数学分析第二章.ppt

第二章 数列极限,2.1 数列极限的概念,2.2 收敛数列的性质,2.3 数列极限存在的条件,2.1 数列极限的概念,一、概念的引入,二、数列的定义,三、数列的极限,四、应用数列极限的定义证明数列极限的方法,一、概念的引入,引例,1 如何用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.,A1,A2,A3,A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,.,显然n越大,An越接近于S.,因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,二、数列的定义,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,几何解释:,其中,注,定义1习惯上称为极限的N定义，它用两个动态指标和N刻画了极限的实质，用|xna|定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给0标志着“要多小”的要求，用n N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数，20，正数N，30，不等式|xna|（n N）,定义中的具有二重性：一是的任意性，二是的相对固定性。的二重性体现了xn 逼近a 时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过的相对固定性来实现）。,定义中的N是一个特定的项数，与给定的有关。重要的是它的存在性，它是在相对固定后才能确定的，且由|xna|来选定，一般说来，越小，N越大，但须注意，对于一个固定的，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的，求出一个相应的N，使当n N时，不等式|xna|成立。,在证明极限时，n，N之间的逻辑关系如下图所示,|xna|,n N,定义中的不等式|xna|（n N）是指下面一串不等式,都成立，,而对,则不要求它们一定成立,数列极限的几何意义,使得 N 项以后的所有项,都落在a点的邻域,因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点,这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。,nN,目的：,数列极限的演示,N,数列极限的演示,e 越来越小，N越来越大！,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式|xna|不易考虑，往往采用把|xna|放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N,放大的原则：放大后的式子较简单 放大后的式子以0为极限,例 2 证明,证明,则当n N时，有,例3.证明 分析，要使（为简化，限定 n只要 证.当 n N 时有由定义,.例4.证明（K为正实数）证：由于 所以对任意0，取N=,当 nN时,便有,例5,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,例6,证,例7,证,四:收敛的否定:,数列,发散,注：,改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性,3 数列极限的等价定义:,对,对任正整数,六 无穷小数列:,定义 极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0）,命题1.,的极限为a,是无穷小量.,变量有极限,的充要条件为它可分解为,加一个无穷小量。,命题2,无穷小量加绝对值仍为无穷小量。,命题3,无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量,命题4,定义 数列,记作：,无穷大量和特别大量是否相同，不同的话，区别在哪里？2.在同一极限意义下无穷大量和无穷小量有 什么关系？,思考题：,若对任意M0，总存在正整数N，,使nN时，,则称数列发散到无穷大,数列,称为无穷数列（无穷大量）,1、唯一性2、有界性3、保号性4、保不等式性5、四则运算6、迫敛性（夹逼原理）7、子数列的收敛性,2.2 收敛数列的性质,1、唯一性,定理2.2 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,2、有界性,例如,有界,无界,定理2.3 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,例1,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,从而,3 保序性,推论1(收敛数列的保号性)如果数列xn收敛于a,且a0(或a0)那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0),推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0)且数列xn收敛于a 那么a0(或a0),思考：如将条件中的xn yn换成xn yn,那么以下结论是否成立？,证,4迫敛性,(夹逼原理),上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,例1,解,由夹逼定理得,5 绝对值收敛性:,(注意反之不成立,请举例).,6 数列极限的四则运算法则,证明略。,例5 求,例4 求,解：分 a=1，|a|1 三种情况,解：（分子有理化）,例3 求,7、子数列的收敛性,注意：,例如，,证,证毕,定理2.8(数列收敛充要条件),收敛,的任何子列收敛,于同一极限.,例4,对于数列xn,证,此时有,此时有,总之：,恒有,推论,2.3 数列极限存在的条件,一 数列收敛的一个充分条件 单调有界原理 二 数列收敛的充要条件 Cauchy收敛准则,一 单调有界原理,定义 称为单调上升的，若,称为单调下降的，若,单调增加和单调减少数列统称为单调数列,定理1(单调有界定理)单调有界数列必有极限,定理1的几何解释,以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生,证明,例1 设,证明数列 收敛.,证明：,即有界，而且显然是单调增加的数列，所以极限存在。,例2,证,(舍去),注意到对,有,有,例3,求,解 由均值不等式,有,有下界;,及a,二 数列收敛的充要条件 Cauchy收敛准则,1 Cauchy列：,如果数列,具有以下特性：,则称数列,是一个基本数列.（Cauchy列）,定理的几何解释,柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.,例5 证明任一无限十进小数,的不足近似值所组成的数列,收敛.其中,是,中的数.,证 令,有,证,极限存在,设,用二项式展开，得,例8.证明数列,注意到,且,即,.,有界.,综上,数列,极限存在.,将其极限记为：,例9,例10,例11,