数学建模自动控制时域分析.ppt

3.1 稳定性和代数稳定判据3.2 阶跃响应性能指标3.3 一阶系统的分析3.4 二阶系统的分析3.5 高阶系统的分析3.6 稳态误差分析3.7 基本控制规律,第三章 自动控制系统的时域分析,控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态。,(a)外加扰动,注意：以上定义只适用于线形定常系统。,3.1 稳定性和代数稳定判据一、稳定性的定义,(b)稳定,(c)不稳定,注意：控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。,大范围稳定:不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。,(a)大范围稳定,(b)小范围稳定,否则系统就是小范围稳定的。,注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。,(a)不稳定,临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。,注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。,原因：(1)分析时依赖的模型通常是简化或线性化；(2)实际系统参数的时变特性；(3)系统必须具备一定的稳定裕量。,假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号(t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：系统（渐近）稳定。,稳定的条件：,二、稳定的充要条件,理想脉冲函数作用下 R(s)=1。,对于稳定系统,t 时,输出量 c(t)=0。,由上式知：如果pi和i均为负值,当t时,c(t)0。,自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。,注意：稳定性与零点无关,系统特征方程,无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性。,劳思(routh)判据,劳思阵列,赫尔维茨(Hurwitz)判据,赫尔维茨行列式,例,课堂习题,劳思(routh)判据的特殊情况,三、代数判据,性质：第一列符号改变次数=系统特征方程含有正实部根的个数。,劳思阵列,特征方程：,劳斯阵列：,如果符号相同 系统具有正实部特征根的个数等于零系统稳定；如果符号不同 符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数系统不稳定。,控制系统稳定的充分必要条件：劳思阵列第一列元素不改变符号。,“第一列中各数”,注：通常a0 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。,劳思(routh)判据,特殊情况1：第一列出现0,特殊情况2：某一行元素均为0,劳思(routh)判据的特殊情况,特殊情况：第一列出现0。,各项系数均为正数,解决方法：用任意小正数代之。,特殊情况1：第一列出现0,特殊情况：某一行元素均为0,解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。,各项系数均为正数,求导得:,例如：,特殊情况2：某一行元素均为0,峰值时间tp,A,B,调节时间ts,3.2 阶跃响应性能指标,上升时间tr,调节时间 ts,tr,tp,A,B,ts,3.3 一阶系统分析,一阶系统的形式,闭环极点(特征根)：-1/T,一阶系统的单位阶跃响应,(t0),时间增长，无稳态误差,性质：1）T 暂态分量 瞬态响应时间 极点距离虚轴 2）T 暂态分量 瞬态响应时间 极点距离虚轴,(t0),t=T c(t)=63.2%实验法求T,t=3T c(t)=95%允许误差 5%调整时间ts=3Tt=4T c(t)=98.2%允许误差 2%调整时间ts=4T,3）斜率:,4）ln1-c(t)与时间t成线性关系,判别系统是否为惯性环节测量惯性环节的时间常数,(t0),一阶系统的单位斜坡响应,3）稳态误差=T。,性质：1）经过足够长的时间(4T)，输出增长速率近似与输入相同；2）输出相对于输入滞后时间T；,(t0),只包含瞬态分量,一阶系统的单位 脉冲响应,闭环极点（特征根）：-1/T,衰减系数：1/T,对于一阶系统,输入信号微分响应微分输入信号积分响应积分积分时间常数由零初始条件确定。,例,线性定常系统的一个性质,欠阻尼、临界阻尼、过阻尼、无阻尼、负阻尼,脉冲响应,斜坡响应,3.4 二阶系统分析一、瞬态响应,阶跃响应,系统的特征方程,闭环特征方程根（闭环极点）,欠阻尼：01 无阻尼：=0,欠阻尼：0 1,(t0),阻尼自然频率,(t0),无稳态误差；含有衰减的复指数振荡项:其振幅衰减的快慢由和n决定振荡幅值随减小而加大。,(t0),衰减系数：,无阻尼：=0,(t0),无阻尼的等幅振荡,稳定边界,：无阻尼自震荡频率,临界阻尼：=1,(t0),系统包含两类瞬态衰减分量,单调上升，无振荡、无超调、无稳态误差。,过阻尼：1,(t0),精确解：,系统包含两类瞬态衰减分量,单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。,负阻尼（0）,-10,极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。,-1,振荡发散,单调发散,几点结论,1）二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：,0 时，阶跃响应发散，系统不稳定；=0时，出现等幅振荡01时，有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快，1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；,2）一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。,3）工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.40.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。,过阻尼：1,(t0),欠阻尼：0 1,无阻尼：=0,临界阻尼：=1,评价系统快速性的性能指标,评价系统平稳性的性能指标,二阶欠阻尼系统的阶跃响应的瞬态指标,二、瞬态响应指标及其与系统参数的关系,评价系统快速性的性能指标,上升时间tr:(1)响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。(2)对无超调系统，响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。,峰值时间tp:响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。,调整时间ts:响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。,最大超调量Mp：响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：,振荡次数N：在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。,评价系统平稳性的性能指标,上升时间,峰值时间,调整时间,二阶欠阻尼系统的阶跃响应的瞬态指标,最大超调量,振荡次数,1、二阶系统的动态性能由n和决定。,2、增加 降低振荡，减小超调量Mp 和振荡次数N，系统快速性降低，tr、tp增加；,3、一定，n越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。,4、Mp、N仅与、n有关，而tr、tp、ts与、n有关，通常根据允许的最大超调量来确定。一般选择在0.40.8之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间。,上升时间tr,(t0),一定时，n越大，tr越小；n一定时，越大，tr越大。,峰值时间tp,峰值时间等于阻尼振荡周期的一半,一定时，n越大，tp越小；n一定时，越大，tp越大。,最大超调量Mp：,仅与阻尼比有关。,越大，Mp 越小，系统的平稳性越好=0.40.8 Mp=25.4%1.5%。,调整时间ts,包络线,实际的nts曲线,当由零增大时，nts先减小后增大，=5%，nts的最小值出现在0.78处；=2%，nts的最小值出现在0.69处；出现最小值后，nts随几乎线性增加。,当00.7时,当一定时，n越大，ts越小，系统响应越快。,振荡次数N,N 仅与有关:越大，N越小，系统平稳性越好。,试分析：1）该系统能否正常工作？2）若要求=0.707，系统应作如何改进？,=0 无阻尼,等幅不衰减振荡 工作不正常,三 改善二阶系统的瞬态响应,S平面上零点和极点到虚轴距离之比为,四 具有零点的二阶系统的瞬态响应,当a=时，即为无零点的二阶系统阶跃响应曲线。,当其它条件不变时，附加一个闭环零点：超调量上升时间、峰值时间,闭环零点影响瞬态分量的初始幅值和相位；不影响衰减系数和阻尼振荡频率。,响应曲线的类型取决于闭环极点具体形状由闭环极点和闭环零点共同决定。,附加的闭环零点从左侧极 点靠近。a 附加零点的影响=0.5时，若a4，则零点可忽咯不计。,三阶系统的瞬态响应,高阶系统的单位阶跃响应,闭环主导极点,3.5 高阶系统分析,二阶因子引起的阻尼振荡,一阶因子引起的非周期指数衰减,三阶系统的瞬态响应,其中：,1）当=，系统即为二阶系统响应曲线；,2）附加一个实数极点（0），原二阶系统的单位阶跃响应：超调量 上升时间 峰值时间,1,即1/T n 呈二阶系统特性；实数极点P3距离虚轴远；共轭复数极点p1、p2距离虚轴近特性主要取决于p1、p2。,1,即1/T n 呈一阶系统特性；实数极点P3距离虚轴近；共轭复数极点p1、p2距离虚轴远特性主要取决于p3。,假设系统极点互不相同,R(s)=1/s,a,aj为C(s)在极点s=0和s=-pj处的留数；,bk、ck是与C(s)在极点 处的留数有关的常数。,高阶系统的单位阶跃响应,3）极点的性质决定瞬态分量的类型；实数极点非周期瞬态分量；共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。,1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。,2）如果所有闭环极点都在 s 平面的左半平面，则随着时间t，c()=a。，系统是稳定的。,极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰减的快慢，距离越远衰减越快；,（衰减系数pj、kk）,系统零点分布对时域响应的影响,1）系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度），如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小。一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。,2）通常如果闭环零点和极点的距离比其模值小一个数量级，则该极点和零点构成一对偶极子，可以对消。,主导极点：（距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点）对高阶系统的瞬态响应起主导作用。,高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理。,闭环主导极点,3.6 稳态误差分析,偏差,误差,误差:输入信号作用下的系统响应,稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量,控制信号作用下,扰动作用下,一、误差的基本概念,系统在控制信号作用下的稳态误差,稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量,系统在扰动作用下的稳态误差,稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量,定义,系统结构对稳态误差的影响,系统在控制信号作用下,二、稳态误差系数,稳态误差系数,单位阶跃输入,单位斜坡输入,单位抛物线输入,稳态位置误差系数,稳态速度误差系数,稳态加速度误差系数,V=00型系统V=1I型系统V=2II型系统,稳态误差系数和稳态误差,系统结构对稳态误差的影响,0型系统的稳态误差,有差系统,V=0,I型系统的稳态误差,一阶有差系统,V=1,II型系统的稳态误差,二阶有差系统,V=2,稳态误差系数和稳态误差,系统在控制信号作用下,减小和消除稳态误差方法提高系统的开环增益增加开环传递函数中积分环节,系统的稳定性,注意:(1)尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。,(2)如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。,(3)系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误差等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。,比例积分环节提高稳态精度,闭环回路提高稳态精度,输入量补偿的复合控制,干扰量补偿的复合控制,四、提高稳态精度的措施,控制器G1(s)的放大系数,拢动误差,阻尼,振荡,求在单位阶跃扰动作用下的扰动误差essn,比例积分环节提高稳态精度,求在单位阶跃扰动作用下的扰动误差essn。,比较两个系统，在单位阶跃输入信号下的稳态误差。,闭环回路提高稳态精度,如果稳态增益G0（0）将随时间消逝而偏离1，稳态误差不再等于0须重新调整系统。,单位阶跃输入下,设在回路的传递函数中有如下的变化:K=10，K=1,单位阶跃输入下,设在回路的传递函数中有如下的变化：K=10，K=1，且有Kp=100/K,若,位置随动系统：雷达跟踪系统、船舵操纵系统。,输入量补偿的复合控制,若,系统在控制信号作用下,干扰量补偿的复合控制,物理上难实现（分子阶次高于分母的阶次），近似取,是控制工程中技术成熟、理论完善、应用最为广泛的一种控制策略。,P、PI、PD 或PID 控制,适用于数学模型已知及大多数数学模型难以确 定的控制系统或过程。,PID 控制参数整定方便，结构灵活,3.7 基本控制规律,