数学模型数学论文指导初等模型分配问题.ppt
初等数学模型,问题一：公平的席位分配问题公平的席位分配是人类社会中相当普遍的一类权益分配问题，这个问题来源于美国众议院议员在各州的名额分配问题。,席位分配问题,某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？,按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则,表示某单位的席位数,表示某单位的人数,表示总人数,表示总席位数,1 问题的提出,20个席位的分配结果,现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。,10,6,4,10,6,4,现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）,为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。,21个席位的分配结果,11,7,3,现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）,惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？,2 建模分析,目标：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。,一般地，,当,席位分配公平,但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。,此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。,C,D的不公平程度大为改善！,2）相对不公平,表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。,则A吃亏,或对A 是不公平的。,定义“相对不公平”,对A 的相对不公平值；,同理，可定义对B 的相对不公平值为：,对B 的相对不公平值；,建立了衡量分配不公平程度的数量指标,制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。,3 建模模型1,若A、B两方已占有席位数为,用相对不公平值,讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。,不失一般性，,有下面三种情形。,情形1,说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。,情形2,说明当对A 不公平时，给A 单位增加1席，对B 又不公平。,计算对B 的相对不公平值,情形3,说明当对A 不公平时，给B 单位增加1席，对A 不公平。,计算对A 的相对不公平值,则这一席位给A 单位，否则给B 单位。,结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位，反之，应分配给 B 单位。,记,则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。,这样的分配席位的方法称为Q值方法。,若A、B两方已占有席位数为,4 推广 有m 方分配席位的情况,设,方人数为,，已占有,个席位，,当总席位增加1 席时，计算,则1 席应分给Q值最大的一方。从,开始，即每方,至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把它排除在外。）,设有k个部门，每个部门的人数分别 为,总人数N，待分配的席位为m，理想化的席位分配结果为,记 显然，若全为整数时，应有 当不全为整数时，需要确定同时满足下列公理的公平分配方案：,模型2,公理1、，即 取，其中，表示 的整数部分。公理2、，即总席位增加时，各个部门的席位数不会减少。公理1显然满足Young公理的公理IV（公平分摊性），公理2显然满足Young公理的公理I（人口单调性）和公理III（名额单调性）,设总人数为n，总席位数为m，第,个部门的人数为,，令,称其为对第,个部门的绝对不公平值。令,称其为对第,个部门的相对不公平值，或称为相对尾数。,由于人口数是整数，为使分配公平，需所有的 越小越好，所以公平的分配方案应该是最大的 达到最小，亦即所有的达到最小。为方便起见，首先考虑只有两个部门的情况，并且，和 不全是整数（实际上，它们同为整数或小数）。,记,，即,为,的小数部分。,定理、满足公理1、2的分配方案为：(1)若，且，则取，（即“比例加惯例”的方法）。(2)若，则取得结果同上.(3)若，则取,按照定理，对三个部门，设全不为零（若有一个为零，实则按两个部门进行分配），可以做以下公平的分配,当 时；按比例取整后，多余的席位分配给小数部分较大的部门（比例加惯例的方法）。当 时；按比例取整后，若多余一个席位，则分配给第一个部门，若多余两个席位，则分配给第一个部门及第二、三部门中小数部分较大的部门。,当时；按比例取整后，若多余一个席位，则分配给第一、二部门中小数部分较大的部门，若多余两个席位，则分配给第一部门和第二部门。当时；按比例取整后，若多余一个席位，则分配给第一部门；若多余两个席位，则分配给第一部门和第二部门。,一般地，对 个部门，设 不全为零，且，则当 时，将剩余的 个席位分配给第一至第 个部门，当 时，将剩余的 个席位分配给第一至第-1个部门及(较大的一个部门。,X-表示相对尾数法分配结果，B-表示比例加惯例分配结果，Q-表示Q-值法分配结果，H-表示dHondt法（文1）分配结果,5 举例,甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？,按Q值方法：,练习,学校共1000学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人委员会，试用惯例分配方法，dHondt方法和Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。,dHondt方法,有k个单位，每单位的人数为 pi，总席位数为n。,做法：,用自然数1,2,3,分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。,
