数学物理方法 3 幂级数展开.ppt

1,解,f()=2i(32+7+1),根据柯西积分公式知,“数学是无穷的科学”赫尔曼.外尔,第三章 幂级数展开,3,学习要求与内容提要,目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛 朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤 立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。,重点：,难点：,函数展开成泰勒级数与洛朗级数,函数展开成洛朗级数,4,无穷级数：一无穷多个数构成的数列w1，w2，w3，wn，写成w1+w2+w3+wn+就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有和数呢？这个和数的确切意义是什么？,为什么要研究级数？(1)级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；(2)常微分方程的级数解。研究级数需关心的问题：(1)级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；(2)收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。,5,3.1 复数项级数,(一)复数项级数1 定义 设wn(n=1,2,)为一复数列,表达式 的称为复数项级数，其中 是复数。,2 部分和,级数前面n项的和,若部分和数列sn(n=1,2,)有复数极限s,即若,(3.1),本节内容与实数项级数类似，只作扼要介绍。,6,说明:,与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:,则称复数项级数(3.1)收敛于s,且称s为(3.1)的和,写成,若复数列sn(n=1,2,)没有极限,则称级数(3.1)为发散.,7,的敛散性.,0,=,n,n,z,分析级数,例1,8,3.复数项级数收敛的条件,证,因为,(1)定理,9,说明,复数项级数的审敛问题,实数项级数的审敛问题,(定理),10,(3)绝对收敛定义,注1：一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和.,(2)柯西判据：对于任一小的正数，必存在一 N 使得 nN 时有,式中 p 为任意正整数.,11,解,所以原级数发散.,例1,所以原级数收敛.,注3：两个绝对收敛级数的和，积，仍绝对收敛。,12,（二）复变函数项（简称函数项）级数：,设复变函数列wk(z)定义在区域B上，则由wk(z)构成的级数称函数项级数,当选定z的一个确定值时，函数项级数变成一个复数项级数。,由于函数项级数定义在区域 B(或曲线l)上，所以它的收敛的概念是相对于定义域B(或曲线l)而言的。,13,1.复变函数项级数一致收敛的充分必要条件,定义：任给 0，存在一个与z无关的自然数N()，当,n N()时，对B(或l)上所有z，均有：,(p为任意自然数)，则称在B(或l)一致收敛。,一致收敛级数的性质,性质1：若wk(z)在B内连续，函数级数 在B内一致收敛，则和函数w(z)也是B内的连续函数。,这个性质说明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收敛级数可以逐项求极限。,14,性质2：若级数 在区域B内的分段光滑曲线l上一致收敛，且wk(z)为l上的连续函数，则级数可沿l逐项积分：,15,绝对一致收敛,这是一种特殊形式的常用函数项级数。,3.2 幂级数,幂级数：通项为幂函数的级数:,（一）定义,16,（二）幂级数的敛散性,1.阿贝尔定理 如果级数 在z0点收敛，那么在以a点为圆心，为半径的圆内绝对收敛，而 上一致收敛。,如果级数 在z1点发散，则在 内处处发散。,由于发散的幂级数没有多大用处，故重点研究幂级数的敛散性。,2.求收敛圆半径R的公式,绝对收敛是指 收敛，后者为正项级数，因此可用正项级数的比值判别法和根式判别法确,17,(1)比值判别法,引入收敛半径,定收敛半径 R。,绝对收敛,发散,绝对收敛,发散,则若:,级数,的柯西判据,所以,绝对收敛.,18,所以收敛半径为,（2）当,19,(2)根式判别法,发散,所以,绝对收敛,对应级数绝对收敛,则若:,20,如果:,(极限不存在),4.复变幂级数在收敛圆内的性质,那么,21,且可表为连续函数的回路积分。,22,证明:记 CR1上点为，CR1内任一点为 z，则圆上的幂级数可写为,23,且幂级数在收敛圆内可任意逐项求导,证明:幂级数 乘以,24,故收敛半径,解,25,解,例2,求 的收敛半径.,26,例3 计算,解:和函数,27,5.幂级数的运算与性质,在收敛半径R=min(r1,r2)内:,(2)幂级数的代换(复合)运算,28,思考,思考题答案,不一定。,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?,数敛散性讨论。,思考题答案,29,3.23.(1)（4）(5）4.(1)(3),本讲作业,30,3.3 泰勒级数展开,上节证明了：幂级数在其收敛圆内解析本节证明其逆定理：解析函数可以展开成幂级数，且这种 展开式是唯一的。解析函数与幂级数的密切关系,其中展开系数 ak 称为泰勒级数,如图：设 f(z)在区域内解析，z0为内任一点，为z0到区边界的最短距离，则当|zz0|R 时，f(z)可展开为泰勒级数,(一)解析函数的泰勒展开定理,CR1为半径为的圆。,31,证明：1.设f(z)在内解析,在图示的CR1圆上应用柯西公式,其中z为圆CR1内某一点,|zz0|=r，CR1为包含z的圆，|z0|=R,(0 r R)，为CR1上的点。,如图:,32,2.将被积函数变成级数,利用 将 展开成以z0为中心的级数,被积函数写成：,3.将上式沿CR1积分,级数 在CR1上一致收敛 和 f()在CR1上有界,33,级数 在 B内一致收敛 逐项积分,于是,其中,4.展开式是唯一的,34,若 f(z)能展开成另一种形式：,(1)那么当 z=z0：,(2)对z求导：,展开式唯一,35,来求 ak。,由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求解一个解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式,说明：,(1)解析函数与泰勒级数之间存在密切关系：a.幂级数在其收敛圆内解析；b.解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的。,(2)如果f(z)在B内有一阶导数存在，则f(z)可在B内每一点的,邻域内展开成泰勒级数。而对于实变函数来说，f(x)的一,阶导数存在，它的二阶或高阶导数可能不存在，因此 f(x)就不可能展开成泰勒级数。,36,因为解析，可以保证无限阶导数的连续性;,注意：,所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多。,说明:,37,(三)将函数展开成泰勒级数,常用方法:直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计算系数,例1，,故有,38,2.间接展开法:,借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式。,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛。,39,例2,40,附:常见函数的泰勒展开式,41,42,例3,解,上式两边逐项求导,43,例4*,分析,如图,44,即,将展开式两端沿 l 逐项积分,得,解,45,3.4 解析延拓,解析延拓：将解析函数定义域加以扩大,例;幂级数：在以z=0为圆心的单位圆B内代表一个解析函数，令为级数的收敛域B即解析函数定义域半径R=1。,在单位圆B内，取一点z0=i/2 为圆心进行将f1(z)泰勒展开这级数的收敛域b的半径为,（一）解析延拓,46,上例说明，收敛域b 跨出原来的收敛域B 之外，而级数(1)在收敛域B内.b 代表解析函数 f2(z)，于是称 f2(z)为 f1(z)在 b内的解析延拓。,定义：若f1(z)和f2(z)分别在B,b内解析，且在B与b重叠的区域中有f1(z)=f2(z)，则称f2(z)为f1(z)在b中的解析延拓，f1(z)为f2(z)在B中的解析延拓。,可以证明，无论采用何种方法，函数 f(z)的解析延拓是唯一的。这样，可以采用某些最方便的方法来进行解析延拓。,B,b,47,首先在B1 内任取一点 z0，将 f 1(z)在 z0 的邻域展开成泰勒级数 设级数的收敛区域为B2。如果B2超出了B1的范围。由于在B1和B2的重叠区域 f1(z)=f2(z)，所以 f2(z)就是 f1(z)在 B2中的解析延拓。这样不断作下去，得到一系列的解析Bn,fn(z)(n=2,3.)。一个解析元素Bn,fn(z)的全部解析延拓的集合，称为 f1(z)所产生的完全解析函数 F(z)，F(z)的定义域是邻解析元素给出的定义域的总和。,(二)泰勒级数展开解析延拓的方法,48,3.3(1)（3）(6）(8),本讲作业,49,3.5 洛朗级数展开,(一)问题的引入,50,例1.,都不解析,所以,51,由此推想，若f(z)在R 2z-z0R1 内解析,f(z)可以展开成含有负幂次项的级数,即,52,本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数数和计算留数的基础。,53,(二)洛朗级数,定理,C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线.,为洛朗系数.,54,证,对于第一个积分(CR1):,55,对于第二个积分:,所以,因为,56,则,57,则,对于C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单,58,说明:,在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.,1),2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的.,定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.,59,(三)函数的洛朗展开式,常用方法:1.直接法 2.间接法,1.直接展开法,利用定理公式计算系数,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.,2.间接展开法,60,例2,解,目标求ak,令f1=e,则f1=e在闭合回路C内和C上均解析，故由解析函数的导数公式,即有,如何计算ak?,61,间接法解：直接展开ez,62,例3,内是处处解析的,试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.,解,间接展开法,63,是泰勒级数,64,由,且仍有,65,此时,66,仍有,67,说明:,68,解：间接法 即通过展开sinz为级数求解：,例4,.,0,sin,0,洛朗级数,的去心邻域内展开成,在,将函数,=,z,z,z,69,3.6 孤立奇点的分类,定义：若函数f(z)在点z0处不解析（或没有定义），但在点z0的某个空心邻域 内解析，则称点z0为f(z)的孤立奇点。,(一)孤立奇点的概念,例1,70,解,的奇点存在,函数的奇点是1/z=0和sin(1/z)=0对应的点，即,总有,71,定义 设z0是解析函数f(z)的孤立奇点，f(z)在点z0的某去心邻域 内的罗朗展式为,(1)若展式中不含有z-z0的负幂项，则称z0为f(z)的可去奇点；,(2)若展式中只含有z-z0的有限(m)项负幂项，则称z0是f(z)的极点，称m为极点z0的阶，按照m=1或m1，称z0是f(z)的单极点或m阶的极点；,(3)若展式中含有z-z0的无穷多个负幂项，则称z0为f(z)的本性奇点。,(二)孤立奇点的分类,72,说明:(1),补充定义,1可去奇点,如果洛朗级数中不含 的负幂项,那末孤立奇点 称为 的可去奇点.,1)定义,73,2)可去奇点的判定,(1)定义判断:,(2)极限判断,若极限存在且为有限值,如果补充定义:,时,74,解 由定义判断,无负幂项,极限判断,75,2.极点,即,或写成,1)定义,负幂项,76,说明:,1.,2.,特点:,(1),是二级极点,是一级极点.,77,2)极点的判定方法,限项.,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析,且,(1)定义判别,(2)定义的等价形式判别,78,本性奇点,3.,例如，,含有无穷多个z的负幂项,79,(三)函数在无穷远点的性态,1.定义,80,作变换,并且规定此变换将:,映射为,扩充 z 平面,扩充 t 平面,映射为,映射为,映射为,81,2 结论:,3 规定:,m级奇点或本性奇点.,82,1)不含正幂项;,3)含有无穷多的正幂项;,1)可去奇点;,2)m 级极点;,3)本性奇点.,判别法1(利用洛朗级数的特点),4.判别方法:,83,不含正幂项,84,含有无穷多的正幂项,85,判别法2:(利用极限特点),如果极限,86,解,（2）分析分子的零点情况；,先分析有限区域，再分析无限区域,87,然而,因为,的三级极点.,故在 这些点中除1,-1,2外,都是,对于z=2，,88,89,洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是一个普通幂级数;,答:,是一般与特殊的关系.,洛朗级数的收敛区域是圆环域,洛朗级数与泰勒级数有何关系?,思考题1,思考,90,思考题2,答:,91,3.5(1)（3）(5）(7)(9)3.6(1)（2）(3）,本讲作业,92,