数学分析第六章中值定理.ppt
2023/10/14,1,第六章 导 数 应 用,一、费马引理(Fermat)二、罗尔(Rolle)中值定理三、拉格朗日(Lagrange)中值定理四、柯西(Cauchy)中值定理,1 微分中值定理,2023/10/14,2,一、费马引理(Fermat),定义1（极值概念）,2023/10/14,3,Fermat定理,定理1,（极值的必要条件）,（可导函数取得极值的必要条件）,【几何意义】,2023/10/14,4,水平切线,【定义】,通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）,【几何意义】,1.若曲线在点 处取得极值,2.曲线在点 处具有切线，,则该切线必是水平的.,2023/10/14,5,由极限的不等式性及可导条件立得,所以,证完,【证】,则,定理证明,2023/10/14,6,研究下面两例：,【注】,说明什么问题？,是可导函数取得极值的必要条件,2023/10/14,7,二、罗尔（Rolle）定理,如果 f(x)满足:,则 至少存在(a,b)，使得 f()=0,2023/10/14,8,【几何解释】,连续、可导、端点值相等函数必有一最值点在区间内部取得。,该最值点必为极值点。,2023/10/14,9,例如,Rolle定理 零点定理,如果 f(x)满足:,则 至少存在(a,b)，使得 f()=0,2023/10/14,10,【证】,即,有,由Fermat定理立得,证完,2023/10/14,11,【注意】(1)罗尔定理的条件是充分的，不必要.,反例1,(2)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能成立，也可能不成立.,故若不满足第（2）条：,有不可导点,无水平切线,2023/10/14,12,反例2,不满足第（1）条：,不满足第（3）条：,有不连续点,两端点值不相等,反例3,无水平切线,无水平切线,2023/10/14,13,【例1】,【证】,由零点定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,【分析】,（1）有 存在性,（2）仅一个唯一性,2023/10/14,14,【例2】,设函数f(x)=(x1)(x2)(x3),试判断方程fx,【解】因为 f(1)=f(2)=f(3),且f(x)在1,2上连续,在(1,2)内可导,由罗尔定理,1(1,2),使 f(1;,同理,2(,),使 f(2;,又因f(x 是二次方程,至多两个实根,故f(x 有两个实根,分别位于(1,2)和(2,3)内.,(1)修改:f(x)=(x1)(x2)(x3)(x4),结论如何?,(2)修改:不解方程,问(x2)(x3)+(x1)(x3)+(x1)(x2)=0,有几个实根,分别在何区间?,有几个实根,分别在何区间?,(2)【提示】是补例的导函数；用零点定理,2023/10/14,15,此条件太苛刻,三、拉格朗日(Lagrange)中值定理,【注意】,【拉氏定理】,至少存在一个(a,b)，使得 f(b)f(a)=f()(ba),2023/10/14,16,切线斜率,弦AB斜率,2023/10/14,17,【几何解释】,【证明分析】,弦AB方程为,2023/10/14,18,作辅助函数,拉格朗日中值公式,【证】,（要验证）,2023/10/14,19,拉格朗日公式,【注意】拉氏公式精确地表达了函数增量与函数导数之间的关系.,增量y的近似表达式,微分中值定理,微分近似公式,2023/10/14,20,L定理又称为有限增量公式 或 微分中值定理.,拉格朗日中值定理几种等价形式,尽管不知 的精确位置，但已经很有用了，见例：,2023/10/14,21,【推论】,【证】,由假定,证毕,在 上应用拉氏定理得,由 的任意性立知,2023/10/14,22,【例3】,【证明】,推论的应用证明函数为常数函数,同理可证,2023/10/14,23,例4,证明：,2023/10/14,24,拉氏定理应用证明不等式,【例5】,【分析】,据拉氏定理,由 的范围，确定 的范围,从而得到 的范围，变形可得所求不等式.,【关键】,将结论写成 的形式，以找出,2023/10/14,25,【证】,由上式得,变形为：,（要验证）,2023/10/14,26,【例6】,【证明】,2023/10/14,27,四、柯西(Cauchy)中值定理,【Cauchy 中值定理】,2023/10/14,28,Cauchy 中值定理,如果 f(x)及F(x)满足,（1）在闭区间a,b上连续；,（2）在开区间（a,b）内可导；,存在(a,b)，使得,（3）对任一x(a,b),F(x)0,证明：分子、分母用Lagrange中值定理得：,？,2023/10/14,29,【几何解释】,【证】,作辅助函数,切线斜率,弦AB斜率,曲线,即,（要验证）,2023/10/14,30,证完,【注意】,(1),即为拉氏中值定理,2023/10/14,31,2023/10/14,32,三个中值定理的相互关系,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,注意定理成立的条件；,2.证明等式与不等式；,【中值定理应用】,1.证明方程根的存在性、唯一性；,3.证明函数为常数函数。,2023/10/14,33,【例7】,【证】,【分析】,结论可变形为,2023/10/14,34,【证】,利用罗尔定理,2023/10/14,35,【例8】,【证】,2023/10/14,36,【例9】,【证】,2023/10/14,37,【例10】,【证】,
