数学建模培训多目标规划.ppt

多 目 标 规 划,数学建模培训2012.07,多 目 标 规 化 模 型,多目标规划是数学规划的一个分支。研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化。通常记为MOP(multi-objective programming)。在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。,例如,对企业产品的生产管理,既希望达到高利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污染等。这就是一个多目标决策的问题。又如选购一个好的计算机系统,似乎只有一个目标,但由于要从多方面去反映,要用多个不同的准则来衡量,比如,性能要好,维护要容易,费用要省。这些准则自然构成了多个目标,故也是一个多目标决策问题。一般来说,多目标决策问题有两类。一类是多目标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解使多个目标都达到满意结果的最优方案。另一类是多目标优选问题,其对象是在管理决策过程中根据多个目标或多个准则衡量和得出各种备选方案的优先等级与排序。,多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之间又彼此有矛盾,这就使多目标问题成为一个复杂而困难的问题.但由于客观实际的需要,多目标决策问题越来越受到重视,因而出现了许多解决此决策问题的方法.一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为求解单目标问题.其主要步骤是,先转化为单目标问题,然后利用单目标模型的方法,求出单目标模型的最优解,以此作为多目标问题的解.化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类,一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多个单目标问题,关键是如何转化.以下,我们会介绍几种主要的转化方法:主要目标法、线性加权和法、字典序法、步骤法。,一、多 目标 规 划 及 其 解,多目标规划包含有三大要素：目标、方案和决策者。在多目标规划中，目标有多层次的含义。从最高层次来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要好，花费要少。多目标规划中的方案即为决策变量，也称为多目标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决策中，有些问题的方案是有限的，有些问题的方案是无限的。方案有其特征或特性，称之为属性。,（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成:（1）两个以上的目标函数；（2）若干个约束条件。,（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：,（三）多目标规划解的特点 对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：（1）每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？（2）每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其它目标。,当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。,非劣解：可以用图3说明。,图3 多目标规划的劣解与非劣解,二、多 目 标 规 划 问 题 的 建 模 方 法,为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。,（三）约束模型 理论依据：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：,用目标达到法求解多目标规划的计算过程，可以通过调用Matlab软件系统优化工具箱中的fgoalattain函数实现。,三、多目标规划问题的求解(化多为少的方法),1、主要目标法 在有些多目标决策问题中，各种目标的重要性程度往往不一样。其中一个重要性程度最高和最为关键的目标，称之为主要目标法。其余的目标则称为非主要目标。,例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主要目标，其余p-1个为非主要目标。这时，希望主要目标达到极大值，并要求其余的目标满足一定的条件，即,例题 某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品都要消耗A，B，C三种不同的资源。每件产品对资源的单位消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和所造成的单位污染如下表。假定产品能全部销售出去，问每期怎样安排生产，才能使利润和产值都最大，且造成的污染最小？,解：问题的多目标模型如下,对于此模型的三个目标，工厂确定利润最大为主要目标。另两个目标则通过预测预先给定的希望达到的目标值转化为约束条件。经研究，工厂认为总产值至少应达到20000个单位，而污染控制在90个单位以下，即,由主要目标法化为单目标问题,用单纯形法求得其最优解为,2、线性加权和目标规划,在上述目标规划中，假定f1(X),f2(X),fp(X)具有相同的量纲,按照一定的规则分别给fi赋予相同的权系数i，作线性加权和评价函数,则多目标问题化为如下的单目标问题,例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维修期限f1，每100升汽油所跑的里数f2，最大载重吨数f3，价格（万元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别关于目标属性的指标值fij如下表所示。,首先对不同度量单位和不同数量级的指标值进行标准化处理。先将定性指标定量化：,变换后的指标值矩阵为：,设权系数向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),则,故最优方案为选购A3型卡车,4、步骤法（STEM法）这是一种交互方法，其求解过程通过分析者与决策者之间的对话逐步进行，故称步骤法。步骤法的基本思想是，首先需要求出原多目标问题的一组理想解(f1*,f2*,fk*)。实际上，这些解fi*(i=1,2,k)无法同时达到，但可以当作一组理想的最优值。以理想解作为一个标准，可以估计有效解，然后通过对话，不断修改目标值，并把降低要求的目标作为新的约束条件加入原来的约束条件中去重新计算，直到决策者得到满意的解。,把上述计算结果列入下表,例题：某公司考虑生产两种光电太阳能电池：产品甲和产品乙。这种生产过程会在空气中引起放射性污染。因此，公司经理有两个目标：极大化利润与极小化总的放射性污染。已知在一个生产周期内，每单位甲产品的收益是1元，每单位乙产品的收益是3元。而放射性污染的数量，每单位甲产品是1.5个单位,每单位乙产品是1个单位.由于机器能力(小时)、装配能力（人时）和可用的原材料（单位）的限制，约束条件是,目标有两个:一是利润最大,二是污染最小.该问题的多目标规划模型如下:,解:首先,分别求解两个单目标问题的最优解,由它们得到的目标函数值组成理想解.,由此,构造支付表,由此计算两个目标与理想值偏离的权重：,解下列线性规划问题:,进行下一轮迭代.首先设2=0,并计算得1=1.将模型修改为,由此求得:,决策者把这一结果与前一轮的解及理想值作比较,认为两个目标值都比较满意,则迭代结束.,线 性 目 标 规 划 模 型,线性规划问题都是处理单个目标的情况，但是在现实世界中有许多问题具有多个目标，这些目标的重要性各不相同，往往有不同的量纲，有的目标相互依赖，例如决策者既希望实现利润最大，又希望实现产值最大；有的相互抵触，如决策者既希望充分利用资源，又不希望超越资源限量。而决策者希望在某些限制条件下，依次实现这些目标。这就是目标规划所要解决的问题。当所有的目标函数和约束条件都是线性时，我们称其为线性目标规划问题。在这里我们主要讨论线性目标规划问题。,一、线性目标规划模型的建立,例1：某一个企业利用某种原材料和现有设备可生产甲、乙两种产品，其中，甲、乙两种产品的单价分别为8元和10元；生产单位甲、乙两种产品需要消耗的原材料分别为2个单位和1个单位，需要占用的设备分别为1台时和2台时；原材料拥有量为11个单位；可利用的设备总台时为10台时。试问：如何确定其生产方案？,但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等一系列其它条件，如：根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量。,超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就会使生产成本增加。应尽可能地充分利用设备的有效台时，但不希望加班。应尽可能达到并超过计划产值指标56元。,这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决策问题，这一问题可以运用目标规划方法进行求解。,目标规划模型的有关概念,2、绝对约束和目标约束 绝对约束：必须严格满足的等式约束和不等式约束，譬如，线性规划问题的所有约束条件都是绝对约束，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。目标约束：目标规划所特有的，可以将约束方程右端项看作是追求的目标值，在达到此目标值时允许发生正的或负的偏差，可加入正负偏差变量，是软约束。线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可以转化为目标约束，也可以根据问题的需要将绝对约束转化为目标约束。,目标规划模型的有关概念,目标规划模型的有关概念,目标规划模型的有关概念,b)要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能小，即,（23）,c)要求超过目标值，也就是超过量不限，但负偏差变量要尽可能小，即,（24）,在实际问题中，可以根据决策者的要求，引入正、负偏差变量和目标约束，并给不同目标赋予相应的优先因子和权系数，构造目标函数，建立模型。,例2：在例1中，如果决策者在原材料供应受严格控制的基础上考虑：首先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量；其次是充分利用设备的有限台时，不加班；再次是产值不小于56元。并分别赋予这三个目标优先因子。试建立该问题的目标规划模型。,在以上各式中，、分别为赋予 优先因子的第 个目标的正、负偏差变量的权系数，为第 个目标的预期值，为决策变量，、分别为第 个目标的正、负偏差变量，（25）式为目标函数，（26）式为目标约束，（27）式为绝对约束，（28）式和（29）式为非负约束，、分别为目标约束和绝对约束中决策变量的系数及约束值。其中，；。,图解法求解例2,例如，某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台电视机需占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时。预计市场每周彩色电视机的销量是24台，每台可获利80元；黑白电视的销量是30台，每台可获利40元。该厂确定的目标为：第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时；第二优先级：允许装配线加班，但加班时间每周尽量不超过10小时；第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场需求。因彩色电视机的利润高，取其权系数为2.试建立此问题的目标规划模型，并求解黑白和彩色电视机的产量。,检查该行中是否存在负数，且对应的前L-1行的系数是零。若有，取其中最小者对应的变量为换入变量，转。若无负数，则转。按最小比值规则（规则）确定换出变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量。按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回。当l=L时，计算结束，表中的解即为满意解。否则置l=l+1，返回。,例3：试用单纯形法求解例2所描述的目标规划问题解：首先将这一问题化为如下标准形式：,取、为初始基变量，列出初始单纯形表。表1,表2,表3,由表3可知，为满意解。检查检验数行，发现非基变量的检验数为0，这表明该问题存在多重解。,案例（提级加新问题）某公司的员工工资有四级，根据公司的业务发展情况，准备招收部分新员工，并将部分员工的工资提升一级。该公司的员工工资及提级前后的编制表如下，其中提级后编制是计划编制，允许有变化，其中1级员工中有8%要退休。公司领导的目标如下：1）提级后在职员工的工资总额不超过550千元；2）各级员工不要超过定编人数；3)为调动积极性，各级员工的升级面不少于现有人数的18%；4）总提级面不大于20%，但尽可能多提；5）4级不足编制人数可录用新工人。,问：应如何拟定一具满意的方案，才能接近上述目标？,解：（1）决策变量：设x1,x2,x3,x4分别表示提升到1，2，3级和新录用的员工数。偏差变量：di+,di-为各目标的正、负偏差变量。（2）约束条件：1）提级后在职员工的工资总额不超过550千元；8(10-108%+x1)+6(20-x1+x2)+4(40-x2+x3)+3(30-x3+x4)+d1-d1+=550,2）各级员工不要超过定编人数 1级有：10-10 8%+x1+d2-d2+=10 2级有：20-x1+x2+d3-d3+=22 3级有：40-x2+x3+d4-d4+=52 4级有：30-x3+x4+d5-d5+=303）各级员工的升级面不少于现有人数的18%对2级有：x1+d6-d6+=22 18%对3级有：x2+d7-d7+=40 18%对4级有：x3+d8-d8+=30 18%4）总提级面人数不大于20%，但尽可能多提 x1+x2+x3+d9-d9+=100 20%,五、层 次 分 析 法,（一）层次分析法的基本原理 层次分析法，又称AHP(Analytic Hirrarchy Process)方法，是美国运筹学家萨蒂(T.Saaty)提出的一种多目标、多准则的决策分析方法。该方法被广泛应用于工程、经济、军事、政治、外交等领域，解决了诸如系统评价、资源分配、价格预测、项目选择等许多重要问题，是一种定量分析与定性分析相结合的有效方法。,用层次分析法作决策分析，首先要把问题层次化。根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互影响以及隶属关系按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。最终把系统分析归结为最低层（如决策方案）相对于最高层（总目标）的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题，从而为决策方案的选择提供依据。,（二)层次分析法大体分为六个步骤1）明确问题：为了运用AHP进行系统分析，首先要对问题有明确的认识，弄清问题范围、所包含的因素及其相互关系、解决问题的目的、是否具有AHP所描述的特征。2）建立层次结构模型：将问题中所包含的因素划分为不同层次。例如，对于决策问题，通常可以划分为下面几个层次：最高层：表示解决问题的目的，称为目标层。中间层：表示采取某种措施或政策实现预定目标的涉及的中间环节，一般又分为策略层、准则层等。最低层：表示解决问题的措施或方案，称为措施层或方案层。如下图所示。,它们之间的数2，4，6，8及各数的倒数有相应的类似意义。显然，对判断矩阵有,因此，对于n阶判断矩阵，我们仅需对n(n-1)/2个元素给出数值。,5）层次总排序 计算同一层次所有元素对于最高层相对重要性的排序权值，称为层次总排序。这一过程是最高层次到最低层次逐层进行的。若上一层次A包含m个元素A1,A2,Am，其层次总排序权值分别为a1,a2,am，下一层次B包含n个元素B1,B2,Bn，它们对于元素Aj的层次单排序权值分别为b1j,b2j,bnj（当Bk与Aj无关系时,bkj=0），此时，层次总排序权值为,6）层次总排序的一致性检验。这一步也是从高到低逐层进行的。如果B层次某些元素对于Aj单排序的一致性指标为CIj，相应的平均随机一致性指标为RIj，则B层次总排序随机一致性比率为,类似地，当CR0.10时，认为层次总排序结果具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。,(三)层次分析法的计算问题 层次分析法计算的根本问题是如何计算判断矩阵的最大特征根其对应的特征向量.一般来说,计算判断矩阵最大特征根及其对应特征向量,并不需要追求较高的精确定度.这是因为判断矩阵本身相当的误差范围.应用层次分析法给出的层次中各种元素优先排序权值从本质上来说是表达某种定性的概念.因此,从实用性来看,往往希望使用较为简单的近似算法.下面介绍二种称之为方根法和和积法的近似算法.,(2)计算Mi的n次方根Vi,(3)对向量V=(V1,V2,Vn)T规一化,即,则W=(W1,W2,Wn)T.即为所求的特征向量,1、方根法的步骤如下:(1)计算判断矩阵B每一行元素的乘积Mi.,(4)计算判断矩阵的最大特征根,式中(BW)i表示向量BW的第i个分量.,2、和积法：步骤：、求（每列归一化）（i，j=1，2n）、行求和（i，j=1，2n）再归一化：（i=1，2，n）、,例：1 3 1 3/7 3/7 3/7 M1=9/7 A=1/3 1 1/3 B=1/7 1/7 1/7 M2=3/7 1 3 1 3/7 3/7 3/7 M3=9/7 Mj=3 w2=1/7 Aw=(9/7，3/7，9/7)T w3=3/7 max=3显然，当A是一致阵时，max=n，对归一化的waij=wi/wj,w1=3/7,二、残缺判断与群组决策：1、残缺判断及处理方法：应用AHP进行决策时，每个准则应有一个判断矩阵，需进行 n(n-1)/2 次两两比较(判断矩阵的上或下三角)。当层次很多，因素复杂时，判断量很大，可能出现某个参与决策的专家对某些判断缺少把握，或不想发表意见，使判断矩阵残缺。,可接受的残缺判断矩阵 若任一残缺元素都可通过已给出的元素间接获得的残缺判断矩阵。根据一致性的条件：间接获得的元素指，若aij缺少可由aij=aikakj或更一般地aij=aik ak k ak k ak j得到。,