数字图像处理第3章图像的变换.ppt

第3章 图像的变换,图像的变换,数字图像处理的方法分为两类：空间域处理法（或者称为空域法）和频域法（或者称为变换域法）。一般数字图像处理的计算方法本质上都可看成是线性的，处理后的输出图像阵列可看作输入图像阵列的各个元素经加权线性组合而得到，这种空间线性处理要比非线性处理简单。但图像阵列一般都很大，如果没有有效的算法，计算上比较复杂、费时。图像的频域处理最突出的特点是其运算速度高，并可采用已有的二维数字滤波技术进行所需要的各种图像处理，因此得到了广泛的应用。图像变换可以将图像从空间域转换到频率域，然后在频率域对图像进行各种处理，再将所得到的结果进行反变换，即从频率域变换到空间域，从而达到图像处理的目的。,3.1 图像的正交变换,正交变换是图像处理技术的一种重要工具，在图像处理中，如图像增强、复原、编码、描述和特征提取等方面，都有着广泛的应用。通过正交变换改变图像的表示域及表示数据，给后续处理工作带来了极大的方便。正交变换可分为3大类型，即正弦型变换、方波型变换和基于特征向量的变换。正弦型变换主要包括傅里叶变换、余弦变换和正弦变换；方波型变换主要包括哈达玛（Hadamarn）变换、沃尔什（Walsh）变换、斜变换和Haar变换；基于特征向量的变换主要包括Hotelling变换、KL变换和SVD变换。,图像的正交变换,对于数字图像或图像块 f(x,y),x=0,1,M1;y=0,1,N1，其二维离散线性变换的一般形式为 式中，u=0,1,M1;v=0,1,N1;p(u,v,x,y)称为正变换核。同样，对应的反变换的一般形式为 式中，x=0,1,M1;y=0,1,N1;q(u,v,x,y)称为反变换核。在大部分已有的变换中，变换核都可以表示为 p(u,v,x,y)=p1(u,x)p2(v,y)q(u,v,x,y)=q1(u,x)q2(v,y),图像的正交变换,这时的变换称为变换核可分离的，并可进一步写成 这表明，一个变换核可分离的二维离散线性变换，可通过分别对于2个变量的一维离散线性变换来实现，对于正反变换都是如此。,图像的正交变换,对于变换核可分离的变换，其正变换式的矩阵形式为 同样，反变换式可表示为 当图像及其变换分别用堆叠构成的矢量表示时，可由上式得到以下矢量形式的正反变换式:F=Pf 及 式中，F和f均为MN维矢量，而P和Q为MNMN的变换矩阵。显然有,图像的正交变换,如果变换为变换核可分离的，且有式（）和（）的矩阵形式，则变换矩阵P和Q可由下式求得:式中符号表示矩阵的直积运算。根据直积运算的性质可得：上式说明，若反变换存在，则 存在，从而 和 存在，因而可令,图像的正交变换,对于上述变换，若满足 则称P为酉矩阵（上标“*”表示复共轭），并且，这时Q也一 定是酉矩阵，所以，可称相应的变换为酉变换。若酉矩阵为实阵，则称为正交矩阵，相应的变换称为正交变换。于是，对于变换核可分离的酉变换，根据式(3.1.5)和(3.1.6)，变换矩阵 P1、P2、Q1和Q2均为酉矩阵，且反变换为 若P1和P2 都为对称矩阵，则上式可进一步写成 f=P1FP2 即反变换和正变换的计算公式完全相同。,3.2 傅里叶变换,1807年，傅里叶提出了傅里叶级数的概念，即任一周期信号可分解为复正弦信号的叠加。1822年，傅里叶又提出了傅里叶变换。傅里叶变换是一种常用的正交变换，它的理论完善，应用程序多。在数字图像应用领域，傅里叶变换起着非常重要的作用，用它可完成图像分析、图像增强及图像压缩等工作。傅里叶变换主要分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换，在数字图像处理中经常用到的是二维离散傅里叶变换。,连续函数的傅里叶变换,令 f(x)为实变量x的连续函数，f(x)的傅里叶变换以Ff(x)表示，则表达式为 傅里叶变换中出现的变量u通常称为频率变量。若已知 F(u)，则傅里叶反变换为 式（）和（）称为傅里叶变换对。,连续函数的傅里叶变换,这里f（x）是实函数，它的傅里叶变换F（u）通常是复函数。F（u）的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：实部虚部 振幅 能量 相位,连续函数的傅里叶变换,傅里叶变换很容易推广到二维的情况。如果 f(x,y)是连续和可积的，且 F(u,v)是可积的，则存在如下的傅里叶变换对：与一维的情况一样，二维函数的傅里叶谱、能量和相位谱为,连续函数的傅里叶变换,图3.1（a）所示矩形函数的傅里叶变换为 其傅里叶谱为 矩形函数的傅里叶谱如图3.1（b）所示。,连续函数的傅里叶变换,图 3.1 矩形函数的傅里叶变换及其相位谱,3.2.2 离散函数的傅里叶变换,假定以间隔x对一个连续函数f(x)均匀采样，离散化为一个序列 f(x0),f(x0+x),fx0+(N1)x（如图3.3所示），则将序列表示 f(x)=f(x0+x)式中x假定为离散值0，1，2，N1。换句话说，序列 f(0),f(1),f(2),f(N1)表示取自该连续函数N个等间隔的抽样值。,离散函数的傅里叶变换,被抽样函数的离散傅里叶变换定义为反变换为式中u=0,1,2,N1。在二维的情况下，离散的傅里叶变换对表示为,离散函数的傅里叶变换,数字图像的二维离散傅里叶变换所得结果的频率成分的分布示意图如图所示。即变换结果的左上、右上、左下、右下四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频成分。为使直流成分出现在变换结果数组的中央，可采用图示的换位方法。但应注意，当换位后的数组再进行反变换时，得不到原图。也就是说，在进行反变换时，必须使用四角代表低频成分的变换结果，使画面中央对应高频部分。,3.2.3 离散傅里叶变换的若干性质,1.周期性和共轭对称性 若离散傅里叶变换和它的反变换周期为N，则有 F(u,v)=F(u+N,v)=F(u,v+N)=F(u+N,v+N)(3.2.26)共轭对称性可表示为 F(u,v)=F(u,v)（）|F(u,v)|=|F(u,v)|（）2.分离性 一个二维傅里叶变换可由连续2次一维傅里叶变换来实现。式（）可分成下面两式：,离散傅里叶变换的若干性质,此式表示对每一个x值，f(x,y)先沿每一行进行一次一维傅里叶变换；然后将 F(x,v)沿每一列再进行一次一维傅里叶变换，就可得到二维傅里叶变换 F(u,v)，即,离散傅里叶变换的若干性质,3.平移性质 傅里叶变换对的平移性可表示为4.旋转性质5.分配律 根据傅里叶变换对的定义可得到 Ff1(x,y)+f2(x,y)=Ff1(x,y)+Ff2(x,y),离散傅里叶变换的若干性质,6.尺度变换（缩放）给定2个标量a和b，可证明傅里叶变换有以下2式成立：7.平均值 对二维离散函数 f(x,y)，其平均值可用下式表示：,离散傅里叶变换的若干性质,8.离散卷积定理 离散卷积定义 卷积定理 Ff(x,y)*g(x,y)=F(u,v)G(u,v)9.离散相关定理 离散相关定义 相关定理为 Ff(x,y)g(x,y)=F(u,v)G(u,v),3.2.4 离散傅里叶变换的Matlab实现,Matlab函数fft、fft2和fftn分别可以实现一维、二维和N维DFT算法，而函数ifft、ifft2和ifftn则用来计算反DFT，它们是以需要进行反变换的图像作为输入参数，计算得到的输出图像。这些函数的调用格式如下：A=fft(X,N,DIM)其中，X表示输入图像;N表示采样间隔点，如果X小于该数值，那么Matlab将会对X进行零填充，否则将进行截取，使之长度为N；DIM表示要进行离散傅里叶变换的维数；A为变换后的返回矩阵。,离散傅里叶变换的Matlab实现,A=fft2(X,MROWS,NCOLS)其中，MROWS和NCOLS指定对X进行零填充后的X大小。A=fftn(X,SIZE)其中，SIZE是一个向量，它们每一个元素都将指定X相应维进行零填充后的长度。函数ifft、ifft2和ifftn的调用格式与对应的离散傅里叶变换函数一致。,离散傅里叶变换的Matlab实现,例3.1 图像矩阵数据的显示及其傅里叶变换。为了说明怎样根据图像矩阵进行图像的傅里叶变换，本例构造一个函数的矩阵f，然后使用一个二进制图像显示矩阵f（数值1表示图3.6所示矩形的内部，0表示其他位置）。f=zeros(30,30);使用 f(5:24,13:17)=1;F=fft2(f);imshow(f,notruesize)F2=log(abs(F);imshow(F2,-1,5,notruesize);colormap(jet);命令计算并可视化f的DFT振幅谱。可视化结果如图3.6所示。图3.7所示的傅里叶变换结果。,离散傅里叶变换的Matlab实现,图3.6 矩阵f的二进制显示结果图 3.7 矩阵f二进制图像的傅里叶变换结果,离散傅里叶变换的Matlab实现,例3.2 图像的二维离散傅里叶频谱。%读入原始图像 I=imread(lena.bmp);imshow(I)%求离散傅里叶频谱 J=fftshift(fft2(I);%对原始图像进行二维傅里叶变换，并将其中心移到零点 figure;imshow(log(abs(J),8，10)其结果如图所示。,离散傅里叶变换的Matlab实现,离散傅里叶变换的Matlab实现,例3.3 二维离散傅里叶变换的旋转性。%构造原始图像 I=zeros(256,256);I(28:228,108:148)=1;imshow(I)%求原始图像的傅里叶频谱 J=fft2(I);F=abs(J);J1=fftshift(F);figure imshow(J1,5 50)%构造原始图像 I=zeros(256,256);I(28:228,108:148)=1;,%对原始图像进行旋转J=imrotate(I,315,bilinear,crop);figureimshow(J)%求旋转后图像的傅里叶频J1=fft2(J);F=abs(J1);J2=fftshift(F);figureimshow(J2,5 50)其结果如图3.10所示。,离散傅里叶变换的Matlab实现,3.3 离散余弦变换,3.3.1 一维离散余弦变换 函数 f(x)的一维DCT为式中，u=1,2,3,N-1;x=0,1,2,N-1。F（u）的反变换为,3.3.2 二维离散余弦变换,将一维离散余弦变换扩展到二维离散余弦变换为 二维离散余弦反变换为 u,v=01 其他,3.3.3 离散余弦变换的Matlab实现,在Matlab中，dct2函数和idct2函数分别用于进行二维DCT变换和二维DCT反变换。1.dct2函数 功能：二维DCT变换。格式：B=dct2(A)B=dct2(A,m,n)B=dct2(A,m n 说明：B=dct2(A)计算A的DCT变换B，A与B的大小相同；B=dct2(A,m,n)和B=dct2(A,m n)通过对A补0或剪裁，使B的大小为mn。,离散余弦变换的Matlab实现,2.idct2函数功能：DCT反变换。格式：B=idct2(A)B=idct2(A,m,n)B=idct2(A,m n)3.dctmtx函数功能：计算DCT变换矩阵。格式：D=dctmtx(n)说明：D=dctmtx(n)返回一个nn的DCT变换矩阵，输出矩阵D 为double类型。,离散余弦变换的Matlab实现,例3.5 说明二维余弦正反变换在Matlab中的实现。程序如下：%装入图像 RGB=imread(autumn.tif);I=rgb2gray(RGB);%画出图像 imshow(I);figure(2);,%进行余弦变换J=dct(2);imshow(lon(abs(J),colormap(jet(64),colorbar;figure(3);J(abs)10=0;%进行余弦反变换K=idc2(J)/255;imshow(K);,离散余弦变换的Matlab实现,结果如图3.123.14所示 图3.12原始图像 图3.13余弦变换系数 图3.14余弦反变换恢复图像,3.4 沃尔什变换和哈达玛变换,离散沃尔什变换 傅里叶变换、DCT变换都是由正弦或余弦等三角函数为基本的正交函数基，在快速算法中要用到复数乘法、三角函数乘法，占用时间仍然较多。在某些应用领域，需要有更为有效和便利的变换方法，沃尔什（Walsh）变换就是其中一种。它只包括+1和-1两个数值所构成的完备正交基。由于沃尔什函数基是二值正交基，与数字逻辑的二个状态相对应，因此更加适用于计算机处理。另外，与傅里叶变换相比，沃尔什变换减少了存储空间和提高了运算速度，这一点对图像处理来说至关重要。特别是在大量数据需要进行实时处理时，沃尔什变换更加显示出其优越性。,3.4.1 离散沃尔什变换,1.一维离散沃尔什变换 一维离散沃尔什变换核为 式中,bk(z)是z的二进制表示的第k位值，其值是0或1。如z=6，其二进制表示是110，因此 b0(z)=0、b1(z)=1、b2(z)=1。N是沃尔什变换的阶数，N=2n。u=0,1,2,N-1。x=0,1,2,N-1。由上，一维离散沃尔什变换可写成 式中，u=0,1,2,N1；x=0,1,2,N1。,离散沃尔什变换,一维沃尔什反变换核为 相应的一维沃尔什反变换为 式中，u=0,1,2,N1；x=0,1,2,N1。一维沃尔什反变换除了与正变换有系数差别之外，其他与正变换相同。为了计算方便，常用的bk(z)值如表3.1(课本66页)所示。,离散沃尔什变换,根据表3.1中 bk(z)，很容易求得沃尔什变换核，其核是一个对称阵列，其行和列是正交的。同时，正、反变换核除了系数相差1/N这个常数项外，其他完全相同。因此，计算沃尔什变换的任何算法都可直接用来求其反变换。其变换核阵列如表3.2所示，“+”表示+1，“-”表示-1，并忽略了系数1/N。由表3.2得，当n=2、N=4时的沃尔什变换核为,离散沃尔什变换,2.二维离散沃尔什变换 将一维的情况推广到二维，可以得到二维沃尔什变换的正交变换核为 它们也是可分离和对称的，二维沃尔什变换可以分为二步一维沃尔什变换来进行。相应的二维沃尔什正变换为 式中，u，v=0,1,2,N-1；x,y=0,1,2,N-1。其矩阵表达式为 W=GfG 式中G为N阶沃尔什反变换核矩阵。,离散沃尔什变换,二维沃尔什反变换核为相应的二维沃尔什反变换为式中，u，v=0,1,2,N-1；x,y=0,1,2,N-1。其矩阵表达式为 f=HWH式中H为N阶沃尔什反变换核矩阵，与G只有系数之间的区别。,离散沃尔什变换,例3.7 二维数字图像信号是均匀分布的，即求此信号的二维沃尔什变换。解由于图像是4 4矩阵，n=2，N=4，沃尔什变换核如式（）所示。因此二维沃尔什变换由式（）给出。则,3.4.2 离散哈达玛变换,哈达玛（Hadamard）变换本质上是一种特殊排序的沃尔什变换，哈达玛变换矩阵也是一个方阵，只包括+1和-1 两个矩阵元素，各行或各列之间彼此是正交的，即任意两行相乘或两列相乘后的各数之和必定为0。哈达玛变换矩阵具有简单的递推关系，即高阶矩阵可以用二个低阶矩阵求得。1.一维离散哈达玛变换一维哈达玛变换核为式中，N=2n；x=0,1,2,N-1；u=0,1,2,N-1；b（z）是z的二进制表示的第k位。对应的一维哈达玛变换为哈达玛反变换除与正变换除相差1/N常数项外，其形式基本相同。,离散哈达玛变换,一维哈达玛反变换核为 相应的一维哈达玛反变换为 上述各式中，N=2n；x=0,1,2,N-1；u=0,1,2,N-1。如N=2n，高、低阶哈达玛变换之间具有简单的递推关系。最低阶（N=2）的哈达玛矩阵为,离散哈达玛变换,2N阶哈达玛矩阵H2N与N阶哈达玛矩阵HN之间的递推关系可表示为 例如，N=4的哈达玛矩阵为,离散哈达玛变换,在哈达玛矩阵中，沿某一列符号改变的次数通常称为这个列的列率。如式（）表示的8个列的列率分别是0、7、3、4、1、6、2、5。但在实际使用中，常对列率随u增加的次序感兴趣，此时将变换核和反变换核定义为 式中pi(u)与bi(u)之间的关系为,离散哈达玛变换,2.二维离散哈达玛变换 二维离散哈达玛变换对为 式中，N=2n；u,v=0,1,2,N-1;x,y=0,1,2,，N-1。上述两式的二维离散哈达玛变换是未定序的，如果将以上两个变换式中的 bi()换为 pi(),其定义和一维定序的情况一致，则形成了二维定序的离散哈达玛变换。,3.4.3 沃尔什变换和哈达玛变换的Maltab实现,Matlab提供了Hadamard函数，用于产生哈达玛矩阵。hadamard函数 功能：创建一个Hadamard矩阵。格式：H=hadamard(n)说明：H=hadamard(n)返回一个nn的Hadamard矩阵，n必须为2的整数次幂。下面以2个示例进行说明。,沃尔什变换和哈达玛变换的Maltab实现,例3.9 对简单数组进行沃尔什哈达玛变换，程序如下：clear;sq=1 1 3 1%给定数组sq=1 1 3 1 2 1 2 2%2 1 2 2;for k=1:4 wht(:,k)=hadamard(2)sq(:,k)/2 end for j=1:2 a=wht(j,:)hadamard(4)wh(:,j)=hadamard(4)wht(j:)/4 end wh=wh%重排,沃尔什变换和哈达玛变换的Maltab实现,例3.10 对二维图像进行沃尔什哈达玛变换，其原始图像如图3.16(a)所示，运行结果如图3.16(b)所示。程序见课本71页,沃尔什变换和哈达玛变换的Maltab实现,如果将图像cameraman.tif进行同样的变换，将得到如图3.17(b)所示的变换矩阵。,3.5 小波变换,小波变换是一种信号的时间尺度（时间频率）分析方法。它具有多分辨率分析的特点，而且在时间域和频率域都具有表征信号的局部特征的能力，是一种窗口面积固定不变，但窗口形状可改变，即时间窗和频率窗的大小都可以改变的时频局部化分析方法。在低频部分具有较高的频率分辩率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。在信号处理和分析、地震信号处理、信号奇异性监测和谱估计、计算机视觉、语音信号处理、图像处理与分析，尤其是图像编码等领域取得了突破性进展，成为一个研究开发的前沿热点。,3.5.1 小波变换基本理论,小波（Wavelet）函数的定义为：设(t)为一平方可积函数，也即(t)，若其傅里叶变换(w)满足条件 则称(t)为一个基本小波或小波母函数，并称式（3.5.1)为小波的可允许条件。1.小波函数的特点 由小波的定义知，小波函数一般具2个特点。(1)小 在时域具有紧支集或近似紧支集。原则上讲，任何满足可允许条件的 空间的函数都可作为小波母函数。,小波变换基本理论,（）波动性 由于小波母函数满足可允许性条件，则必有|(w)|w=0=0，也即直流分量为0。将小波母函数(t)进行伸缩和平移，设其伸缩因子（又称尺度因子）为a，平移因子为，令其平移伸缩后的函数为 a,(t)，则有 称a,(t)为依赖于参数a、的小波基函数。尺度因子a的作用是将母小波(t)做伸缩，a越大(a/t)越宽，而在相应的频率域(a)带宽变窄。,小波变换基本理论,将任意 空间中的函数x(t)在小波基下进行展开，称这种展开为函数x(t)的连续小波变换,其表达式为 小波变换同傅里叶变换一样，都是一种积分变换。它是一种变分辨率的时频联合分析方法，当分析低频（对应大尺度）信号时，其时间窗很大；而当分析高频（对应小尺度）信号时，其时间窗减小。,小波变换基本理论,2.连续小波的特点 连续小波是一种线性变换，具有叠加性、时移不变性，可进行尺度变换，而且符合内积定理。(1)叠加性 设 x(t)、y(t)空间，k1、k2为任意常数,且x(t)的CWT为 Wx(a,),y(t)的CWT为 Wy(a,)，则 z(t)=k1x(t)+k2y(t)的CWT为 Wz(a,)=k1Wx(a,)+k2Wy(a,)(2)时移不变性 设x(t)的CWT为 Wx(a,)，则 x(tt0)的CWT为 Wx(a,t0)，即延时后的信号 x(tt0)的小波系数可将原信号 x(t)的小波系数在轴上进行同样时移即可得到。,小波变换基本理论,(3)尺度转换 设 x(t)的CWT为 Wx(a,)，则x(t/)的CWT为(4)内积定理（Moyal定理）设 x1(t)、x2(t)，它们的CWT分别为Wx1(a，)、Wx2(a，)，也即 Wx1(a,)=x1(t),a,(t)Wx2(a,)=x2(t),a,(t)则有Moyal定理 Wx1(a,),Wx2(a,)=C式中,频域空间的划分,如果原始信号x(t)占据的总频带为0，设H1()、H0()分别为高通和低通滤波器，则经过一级分解后，原始频带被划分为低频带0/2和高频带/2。对低频带进行第二级分解，又得到低频带0/4和高频带/4/2。如此重复下去，即每次对该级输入信号进行分解，得到一个低频的逼近信号和一个高频的细节信号，这样就将原始信号进行了多分辨分解。如图3.18所示。信号的各级分解都由2个滤波器完成，一个低通滤波器H0()，一个高通滤波器H1()。因为滤波器的设计是根据归一频率进行的，而前一级的信号输出又被2抽取过，所以这2个滤波器在各级是一样的。这种树形分解便是“由粗及精”的多分辨分析过程。相应的信号重构过程见图3.19所示。,频域空间的划分,图3.18 多采样滤波器组信号分解图3.19 多抽样滤波器组信号重构,频域空间的划分,图中二通道滤波器组必须是正交的，可通过下面的方程定义：高通低通 信号分解的迭代过程定义为信号重构的迭代过程为,3.5.3 图像小波变换的Matlab实现,在Matlab中有专门的小波函数工具箱，支持小波在图像处理中的应用。1.一维小波变换的Matlab实现（1）dwt函数 功能：一维离散小波变换。格式：cA,cD=dwt(X,wname)cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D)说明：cA,cD=dwt(X,wname)使用指定的小波基函数wname对信号X进行分解，cA、cD分别为近似分量和细节分量;cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D)使用指定的滤波器组Lo_D、Hi_D对信号X进行分解。,图像小波变换的Matlab实现,(2)idwt函数 功能：一维离散小波反变换。格式：X=idwt(cA,cD,wname)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt(cA,cD,wname,L)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L)说明：X=idwt(cA,cD,wname)由细节分量cA和细节分量cD经小波反变换重构原始信号X。wname为所选的小波函数。X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)用指定的重构滤波器Lo_R和Hi_R经小波反变换重构原始信号X。X=idwt(cA,cD,wname,L)和X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L)指定返回信号X中心附近的L个点。,图像小波变换的Matlab实现,2.二维小波变换的Matlab实现(1)wcodemat函数 功能：对数据矩阵进行伪彩色编码。格式：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)Y=wcodemat(X,NB,OPT)Y=wcodemat(X,NB)Y=wcodemat(X)说明：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)返回数据矩阵X的编码矩阵Y；B为编码的最大值，即编码范围为0NB，缺省值NB=16；OPT指定了编码的方式,图像小波变换的Matlab实现,（2）dwt2函数功能：二维离散小波变换。格式：cA,cH,cV,cD=dwt2(X,wname)cA,cH,cV,cD=dwt2(X,Lo_D,Hi_D)说明：cA,cH,cV,cD=dwt2(X,wname)使用指定的小波基函数wname对二维信号(图像）X进行二维离散小波变换;cA,cH,cV,cD分别为近似分量、水平细节分量、垂直细节分量和对角细节分量;cA,cH,cV,cD=dwt2(X,Lo_D,Hi_D)使用指定的分解低通和高通滤波器Lo_D 和Hi_D 分解信号X。,图像小波变换的Matlab实现,例3.11 对图像做二维小波分解，结果见图。load woman;nbcol=size(map,1);cA1,cH1,cV1,cD1=dwt2(X,db1);cod_X=wcodemat(X,nbcol);cod_cA1=wcodemat(cA1,nbcol);cod_cH1=wcodemat(cH1,nbcol);cod_cV1=wcodemat(cV1,nbcol);cod_cD1=wcodemat(cD1,nbcol);dec2d=cod_cA1,cod_cH1;cod_cV1,cod_cD1;subplot(1,2,1),imshow(cod_X,)Subplot(1,2,2),imshow(dec2d,),图像小波变换的Matlab实现,图3.20 图像的二维离散小波分解,图像小波变换的Matlab实现,(3)wavedec2函数 功能：二维信号的多层小波分解。格式：C,S=wavedec2(X,N,wname)C,S=wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D)说明：C,S=wavedec2(X,N,wname)使用小波基函数wname对二维信号X进行N层分解;C,S=wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D)使用指定的分解低通和高通滤波器Lo_D和Hi_D分解信号X。举例：load woman;c,s=wavedec2(X,2,db1);,图像小波变换的Matlab实现,(4)idwt2函数功能：二维离散小波反变换。格式：X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wname)X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wname,S)X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S)说明：X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wname)由信号小波分解的近似信号cA和细节信号cH、cV、cD经小波反变换重构原信号X；X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R)使用指定的重构低通和高通滤波器Lo_R和Hi_R重构原信号X；X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wname,S)和X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S)返回中心附近的S个数据点。,图像小波变换的Matlab实现,例3.12 由二维小波分解重构原始图像，结果见图。load woman;sX=size(X);cA1,cH1,cV1,cD1=dwt2(X,db4);A0=idwt2(cA1,cH1,cV1,cD1,db4,sX);subplot(1,2,1),imshow(X,)subplot(1,2,2),imshow(A0,),图像小波变换的Matlab实现,图3.21 由二维小波分解重构原始图像,图像小波变换的Matlab实现,（5）waverec2函数功能：二维信号的多层小波重构。格式：X=waverec2(C,S,wname)X=waverec2(C,S,Lo_R,Hi_R)说明：X=waverec2(C,S,wname)由多层二维小波分解的结果C、S重构原始信号X,wname为使用的小波基函数；X=waverec2(C,S,Lo_R,Hi_R)使用重构低通和高通滤波器Lo_R和Hi_R重构原信号。,图像小波变换的Matlab实现,例3.13 由图像的两层分解重构图像，结果见图。load woman;c,s=wavedec2(X,2,sym4);a0=waverec2(c,s,sym4);subplot(1,2,1),imshow(X,)subplot(1,2,2),imshow(a0,),图像小波变换的Matlab实现,图3.22 二维小波重构,