数学分析第十七章多元函数微分学.ppt

第17章 多元函数微分学,1 可微性,一、可微性与全微分,二、偏导数,三、可微性条件,课堂练习:P116,1(8),4,9(2).,作业:P116,1(3)(6)(9),5,8(1),9(1).,课堂练习:1.考察二元函数,在原点的偏导数和连续性。,四、可微性的几何意义及应用,取,则,课堂练习:P116,12,小结,1、理解可微和全微分的概念，会证明可微性；2、掌握偏导数定义和计算，会求全微分；3、了解可微的必要条件和充分条件，及其有关例子；4、知道几何意义，会在几何和近似计算上的应用。,作业:P116,7,11,13(1).,2 复合函数微分法,一、复合函数的求导法则,公式（4）也称为链式法则.,注意:多元复合函数求导,关键是理顺复合步骤,分清中间变量与自变量.当自变量只有一个时,因变量对自变量的导数为全导数.当自变量多于一个时,因变量对自变量的导数为偏导数.复习一元微分法(P100)!Quiz:y=e-xarcsin2x,求y,二、复合函数的全微分,这就是多元函数的一阶(全)微分形式不变性.,利用微分形式不变性，能更有条理地计算复杂函数的全微分，并进而求出偏导数.例如，,课堂练习:P123,1(1)(5),2.,小结,1、熟练掌握复合函数的求导法；2、了解一阶全微分形式不变性。,作业:P123,1(3)(6),3,5.,3 方向导数与梯度,梯度的意义：。,作业:P127,2,4.,以前的部分作业问题:P104,1(1)(3)(5),3.,4 泰勒公式与极值问题,一、高阶偏导数,二、中值定理和泰勒公式,注意定理17.8和推广情形的区别，如D为闭圆(闭凸)和闭矩形()。,公式（8）也称为二元函数在凸域上的中值公式；注意它与P.112定理17.3的中值公式（12）的差别:,一般地,将导数公式代入即得二元函数的n阶泰勒公式.,解:,因此,其中,作业:P141,1(2)(7),2,6,7(3).,三、极值问题,例如:,在点(0,0)有极小值;,在点(0,0)无极值.,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值,取得极值,取得极值,故,解:显然(0,0)都是它们的稳定点,并且在(0,0)都有,因此,为极小值.,解,解,解,小结:1、掌握高阶偏导数的求法；2、了解中值公式和泰勒公式；3、掌握利用极值的必要条件和充分条件求极值。,作业:P141,8(3),9(1),11.,“Ch17 多元函数微分学”的习题课,一、基本内容,1、理解可微和全微分的概念，了解可微的必要条件和充分条件，了解全微分的几何意义。,2、会求曲面的切平面和法线，会用全微分作近似计算。,3、熟练掌握复合函数的求导法，会用一阶全微分形式不变性。,4、会计算方向导数，梯度及其模。,5、掌握高阶偏导数的计算。,6、掌握中值定理，会用泰勒公式，掌握极值的必要条件和充分条件，及其应用。,二、作业问题,三、练习题,解,由,