数学建模 席位分配问题.ppt

2.3 公平的席位分配,某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？,按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则,表示某单位的席位数,表示某单位的人数,表示总人数,表示总席位数,1 问题的提出（美国宪法 1788）,20个席位的分配结果,现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。,10,6,4,10,6,4,现象1 丙系少了6人，但席位仍为4个。(不公平！）,Halmiton(1790)先按整数分配再按余数较大者分配,由于在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。,21个席位的分配结果（Halmiton方法）,11,7,3,现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）,惯例分配方法（Halmiton方法）：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象（Alabama悖论），能否给出更公平的分配席位的方案？,2 建模分析,目标：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。,一般地，,当,席位分配公平,但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。,此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。,C,D的不公平程度大为改善！,2）相对不公平,表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。,则A吃亏,或对A是不公平的。,定义“相对不公平度”,对A的相对不公平值；,对B的相对不公平值；,建立了衡量分配不公平程度的数量指标,制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。,3 模型构成,若A、B两方已占有席位数为,用相对不公平值讨论当席位增加1个时，应该给A还是B方。,不失一般性，,有下面三种情形。,情形1,说明即使给A单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。,情形2,说明当对A不公平时，给A单位增加1席，对B又不公平。,计算对B的相对不公平值,情形3,说明当对A不公平时，给B单位增加1席，对A不公平。,计算对A的相对不公平值,则这一席位给A单位，否则给B单位。,结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A单位，反之，应分配给B单位。,记,则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方。,这样的分配席位的方法称为Q值法。,若A、B两方已占有席位数为,4 推广 有m方分配席位的情况,设,方人数为,，已占有,个席位，,当总席位增加1席时，计算,则1席应分给Q值最大的一方。,开始，即每方至少应得到1席，,（如果有一方1席也分不到，则把它排除在外。）,从,5 举例,甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？,按Q值法：,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,甲：11，乙：6，丙：4,模型分析,存在公平的分配方法么？1）比例加惯例法（H法）悖论 2）Q值法存在不合理 3）其它方法：Dhondt方法 理想化原则不存在完全“合理”的分配方法,练习,dHondt方法,有k个单位，每单位的人数为 pi，总席位数为n。,做法：,用自然数1,2,3,分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。,构造分析方法建模,进行量化处理，需要构造度量构造度量遵循原则：1）严谨，公平，有公信力；2）尽量简单，便于操作；3）能准确反映各方差异。扎实的数学功底及开创性思维,