数字图像处理第三章图像的正交变换.ppt

数字图像处理,第3章 图像信号的正交变换,数字图像信号的正交基表示,3.3,沃尔什变换和哈达玛变换,3.4,上节知识点回顾,1、DFT,2、二维DFT的实现,3、一维DCT表达式的推导,4、DFT 和DCT频谱特点,3.3 数字图像信号的正交基表示,一、变换核的一般表达式,其中x,y,u,v=0,1,2,.,N-1，g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正变换核和反变换核。,若,则变换核是可分离的。,若,则变换核是对称的。,此时，变换可写成：,正变换式：F=P f QT 反变换式：f=P1FQ1T,其中F为二维频谱按u行，v列排列成的频谱方阵，f是按x行、y列排列成的图像方阵。,二、变换的矩阵表达式,P、P1分别是由P(u,x)、P1(u,x)按u行x列排列成的方阵；而Q、Q1T分别是Q(y,v)Q1T(y,v)按y行、v列排列成的转置方阵。,F=P f QT,f=P-1F(QT)-1,f=(P)T F Q,P1=(P)T,Q1=(Q)T,三、基本图像和基本频谱,将P、Q写成向量形式：P=(P0P1PN-1)，Q=(Q0Q1QN-1)，其中Pi，Qi为列向量，并将矩阵f分解成求和形式：,将正变换和反变换写成外积的形式,是固定矩阵，只和该正交变换阶数有关，称为基本图像，其物理意义：在以变换域系数Fij作为权值的情况下，由此基本图像组合，可得到原始图像f。,看成基本频谱，图像频谱可以看成以图像域系数fij作为加权的基本频谱之和。,例：以55的DFT为例，讨论基本图像和基本频谱。,由已知P1、Q1是对称酉矩阵，可得：P1=(P)T、Q1=(Q)T和P=Q,PiPjT为55基本图像，PiPjT为55基本频谱，根据i、j不同取值，它们均有25个55矩阵。,基本图像形成过程：,利用周期性,其任何一列和任意一行的转置相乘后(外积)可得到一个55矩阵，即一个基本图像，这样的图像有25个。任意一幅55图像都可以表示为这25个基本图像的加权和，权值大小为其相应位置的傅立叶频谱系数。,结论：任一幅55图像的频谱是由25个基本频谱加权得到，加权系数为相应图像的像素值，从而每一个频谱系数都和整幅图像相关，即整幅图像对某一个频谱分量都有贡献，同样每一个像素值是所有频谱分量的贡献。,举例：,P(u,x)=,Q(y,v)=,156 159 158 155 158 156 159 158 160 154 157 158 157 159 158 158 156 159 158 155 158 156 159 158 160 154 157 158 157 159 158 158 156 153 155 159 159 155 156 155 155 155 155 157 156 159 152 158 156 153 157 156 153 155 154 155 159 159 156 158 156 159 157 161,f(x,y)=,0.6118 0.6235 0.6196 0.6078 0.6196 0.6118 0.6235 0.6196 0.6275 0.6039 0.6157 0.6196 0.6157 0.6235 0.6196 0.6196 0.6118 0.6235 0.6196 0.6078 0.6196 0.6118 0.6235 0.6196 0.6275 0.6039 0.6157 0.6196 0.6157 0.6235 0.6196 0.6196 0.6118 0.6000 0.6078 0.6235 0.6235 0.6078 0.6118 0.6078 0.6078 0.6078 0.6078 0.6157 0.6118 0.6235 0.5961 0.6196 0.6118 0.6000 0.6157 0.6118 0.6000 0.6078 0.6039 0.6078 0.6235 0.6235 0.6118 0.6196 0.6118 0.6235 0.6157 0.6314,F(u,v)=,3.1 离散傅立叶变换,3.2离散余弦变换,3.3 数字图像信号的正交基表示,3.4沃尔什变换和哈达玛变换,第3章 图像信号的正交变换,3.4 沃尔什变换和哈达玛变换,Walsh函数系是完备正交函数系，只取两种值，在归一化条件下只取+1、-1,便于计算。典型非正弦正交变换，方波变换较DFT减少了存储空间、提高运算速度,变换核,其中,3.4.1 沃尔什变换,bk(z)是 z的二进制表达式中的第k位的值。例如n=3，则对于z=6（110），有b0(z)=0，b1(z)=1，b2(z)=1。,可以看出，沃尔什变换核是一个对称阵列，其行和列是正交的。正反变换核除了相差一个常数项1/N外，其他相同。,二维Walsh变换核为：,举例：求Walsh变换核矩阵元素,方括号中各项的符号即为变换核的符号，从中可见Walsh变换的本质是将离散序列f(x)的各项值的符号按一定的规律改变，进行加减运算。,举例：若二维信号,求其离散Walsh变换。,其中N=4时的二维Walsh变换核为,则：,例：,可见，二维Walsh变换具有某种能量集中的特性，而且原始数据越均匀分布，变换后的数据越集中于矩阵的边角上，因此，可用于图像压缩。,本质上是一种特殊排序的沃尔什变换，其方阵只包括+1和-1两个矩阵元素，各行和各列之间是正交的，即任两行相乘或两列相乘后的各数之和必为零。优点：变换核具有简单递推关系，高阶矩阵可用两个低阶矩阵求得。,哈达玛（Hadamard）变换,哈达玛（Hadamard）变换,变换核,其中,bk(z)是 z的二进制表达式中的第k位的值。例如n=3，则对于z=6（110），有b0(z)=0，b1(z)=1，b2(z)=1。,于是,和Walsh变换类似，由Hadamard变换核组成的矩阵是一个对称矩阵，并且其行和列正交。,反变换核,二维情况：,可分离,Hadamard具有简单的递推关系，如N=2n，当N=2时，Hadamard矩阵为：,N=4时，,0,7,3,4,1,6,2,5,定序哈达玛变换矩阵,举例：若二维信号,求其离散Hadamard变换。,其中N=4时的二维Hadamard变换核为,则：,Hadamard变换核、变换结果与Walsh变换相比，只是顺序不同。,小结,谢谢,