数学物理方程数学建模和基本原理介绍.ppt

1,刘庆芳数学与统计学院办公室：理科楼330办公电话：82663162手机：Email:,公共邮箱：密码：mathmath答疑：理科楼330,周三晚7:00-9:00作业：周二下午交作业到理科楼330,2,波动方程热传导方程拉普拉斯方程或泊松方程,本课程主要研究三类偏微分方程（PDE）,3,1.1 数学模型的建立,建模步骤：,1.从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用,2.研究物理量遵循哪些物理规律,3.按物理定律写出数理方程,第1章 数学建模和基本原理介绍,4,以弦线所处的平衡位置为x轴，垂直于弦线且通过弦线的一个端点的直线为u轴建立坐标系u(x,t):坐标为x的点在t时刻的位移牛顿第二定律具体建模,波动方程的导出,物理模型：长为 的均匀柔软的细弦作微小横振动，求弦线上任一点在任一时刻的位移。,5,将所取小段弦线近似视为质点,水平方向受力分析,选取一微元 作为研究对象,6,设 为u轴正向的单位向量，则有,垂直方向受力分析,7,沿x轴方向,沿垂直于x轴方向,在微小横振动条件下,由（1）式，弦中各点的张力相等,牛顿第二定律：,8,弦振动方程(vibrating string equation)：,波速a,令,刻划了柔软均匀细弦作微小横振动时所服从的一般规律。,9,一维波动方程,-非齐次方程,-齐次方程,忽略重力和外力作用：,如考虑弦的重量：,沿x轴方向，不出现平移,沿垂直于x轴方向,类似讨论,10,定解条件：初始条件和边界条件,初始条件：分为初始位移和初始速度。即弦线做初始时刻t=0时位移和速度,11,边界条件：一般来说有三种,(1)已知端点的位移(第一类边界条件,Dirichlet边界),(2)已知端点所受垂直于弦线的外力(第二类边界条件,Neumann边界),(3)端点位置与弹性物体相连情况,12,x=0端，在时刻t，弹簧实际的伸缩量为,令 可得,即,类似可得x=l端边界条件为,第三类边界条件的推导,取区间，与建立弦振动方程完全相同的方法有,由Hooke定律该处的弹力为,13,初始条件和边界条件通常称为定解条件。一个微分方程连同它相应的定解条件组成一个定解问题。,14,（二）热传导方程和定解条件,模型及其假设：,1.内部有热源，与周围介质有热交换2.均匀，各向同性导热体,热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。,1.热力学第二定律积分形式热量Q2(t2)-Q1(t1)=W+通过边界流入的热量2.Fourier热定律3 比热容公式：Q=mcu,15,参数,16,17,18,19,热传导方程定解条件,初始条件,边界条件,20,21,22,23,常见的线性边界条件，数学上分为三类：,第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量做边界上的数值；第二类边界条件，规定了所研究物理量在边界外法线方向上的方向导数的数值；第三类边界条件，规定了所研究物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。,24,作业：P29 第1,2,3题,25,泊松方程或拉普拉斯方程,时称为拉普拉斯方程(调和方程),考虑热传导方程：,则方程变为：,称这个方程为泊松方程(位势方程),26,1.2 定解问题的适定性,1.2.1 基本概念,偏微分方程偏微分方程的阶数线性与非线性方程齐次与非齐次方程线性定解问题方程的古典解，通解，特解,27,二阶线性PDE,二阶线性PDE,二阶非线性PDE,28,把所有自变量依次记作x1,x2,xn，线性二阶偏微分方程可表为,其中 aij,bi,c,f 只是 x1,x2,xn 的函数。偏微分方程，阶数，线性偏微分方程，自由项，齐次方程，非齐次方程,二阶线性偏微分方程,29,微分方程的解,古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的古典解。,通解：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常数的解。,特解：通过定解条件确定了解中的任意常数后得 到的解。,30,1.2.2 适定性概念,解的存在性:即在给定的定解条件下，定解问题是否有解存在?从下一章起，我们要介绍三种典型的数学物理方程的解法，它们直接给出了解的存在性的证明。解的唯一性:即在给定的定解条件下，定解问题的解若存在，它是否唯一？如果能知道一个定解问题具有唯一解，那么我们就能采用任何合适的方法去寻找它的解。,31,解的稳定性：定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只有微小的变动,则称该定解问题的解是稳定的，否则称它的解是不稳定的。因为定解条件中的一些已知量，通常总是利用实验得到的数据，不可避免地会有一定的误差，所以人们自然会关心定解条件的微小扰动是否会导致解的变化很大。,适定性：一个定解问题存在唯一稳定的解，则此问题是适定的。否则就称它为不适定的。,32,由于许多数学物理问题均可以用适定的定解问题来处理，长期以来，人们认为不适定数学物理问题的研究是没有意义的，然而在实际问题中经常遇到不适定的问题。,例如，对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的温度分布，那么在初始时刻物体应当具有一个什么样的温度分布才能达到此目的？这就是一个不适定的问题它是所谓的数学物理问题的反问题。,通过研究，人们找到了处理这类不适定问题的一些办法。现在对不适定问题的研究已成为偏微分方程的一个重要的研究方向。,33,1.3 叠加原理,1.3.1 叠加原理(superposition principle),在数学物理中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果，等于这些不同原因单独产生效果的累加。例如，物理中几个外力作用于一个物体上所产生的加速度，等于各个外力单独作用在该物体上所产生的加速度的总和，这个原理称为叠加原理。叠加原理适用范围非常广泛。1.如果几个电荷同时存在,它们电场就互相叠加,形成合电场.这时某点的场强等于各个电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和,这叫做电场的叠加原理.2.点电荷系电场中某点的电势等于各个点电荷单独存在时,在该点产生的电势的代数和,称为电势叠加原理.,34,线性问题和非线性问题的最根本区别就是：线性问题的解满足叠加原理，而非线性问题的解一般来讲不满足叠加原理。,35,设 是任意两个常数，是两个具有二阶连续偏导数的函数，简记为 则有,设自变量为 x、y（或者x、t），未知函数u(x,y)，则二阶线性偏微分方程的一般形式为,记,算符 为,通常称 为二阶偏微分算子，易证 是线性算子。,36,再介绍三个二阶线性偏微分算子：,叠加原理 1 设 是二阶线性偏微分算子，为n个任,意常数，为平面区域 内的n个已知函数,若 在区域 内是如下方程的解,则方程,37,可解，且 是（8）在区域 内的一个解。,注1 叠加原理1对三元函数 u(x,y,z)情况也成立，此时，,注2 叠加原理1讨论的是自由项 的叠加性。例如方程,只需解出方程,其解分别为,，则原方程解为,注3 叠加原理1讨论的自由项,是有限和。,38,如果该级数在区域 内收敛，且相应的解,在区域 内也收敛而且可以逐项求一阶和二阶偏导数，,相应的二阶偏导数的级数在区域 内一致收敛，此时叠加原理1,的结论仍成立。此条对下面的叠加原理也成立。,注4 线性定解问题，如果边界条件是齐次的，叠加原理也成立。,弦振动方程混合问题中，考虑如下的波算子定解问题,边界条件是齐次的。可分解为下面三个齐次边界条件的定解问题,对于无穷级数,39,40,叠加原理2 若定解问题（10）（11）（12）的解分别为,，则,是定解问题（9）的解,41,对波算子定解问题（9），自由项f是有限和，如果是级数，就有,叠加原理3 定解问题（9），设,如果对每个,是如下问题的解,则,是定解问题（9）的解。,42,弦振动方程混合问题中，不是齐次边界条件的波算子定解问题,介绍边界条件的齐次化问题，即将 化为零。,第一步，选取,满足,最简单的是取,第二步，令,。则有,为齐次边界条件，定解问题（9）。,43,例1 求方程,的任意一个解。,解：由叠加原理1，只需分别求出如下三个方程的解,易求出：,和,。所以,是原方程的一个解。,44,令,，则原方程,化为,例2 求如下定解问题中的方程齐次化,解：由上例，,是方程的一个解，,45,定理 1（齐次化原理）用,表示以,为初值的,的定解问题（12）的解，则初值问题（10）和（11）的解,可以表示为,其中,是一个函数定义为,证明：略。,1.3.2 叠加原理应用,叠加原理的一个重要应用就是它可以把非齐次的偏微分方程的求解,化为齐次偏微分方程的求解，即所谓的齐次化原理。,46,设密度,1.3.2 叠加原理应用,数学上用线性泛函的形式给出,47,利用叠加原理，上面的问题可分解为两个定解问题,考虑热传导方程初值问题,48,进一步考虑下面两个定解问题,49,则相应(2)的解可以表示为,从而热传导方程的解为,50,作业：P30第14题 P32第27题,51,本章主要内容：方程的推导定解条件定解问题的适定性（概念）叠加原理,