数学物理方法第一章复变函数.ppt

第一篇 复变函数论复变函数是自变量为复数(矢量）的函数第一章 复变函数,1.1 复数与复数运算（一）复数的基本概念 定义，z=x+i y,其中 x 和 y 是实数,虚数单位 实部 x=Re z，虚部 y=Im z2.复数的几何表示方法：一个复数可用平面上的点表示直角坐标表示 z=x+i y,全体复数与平面上的点一一对应,z=x+iy(x,y)(,),=|z|,o,x,sin cos(/2-),cos,复数平面,y,z1=x1+i y1，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2，y1=y2,/2-,2)极坐标表示,利用坐标变换:,复数 z 的三种表示:代数式：三角式：指数式：,模：,z(x,y),o,y,x,sin,cos,复数平面,4,This identity is particularly remarkable as it involves e,i,1 and 0,arguably the five most important constants in mathematics.,Leonhard Eular(1707-1783)Swiss mathematician,欧拉(Euler)公式 the most remarkable formula in mathematics(by Richard Feynman),5,3.辐角主值:辐角=Arg z 满足 的特定值称为主值 arg z,=Arg z=arg z+2k，(k=0,1,2,.)复数零：辐角无意义,7,4.复共轭：关于实轴的对称点：,z*(x0,-y0),x,y,o,z(x0,y0),z,z*,-,Z,Z*互为共扼,（二）无限远点：测地投影:用平面上的点来表示球面上的点,N（北极）,复数 z 平面,o,A(x,y),x,y,A(x,y),复数球,S(南极）,A，,A N、Re(z),Im(z)均无意义,A o，0,A o,无确定值,（三）复数的运算加减法：z1 z2=(x1 x2)+i(y1 y2)加法满足交换律和结合律 乘积：z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2 y1)乘法满足交换律、结合律和分配律 除法：,乘、除、乘方、开方运算用指数式（或三角式）较代数式方便,复数的运算的物理图像：加减法2D平面内矢量的叠加 乘除法2D平面内矢量的操作,11,o1z2 oz1z|z|/|z1|=|z2|/1(=1)|z|=|z1|z2|,复数乘法图示,z=z1 z2,z1,o,y,z2,(1,0),=1,x,12,o,y,z2,=1,x,o z2 o,1/z2=*,复数除法图示一,13,o,y,z2,=1,x,o z2 o z1 z,复数除法图示二,z1,z,2-1,（杨超）,14,指数运算,根式运算,根式的多值性!,=2/n，k n的根与k=0,n-1的根重合;k=0 与k=n的根等同。,(n=5),/n,/n+2/n,/n+2(2/n),/n+3(2/n),/n+4(2/n),Z,16,复数研究可归结为实数研究,17,例题，p4,3(1)计算解答：,18,19,1.2 复变函数（一）复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集 E,对于E 的每一点z，按照一定的规律，有一个或多个复值 w 与之相对应，则称w 为z 的复变函数:,w,z,E,（二）区域的概念：解析函数的定义域是满足一定条件的点集，称为区域邻域、内点、外点和边界点,z0:内点,边界点,外点,z0 的邻域,z0,B：区域,区域：1、全由内点组成；2、具有连通性。(开)区域:闭区域:,圆型区域的例：,为开区域；,为闭区域,x,o,y,z0,r0,（三）复变函数例1.多项式,2.有理分式,3.根式,sh同sinh，双曲正弦(hyperbolic sine)ch同cosh,双曲余弦(hyperbolic cosine),（Arg z=arg z+2k）,25,26,与实函数比较异同 三角函数 f(z)=sinz，cosz,(1)实数周期 2；sin(z+2)=sin(z),cos(z+2)=cos(z),(2),(3)同样有公式,当,具有纯虚数周期，对应实函数为非周期函数,为无穷多值函数，负实数的对数仍有意义,复变函数 实部 虚部,例1.w=z2.u(x,y)=Re(z2)x2-y2，v(x,y)=Im(z2)=2xy,例2.w=z3 u(x,y)=Re(z3)=x3-3xy2;v(x,y)=Im(z3)=3x2y-y3,例3.w=1/z=u(x,y)+i v(x,y),例4.f(z)=z-2=u(x,y)+iv(x,y),36,妈妈开了个淘宝店，欢迎前来捧场 妈妈的淘宝点开了快半年了，主要卖的是毛绒玩具、坐垫、抱枕之类的，感觉妈妈还是很用心的，花了不少功夫，所以我也来出自己的一份力，帮忙宣传一下。并且妈妈总是去五亭龙挑最好的玩具整理、发货，质量绝对有保证。另外我家就在扬州五亭龙玩具城旁边，货源丰富，质量可靠，价格便宜。欢迎大家来逛逛【扬州五亭龙玩具总动员】,个人小广告：,例5.指数函数 f(z)=ez=ex+iy=ex cos y+i ex sin y,例6.f(z)=sin(10z)=u(x,y)+iv(x,y),例7.f(z)=sinh(10z)=u(x,y)+iv(x,y),1.3 导 数一、导数的定义：设 为单值函数，即对于B上的每一个z值，有且只有一个w值与之相对应。如果对于B上的某点z,极限存在，且与z0 的方式无关，则称函数 w=f(z)在 z 点可导，此极限定义为函数 w=f(z)在 z点的导数（或微商），记为,与实变函数导数的区别：实变函数：x0；复变函数：z0,z=x+iy,z0 方式图示,x,y,o,z0,z=i y,z=x,二、求导公式,必须指出，复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上一样，实质上却有很大的不同这是因为实变数x 只能沿着实轴逼近零、复变数z 却可以沿复数平面上的任一曲线逼近零。因此，与实变函数的可导相比，复变函数可导的要求要严格得多。,三、柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程证明：1、实轴方向,z=x2、虚轴方向,z=i y,y,z=x(1),z=iy(2),z0,x,o,3、f(z)可导，与z0 的方式无关，因此,柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程,C-R方程是可导的必要条件。,从而：,50,Augustin-Louis Cauchyborn:August 21,1789 in Paris died:May 23,1857 outside Paris Modern mathematics is indebted to Cauchy for two of its major interests,each of which marks a sharp break with the mathematics of the eighteenth century.The first was the introduction of rigor into mathematical analysis.The second thing of fundamental importance was on the opposite side-the combinatorial.,51,Georg Friedrich Bernhard Riemann born September 17,1826,Breselenz,Hanover Germanydied July 20,1866,Selasca,Italy.He was a German mathematician whose profound and novel approaches to the study of geometry laid the mathematical foundation for Albert Einsteins theory of relativity.He also made important contributions to the theory of functions,complex analysis,and number theory.,例:,不满足C-R条件,事实上,又例：,在I、III象限：,在II、IV象限：,从而在 z0,满足C-R条件。然可导否？,试令 恒定，,即,而在II、IV象限,则在I、III象限,f(z)可导的充要条件：u(x,y)和v(x,y)的偏导数存在、连续，且满足C-R条件,则复变函数 f(z)=u(x,y)+i v(x,y)可导。,满足C-R条件,可见C-R条件不是复变函数可导的充分条件,然而，沿实轴或虚轴，,证明：偏导连续，增量 可表为：,其中,从而,利用C-R条件,同理,利用C-R条件,极坐标中的C-R方程：,极限 是与z0的方式无关的有限值,可沿任一方便的路径求导数（极限）若复变函数可导，则其实部和虚部通过C-R方程而联系起来,x,y,o,60,例：1、f(z)=z2 在 z0 点的导数：,2、f(z)=|z|2 在 z0 点的导数:,极限与方向有关，f(z)=|z|2在 z0 点不可导!,如不变，z=z0+z=z0+ei RR0过程中对应的，同时都在变化,只有在oo连线或延长线上，都是常数,x,z0,o,y,z,x,y,x,y,o,S,复变函数求导方法(如果存在）:一、已知 f(z),求导:与实变函数求导类似。二、已知 u(x,y)+i v(x,y),求导:,例：,1.4 解析函数一、解析函数的 定义：如果单值函数 f(z)在点 z0及其邻域内处处可导，则称 f(z)在 z0 点解析。又若 f(z)在区域 B上每一点都解析（可导），则称 f(z)是区域 B上的解析函数 z0 点可导与 z0 点 解析的区别:函数 f(z)=|z|2(1.4例2)在 z=0 点可导，而在其他点均不可导，故 z=0 点不解析。,z0 邻域,可导与解析的关系,z0 点解析,z0 点可导,区域上可导,区域上解析,不一定！,二.解析函数的性质：若函数 f(z)=u+i v 在区域 B 上解析，则 1、u(x,y)=C1 与 v(x,y)=C2 互相正交;将C-R方程 两边对应相乘,u(x,y)=C1 v(x,y)=C2代表的函数族，在交点（x,y)处相互正交,68,例1、f(z)=z=x+iy x=C1,y=C2,例2、f(z)=lnz=ln(x2+y2)1/2+i Arg z x2+y2=C1,Arg z=C2,o,x,y,x2+y2=C1,Argz=C2,例3、f(z)=z2=x2-y2+2 i xy x2-y2=C1,xy=C2,2、如果2u=0 和 2v=0,即 u 和 v 是调和函数;将CR方程 前式对x求导，后式对y求导,两式相加,得：同理可得：,u,v满足2D Laplace方程，u,v叫作共轭调和函数,73,Pierre-Simon Laplace Born:23 March 1749 in Beaumont-en-Auge,Normandy,FranceDied:5 March 1827 in Paris,FranceLaplace proved the stability of the solar system.In analysis Laplace introduced the potential function and Laplace coefficients.He also put the theory of mathematical probability on a sound footing(建筑声学）.,三.确定解析函数 给定u，求v,验证(1.4.4)是全微分,?,正确,CR条件,利用调和函数性质，Laplace方程,（1）曲线积分法 全微分的积分与路径无关，可选择特殊路径完成积分（2）凑全微分显式法（3）不定积分法,例1.已知解析函数 f(z)的实部 求虚部和这个解析函数。解：（1）曲线积分法 调和函数验证,C-R,(x,y),(x,0),x,y,o,（2）凑全微分显式法,（3）不定积分法,结果,例2.已知解析函数 f(z)的虚部 求实部 u(x,y)和这个解析函数。解：(凑全微分显式法),1.5 平面标量场(3D物理问题用2D模型研究）,平面标量场的概念平面静电场电势为调和函数存在解析函数,称为静电场的复势设u为电势,u=c1等势线族v=c2电力线族,A,B,ds,En,ds切线方向余弦(见后图）,电通量N,纵深宽度W,ds 法线n方向余弦,n,82,ds 法线n+方向,o,y,x,ds切线方向,ds 法线n-方向,n+,n-,-/2,左侧,右侧,83,y轴的绝对方位角,法线n的绝对方位角,于是,这样,即，v(x,y)在A和B两点取值之差就是A和B两点之间穿过的电通量，v(x,y)称为通量函数,85,如果用,86,1,2,左,2,右,1,左,右,例1 分析由,描述的场解：,平面静电场（带电导体平面）无旋流速场,u=常数（虚线族）电场线 等速度势线 v=常数(实线族）等势线 流线,x,y,图1-5：这里u代表通量函数！,-,-,无限长带电（电荷线密度）导线，构成交叉零电势面（白色虚线）,原点附近场分布相似图1-5的实线族。,x=y,x=-y,89,例：准无限长带电（电荷线密度）导线的复势研究,o,x,y,A(1,1),B(2,2),ds,ds,ds,n,ds=dl1 dl2,n,dl1,dl2,90,91,92,=-N,原因是教材中N=v(x2,y2)-v(x1,y1)面积分法向用 n+,而实际常用n-。,93,例：准无限大带电（电荷面密度）平面的复势研究,x,y,z,o,A,B,W为面积分区域宽度,94,=-N,N=v(x2,y2)-v(x1,y1)中面积分法向用 n+,这里用n-。,例2.已知平面静电场的电力线为抛物线族 求等势线。解：,若取,v 非调和函数！,取,F(t)待定,代入拉氏方程,即,亦即,积分一次,再积分一次,于是有,引用前节结果，得,等势线方程为,变换到直角坐标，令,即,得,带电金属平板的静电场：金属板：等势线；：电力线,x,y,1.6 多值函数一、定义：对于自变数z的每一个值，有不止一个函数值w与之相对应，w 便称为z的多值函数。二、1.多值性,n=2,3,重复前二值,2.自变数变化时函数关系的变化,处理多值函数时，首先要解决的问题是自变数z与函数w的对应关系，特别是当z连续变化时这种对应关系的可能变化。从 出发，绕红线(含z=0!),绕紫线(不含z=0!)，,两个单值分支,3.支点 对于多值函数 w=f(z),如绕某点 z0 一周，函数值 w不复原，而当 z 不绕 z0 点转一圈回到原处时，函数值还原。则称 z0 点为 f(z)的分支点。z 绕支点 n 圈，函数值复原，该支点称为 n-1阶支点。z=0是 的一阶支点。亦是 一阶支点。因此,为了完全确定多值函数w=f(z)的函数值w与自变数 z 之间的对应关系,除了要在某一点 z 规定函数的对应值,还必须说明 z 的变化路径!,4.黎曼(Riemann)面单值分支单值分支,切割线,w1:z 的幅角02,4 6,8 10,w2:z 的幅角2 4,6 8,10 12,Riemann 面概念：在 Riemann 面上，多值函数变为解析的单值函数，即 z 与 w 是一一对应的。,立方根 的Riemann面,对数函数 的Riemann面:无穷多页，支点z=0,z=.,Riemann面,支点z=0，,a,b,c,d,e,f,每一Riemann面无限大,对于每组（x,y)对应4个函数，每组（x,y,)(0 8)是单值函数,110,支点z=1,111,例题1.6.(2),指出 多值函数的支点及其价，并作黎曼面。解答:(1)在z=a 邻域，任取一点z=a+a ei(a|a-b|),则,112,妈妈开了个淘宝店，欢迎前来捧场 妈妈的淘宝点开了快半年了，主要卖的是毛绒玩具、坐垫、抱枕之类的，感觉妈妈还是很用心的，花了不少功夫，所以我也来出自己的一份力，帮忙宣传一下。并且妈妈总是去五亭龙挑最好的玩具整理、发货，质量绝对有保证。另外我家就在扬州五亭龙玩具城旁边，货源丰富，质量可靠，价格便宜。欢迎大家来逛逛【扬州五亭龙玩具总动员】,个人小广告：,113,114,Riemann面构造一,Riemann面构造二,a,b,沿红线切割平面后，上下割面交叉连接,o,o,o,o,D,A,C,B,C,D,A,B,z=0(原点o),不是支点,z=0(原点o),不是支点 z=对应路径（+2):AB C D A（回到原处）,本章基本要求：1.理解解析函数的定义。2掌握C-R条件与解析函数及 调和函数的关系。,作业：1.1.1(3)(4)(6)(9),2(3)(6),3(4)(7)1.2.2(3)(5),3 1.3.p.13 1.4.1,2(2)(3)(8)(10)(11)1.5.3,