF+XG+。所以XY(G+）+=G+。即F+G+。（3）同理可证G+F+，所以F+=G+。,An Introduction to Database System,函数依赖集等价,要判定F G+，只须逐一对F中的函数依赖XY，考察 Y 是否属于XG+就行了。因此引理5.3 给出了判断两个函数依赖集等价的可行算法。,An Introduction to Database System,6.最小依赖集,定义5.15 如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集。亦称为最小依赖集或最小