数字控制器z域直接设计方法.ppt

第6章 数字控制器z域直接设计方法,6.1 基于z传递函数解析设计的基本原理6.2 最少拍控制系统设计6.3 扰动作用下最少拍控制系统设计6.4 大林算法设计6.5 复合控制系统设计6.6 z 平面根轨迹设计6.7 数字控制器的频域设计,6.1 基于z传递函数解析设计的基本原理,基于z 传函描述的计算机控制系统简化结构图,设计目标,寻求一控制器 D(z)，使其闭环系统具有期望闭环传函(z)所描述的特性。,1、数字控制器D(z)的一般形式,将广义对象离散化，求得 G(z)；由期望闭环传函(z)导出控制器D(z)；系统开环传函,相应的闭环传函,可导出D(z),2、解析设计对(z)的约束,D(z)在物理上的可实现性设 M(z)、N(z)为 z 的多项式，将D(z)表示为,如果 D(z)的分子N(z)具有比分母 M(z)低或相同的阶次，则 D(z)在实时控制时是可实现的。此时控制算式用到的是过去 或现在 的测量值与计算值。反之，如果N(z)的阶次比 M(z)高，则控制算式中将出现未来的测量值与计算值，使实时控制无法实现。,对于具有 l 个采样周期纯滞后的被控对象，其闭环传函(z)也必须具有同样的滞后。【证明】设被控对象为,期望闭环传函为,则有,为使D(z)可实现，必须有,即期望闭环传函(z)与广义对象G(z)具有同样的滞后。,闭环稳定性要求,当G(z)中包含不稳定的极点时，设,若G(z)有单位圆上或者单位圆外的极点(1，j0)除外，以下同，并且该极点没有与D(z)或者1(z)的零点对消的话，则它也将成为(z)的极点，从而造成闭环系统不稳定。如果利用D(z)的零点去对消G(z)不稳定的极点，虽然从理论上来说可以得到一个稳定的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。由于实际参数不易测准，且会随环境变化，这种零极点对消不可能准确实现，从而引起闭环系统不稳定。这样，只能利用1(z)的零点来对消G(z)不稳定的极点。,为达到闭环稳定的要求，可使,其中，ai 与 bj 分别为G(z)中单位圆上或圆外的零点与极点；F1(z)与 F2(z)为不含上述零极点的多项式。,6.2 最少拍控制器的设计,最少拍控制也称有限拍控制，指系统在典型输入作用下，具有最快的响应速度，能在有限个采样周期内达到采样点上无稳态误差或无静差。故也称最小调整时间系统或最快响应系统。,基本要求系统输出在稳态实现对给定输入的准确跟踪；能在最少个采样周期（最少拍）内结束过渡过程进入稳态；最少拍控制器在物理上要可实现；闭环系统应是稳定的。,1、特殊对象的最少拍控制系统设计,单位阶跃输入,单位速度输入,单位加速度输入,综合起来,其中，A(z)为 z 的多项式，且不含 z=1 处 的零点。,闭环传函(z)的确定,闭环误差传函为,由简化结构图，闭环传函,从跟踪的准确性考虑,由于A(z)中不含(1z 1)因子，要使上式成立，则必须有,希望,于是有,F(z)是不含(1z 1)因子的多项式,从快速性考虑,希望e(k)=0 时，其中的k 足够小。将以上确定的 e(z)代入，根据 z 变换的定义可知,为使 e(k)尽快为零，则 E(z)多项式的阶次要为最低，即应有,综合起来,相应的期望闭环传函可设计为,控制器 D(z)的确定,由以上讨论可得,单位阶跃输入时m=1,则有,单位阶跃输入时，最少拍系统能在一个采样周期内达到采样点上无偏差，即 ts=T。,此时,单位速度输入时m=2,则有,此时,单位速度输入时，最少拍系统能在两个采样周期内达到采样点上无偏差，即 ts=2T。,单位加速度输入时m=3,则有,此时,单位加速度输入时，最少拍系统能在三个采样周期内达到采样点上无偏差，即 ts=3T。,三种典型输入的最少拍系统,【注】上述设计仅适用于稳定的 无滞后的对象。,解 广义对象 z 传函,例1 已知被控对象为，T=0.5s，试设计单位速度输入时的最少拍控制器。,对速度输入,可得控制器,即输出序列,其输出序列的 z 变换为,即经过两拍，便在采样点上准确跟踪。,2、一般对象的最少拍控制系统设计,如果被控对象含有l个滞后环节，具有i个单位圆外或者 圆上的零点，具有j个单位圆外或者圆上的极点（1，j0）除外），则应选择,其中,例2 已知被控对象为在 T=1s，求得广义对象为试针对单位阶跃输入 设计最少拍控制器。,解 G(z)在单位圆外有一个零点 z=2.78对阶跃输入，应选取,控制器,解得,控制量,输出采样序列在第 2 个采样时刻实现无偏跟踪。,输出量,控制量序列是收敛的。,仿真结果,由图可见，闭环系统是稳定的，延迟一拍在采样点达到无静差。,最少拍控制系统的采样点间的输出,系统输出在采样点之间存在一定程度的波动，即纹波。,3、最少拍无纹波控制系统设计,产生纹波的原因 最少拍系统中的纹波现象是由控制量的波动 而引起的，即U(z)中含有非零极点，使控制序列不能经有限拍完成过渡过程进入稳态（0 或常值）。,抑制纹波的方法,要使系统输出准确、平滑地跟踪输入信号，则在稳态时，u(k)必须为一恒定值，因而系统在稳态时的跟踪性能应由G(s)中的某些环节来实现。对于输入,为使系统输出准确跟踪输入，则G(s)中至少应包含（m 1）个积分环节，即,为使u(k)进入稳态后为一恒定值，则U(z)中不应含有非零极点由于,即 G(z)的零点将成为U(z)的极点，为使其不含这样的非零极点，则(z)中应包含G(z)的所有非零零点，即,例3 广义对象仍为,即G(z)具有不稳定极点，稳定的非零零点。,对于阶跃输入，则有,即u(k)进入稳态后为 0。,在第 3 拍（延迟 2 拍）达到稳态。,系统仿真结果,输出采样点之间的纹波被消除了，而调节时间则比有纹波系统增加了一拍。一般而言，(z)中每增加一个零点，调节时间将延长一拍。,4、最少拍控制系统的改进设计,对不同输入类型的适应性差 针对某类输入设计的最少拍系统，对其它输入未必为最少拍系统，而且还可能引起大的超调和静差。对参数变化过于敏感 按最少拍控制设计的闭环系统只有多重极点 z=0，在理论上，这一多重极点对系统参数变化的灵敏度 可达无穷大。因此，如果系统参数发生变化，将使实际控制严重偏离期望状态。控制作用易超出限制范围 最少拍系统从理论上讲，T 越小，所需的调节时间也越短；但T 越小，意味着所需的控制能量也越强，对于实际系统，这一控制能量很容易超出其约束范围（即饱和），从而使控制性能变坏。,（1）惯性因子设计法,针对最少拍系统对输入类型的适应性较差这一问题的改进设计。以牺牲控制的有限拍无差性质为代价，而使系统对多种类型输入有较满意的响应。即将原误差传函增加一惯性因子，变为,相应的闭环传函为,（2）非最少的有限拍控制在最少拍的基础上，将闭环脉冲传函中 z 1 的幂次提高一阶到二阶，闭环响应将比最少拍多持续一到二拍完成过渡过程，但这有利于降低系统对参数变化的敏感性，并减小控制作用。,6.3 扰动作用下最少拍控制系统设计,存在干扰作用下的控制系统,扰动系统的等效图,1、针对扰动作用的设计,系统只存在扰动时的输出响应为,取z变换，得,其中,由于,因此,所以,系统输出对扰动的闭环 z 传递函数为：,数字控制器为,根据系统运行的实际情况确定设计中所针对的干扰输入作用 根据消除干扰所引起的输出响应的要求（如无稳态误差、最快速的瞬变响应、稳定性等），以及 物理可实现的约束，确定输出对扰动的闭环 z 传递函数。由式(6-24)确定数字控制器，并编写控制算法程序.,针对干扰作用的系统设计步骤为：,2、抑制扰动作用的设计,考虑既有参考输入又有扰动作用的系统的设计方法,设计分两步进行：首先针对参考输入，确定闭环确定闭环z传递函数然后考虑系统对干扰 的抑制作用，修改设计的结果。,存在干扰作用下的控制系统的输出响应为,所以,如果系统要抑制扰动的影响，则对 的要求是：对于设计中的扰动作用，不产生稳态响应。,不失一般性，设扰动信号具有以下形式：,由终值定理得,若要求,则要求扰动的闭环z传递函数 具有以下形式：,其中 为不含 因子的关于 的有限多项式。,结论：若系统的扰动的闭环z传递函数 可以表示成 的形式，则不必修改针对参考输入所确定的数字控制器，否则就要修改。,6.4 大林算法设计,1、大林算法基本原理设被控对象具有纯滞后时间，将期望闭环传函设计为带有近似相同滞后时间的一阶惯性环节，即,期望闭环脉冲传函为,D(z)的一般形式,例4 被控对象，取 T=1s，利用扩展 z 变换广义对象为设期望闭环传函为,可得控制器,在阶跃输入时，系统输出为相应的控制量为,仿真结果,可见，就输出采样点而言，是逐步平稳地进入稳态的。但是由于控制量的大幅波动，使得输出采样点之间也出现了纹波。振铃现象这种控制量以1/2 采样频率大幅度的衰减振荡，称为“振铃”。,2、振铃现象的消除方法,振铃现象会引起采样点之间的系统输出纹波，并使执行机构磨损，甚至会威胁到系统的稳定性，必须设法消除。振铃现象产生的原因根本原因 U(z)中含有单位圆内靠近 z=1 处的极点（称为振铃极点），且该极点越靠近 z=1，振幅就越大。,消除方法,方法1 令 D(z)对应于振铃极点的因子中的 z=1，由终值定理可知，这样并不改变系统的稳态值，却能够改善动态特性；方法2 合理选择采样周期 T 与期望闭环传函的时间常数T0，使振铃极点尽量远离 z=1。,例5、在 例 4 中可见，具有振铃极点 z=0.733,令D(z)中振铃因子中的 z=1，即该因子变为常数1.733，则有,相应的闭环传函变为在阶跃输入时，输出为控制量为,仿真结果,可见，振铃现象与输出纹波均已基本消除。【注】上述方法隐含了对闭环传函的调整，因此，一般应检验在其改变后系统是否稳定。,6.5 复合控制系统设计,通常，在一个控制系统中既存在给定的参考输入，又存在扰动作用。如果在计算机控制系统中组合使用前馈与反馈两种控制，则可以将希望的控制规律设计与抗干扰设计分开来进行，并形成开环控制与闭环控制并存的控制结构，通常称为复合控制结构。,在反馈控制的基础上，再引入前馈控制，则可以兼顾对参考输入的跟踪与对扰动作用的抑制两个方面的要求。,1、复合控制系统基本原理,较为常用的复合控制系统方案,对参考输入，系统的响应为,如果选定,则有,即,而对于扰动作用对输出的影响为,系统对参考输入的响应与数字控制器D1(z)无关，而扰动作用对输出的影响的设计仅取决于D1(z)，与D2(z)和D3(z)无关。因此，可以将对参考输入的跟踪与对扰动作用的抑制分开来设计，二者互不影响。,2、复合控制系统设计步骤：,(1)根据被控过程扰动信号的一般形式与对抑制扰动影响的要求设计扰动数字控制器，比如可根据具体性能要求按最少拍扰动抑制设计；(2)根据参考输入信号的形式与系统跟踪性能的要求，确定系统输出对参考输入的z传递函数，比如按最少拍控制或大林算法等确定；（3）确定前馈数字补偿器 和，即根据上述复合控制原理中 和 与 之间的关系，确定 和，即,如果按最少拍控制设计，并设G(z)具有l个采样周期的滞后，于是，考虑到数字控制器的可实现性，可取,其中m是与参考输入信号形式有关的参数。这样，则有,（4）将数字控制器、与 转换为程序实现算法进行程序实现。,6.6 z 平面根轨迹设计,根轨迹没计法是一种试凑法。与s平面上的根轨迹设计法相同，z平面上的根轨迹设计法也是在原有系统的基础上，用串联控制或并联控制的方法，在前向或反馈回路加入一阶或n阶的控制网络，增加系统的极、零点，使闭环系统的特征根移到更合适的位置上。常用的有超前控制、滞后控制及超前与滞后控制的组合。以一阶网络为例，,式中，kd为控制器D(z)的放大系数，为控制器D(z)的实数零点，为控制器D(z)的实数极点。通常实零点和实极点应在z平面单位圆内。若D(z)的零点位于极点的右边，则为相位超前控制，可提供一个超前角；而极点位于零点的右边，便是相位滞后控制器，可提供一个滞后角。,一般地，离散系统根轨迹设计步骤如下：（1）根据性能指标要求选择期望的闭环主导极点；（2）绘制未校正系统的根轨迹；（3）选择校正控制器的零点，使其与G(z)的极点对消（或者用控制器极点抵消G(z)的零点）；（4）根据相角方程D(z)G(z)=(2n+1)，n为整数，确定校正控制器极点（零点）；（5）求解幅值方程|D(z)G(z)|=1，得到控制器增益。,6.7 数字控制器的频域设计,1 w 变换的定义2 w 变换的性质3 w 域设计法,1、w 变换的定义,离散域脉冲传递函数的频率特性为 G(e jT)，它不是 的有理分式，直接进行频域设计不方便，因此，引入 W 变换，将Z 域变换到W 域，以便于对其进行频域设计。,W 变换的定义,这是一个双线性变换,2、w 变换的性质,(1)映射关系从 s 域到 z 域，将 s 左半平面的主带及所有旁带重叠映射至 z平面单位圆；从 z 域到w 域采用双线性变换，将 z 平面单位圆一对一映射为 w 平面的整个左半平面；,令 则 z 和 w 平面的映射关系为,w变换，将 z 平面单位圆一对一地映射为 w平面的整个左半平面，从而与 s 域具有相同特性，因此s 平面的稳定性判别方法均适用于w平面分析；s 平面的分析、设计方法均可应用于 w平面。,取模的平方有,(2)s 域和 w域频率对应关系,即 s 域频率 和w域频率 v 之间为非线性关系。,类似双线性变换的频率关系分析可得,显然，在低频段有,(3)w 域和s域的相似性,可见，当采样频率足够高时，w 域可等同于s 域。,例6 有连续被控对象其广义脉冲传函为变换至 w 平面为,G(w)和G(s)的极点和增益均十分相近，只是G(w)多了一个零点。,如 a=5，T=0.1，则有,当T 0 时，有,即G(w)和G(s)完全一致,(4)稳态增益维持不变,由 s 域到 z 域，是作带ZOH的 z 变换，它能保持G(s)和G(z)的稳态增益不变；由 z 域到 w 域，是作双线性变换，它能保持G(w)和G(z)的稳态增益不变；由上述讨论可知w 域可看作另一种离散域，它和 s 域非常相似，因此s 域的有关分析与设计方法均可直接应用；w 域必须通过 z 域的变换获得，而在w 域设计的控制器D(w)也必须返回到 z 域实现。,3、w 域设计法,(1)设计步骤求广义对象脉冲传函,将G(z)变换到 w 平面上，即,在w 平面设计控制器 D(w)可采用 S 平面的一切设计方法进行 w 反变换，求得控制器D(z),检验 z 域闭环系统的品质;控制器 D(z)的程序实现。,(2)控制器的一般形式,其中，p2 z2 z1 p1，Kc 为比例系数，此时，D(w)为滞后超前控制器 当 p2 z2 时，D(w)为一阶相位超前控制器；当 p1 z1 时，D(w)为一阶相位滞后控制器。,在 w 域常用一阶或二阶串联校正装置作为控制器，即,(3)设计举例,例7、已知连续对象传函为设计数字控制器，使（1）在最大指令速度为 180/s 时，位置稳态误差不超过 1；（2）相角稳定裕度 45；（3）截止频率 c 3.5 rad/s；（4）采样周期 T 0.1 s。,【解】在w 平面采用频率法设计,变换到w 平面为,其增益和极点与G(s)非常相似,在w 平面采用频率法设计控制器D(w),计算稳态速度误差系数要求未校正前满足静态指标要求。截止频率 c 3.5 rad/s，变换到w 域，为,由G(w)的伯德图可知，原系统为不稳定系统，应引入超前校正,原系统在vc 处相位与幅值为,考虑到滞后校正，设滞后 6，超前相角应修正为,超前相角,根据一阶超前环节伯德图的几何性质，按频域设计法可得超前控制器的参数为,校正后在 vc 处幅值应为 1，即,可求得,检验稳态指标,超前校正提高了稳定性，但可能影响稳态精度,速度误差系数变为,需要在低频段引入滞后校正，以提高稳态精度。,引入滞后校正,滞后校正的零极点应远离截止频率，取,至此，可得到控制器,而 p2 则由 Kv 指标确定,校正后系统的伯德图,将 D(w)变换到 z 平面,采用数字仿真方法，检验闭环性能,可见，系统满足性能指标要求 控制器 D(z)的程序实现,D(z),ZOH,G(s),r(t),u,T,c(t),c(t),u(t),