数学分析第十五章课件多元函数的极限与连续性.ppt

第十五章 多元函数的极限与连续,一元函数,多元函数,极限、连续,相应的概念,级数 微商、微分,积分,多元以一元为前提,（1）在一元的基础上抓多元,（2）注意它们的异同,（3）一元到二元有许多本质的变化,二元到二元以上，本质变化几乎没有 以二元或三元为重,1平面点集,一元函数,实数集（数轴）,二元函数,平面点集,一 平面直角坐标系中：,1 点一一对应有序数对今后不加区别2 两点的距离；3 邻域数轴上点的邻域二元的复杂性,空心邻域（去心邻域）：,二 设 E 为平面上的点集，利用邻域来给出平面上任一点与点集 E 的关系：,（1）内点；,（2）外点；,（3）边界点；,（4）聚点,例1 给定集合 E=(x,y)|x2+y2 1,则 E 的内点构成的集合为(x,y)|x2+y2 1,E 的外点构成的集合为(x,y)|x2+y2 1,E 的边界点构成的集合为(x,y)|x2+y2=1,E 的聚点全体就是 E,例2 设 E=(x,y)|0 x 1,0 y 1,x,y 都是有理数,E 的所有边界点都是 E 的聚点；,则 E 的内点集为空集，即 E 没有内点；,E 的边界点集为(x,y)|0 x 1,0 y 1,x,y 都是有理数,所有非边界点是 E 的外点。,几种重要的平面点集：,开集闭集(3)连通集(4)区域(5)闭区域,直线上开区间，闭区间的对应物,三 平面点列的极限：,画数轴 实数极限的推广：由邻域来描述，然后看成二维,定义：设,是平面上的点列，其中,。又,是平面上的一点，若对任给的正数,存在正整数,，当,时，有,则称点列,收敛到点,或称点列,当,趋于无穷时的极限为,记为,或,，,，,，,等价叙述：（i）-(iii),（i）,(ii),(iii),；,；,，且,实数定理（完备性，紧致性）推广到二维 一元上P301,Th15.1（Cauchy原理）,Th15.4（Borel 定理）,1.用一元的结果 2.用一元的方法,2多元函数的极限与连续,1.多元函数的概念,二元函数的定义,定义内容自己填,自变量 因变量 两个（以上）定义域 强调为一个平面上点集,或,定义域的求法与一元类似,值域,二元函数的几何表示：,一般情况下：一个二元函数,表示一块空间曲面。,二次曲面,常见平面,二元函数的极限:,先复习一元函数,的意义,用邻域的语言：,定义15.5三种叙述形式：,再看成二维进行推广：,例4.二元函数极限,接任何方向，任何路径趋于,沿两条不同路径趋于,时，,（或沿某条不存在）则可断定,不存在。,的几何意义 P168-169,强调当,时都有,从而若当,的极限不同,，证明,不存在。,沿直线,趋于,点时，极限为,例5.设,证明：当,这个极限与,有关，即,不同，则极限不同，也就是说,沿不同的直线趋于,时函数的极限不同，故,不存在。,当,例6.设,证明,不存在,证明：当,沿直线,趋于,时，有,当,沿,轴趋于,时，函数的极限均为,。但是当,沿抛物线,趋于,时，有,故,不存在。,但特别强调：绝不能根据沿某些特殊的路径趋于某点时函数的极限存在。就断定函数在该点的极限存在。（例如上面例6）,小结,一元连续函数多元函数连续与极限及其几何意义,证,证明：,取,则当,时，恒有,故,1.,习题,2、,证:,证明函数,连续,3、符号函数,1,-1,x,y,o,是第一类不连续点。,4、,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则,可知,也在,上,连续.,5、,反三角函数在其定义域内皆连续.,附加题,解:,原式,说明:若,则有,1、求,2、求,解:,原式,3、求,解:令,则,原式,说明:当,时,有,4、设,解:,讨论复合函数,的连续性.,故此时连续;,而,故,x=1为第一类间断点.,在点 x=1 不连续,证:,5、证明:若,令,则给定,当,时,有,又,根据有界性定理,使,取,则,在,内连续,存在,则,必在,内有界.,作业,P164:1;2P165:6P177:2:(1)(2)(3)(6)(7)(8)(14)P178:7:(1)(3)(5),