数字信号处理课后答案第2章高西全.ppt

2.5习题与上机题解答1 设X(ej)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：(1)x(nn0)(2)x*(n)(3)x(n)(4)x(n)*y(n)(5)x(n)y(n)(6)nx(n)(7)x(2n)(8)x2(n),(9),解：（1）,令n=nn0,即n=n+n0，则,（2）,（3）,令n=n，则,（4）FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej)下面证明上式成立：,令k=nm,则,（5）,或者,（6）因为,对该式两边求导，得到,因此,（7）,令n=2n，则,或者,（8）,利用（5）题结果，令x(n)=y(n),则,（9）,令n=n/2，则,2 已知,求X(ej)的傅里叶反变换x(n)。,解：,3.线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(ej)=|H(ej)|ej()，如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)=A cos(0n+j)的稳态响应为,解：假设输入信号x(n)=ej0n，系统单位脉冲响应为h(n)，则系统输出为,上式说明当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位取决于网络传输函数。利用该性质解此题：,上式中|H(ej)|是的偶函数，相位函数是的奇函数，|H(ej)|=|H(e-j)|，()=(),故,4设,将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出x(n)和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。,解：画出x(n)和的波形如题4解图所示。,题4解图,或者,5.设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示，不直接求出X(ej)，完成下列运算或工作：,题5图,(1),(2),(3),(4)确定并画出傅里叶变换实部ReX(ej)的时间序列xa(n)；,(5),(6),解(1),(2),(3),（4）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即,按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。,题5解图,(5),(6)因为,因此,6 试求如下序列的傅里叶变换：(1)x1(n)=(n3),(2),(3)x3(n)=anu(n)0a1(4)x4(n)=u(n+3)u(n4)解,(1),(2),(3),(4),或者:,7 设：（1）x(n)是实偶函数，（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，其x(n)的傅里叶变换性质。解：令,(1)因为x(n)是实偶函数，对上式两边取共轭，得到,因此 X(ej)=X*（ej）上式说明x(n)是实序列，X(ej)具有共轭对称性质。,由于x(n)是偶函数，x(n)sin是奇函数，那么,因此,该式说明X(ej)是实函数，且是的偶函数。总结以上,x(n)是实偶函数时，对应的傅里叶变换X(ej)是实函数，是的偶函数。（2）x(n)是实奇函数。上面已推出，由于x(n)是实序列，X(ej)具有共轭对称性质，即 X(ej)=X*(ej),由于x(n)是奇函数，上式中x(n)cos是奇函数，那么,因此,这说明X(ej)是纯虚数，且是的奇函数。8 设x(n)=R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别用图表示。,解：,xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。,题8解图,9已知x(n)=anu(n),0a1，分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。解：,因为xe(n)的傅里叶变换对应X(ej)的实部，xo(n)的傅里叶变换对应X(ej)的虚部乘以j，因此,10 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：HR(ej)=1+cos求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。解：,11 若序列h(n)是实因果序列，h(0)=1，其傅里叶变换的虚部为HI(ej)=sin求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。解：,12 设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n),0a1，输入序列为x(n)=(n)+2(n2)完成下面各题：(1)求出系统输出序列y(n)；(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。解(1),(2),13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)，式中f0=100 Hz，以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号和时域离散信号x(n)，试完成下面各题：（1）写出的傅里叶变换表示式Xa(j)；（2）写出和x(n)的表达式；（3）分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。解：,上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成：,（2）,（3）,式中,式中0=0T=0.5 rad上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。14 求出以下序列的Z变换及收敛域:(1)2nu(n)(2)2nu(n1)(3)2nu(n)(4)(n)(5)(n1)(6)2nu(n)u(n10),解(1),(2),(3),(4)ZT(n)=10|z|(5)ZT(n1)=z10|z|(6),15 求以下序列的Z变换及其收敛域，并在z平面上画出极零点分布图。(1)x(n)=RN(n)N=4(2)x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9,0=0.5 rad,j=0.25 rad(3),式中，N=4。,解(1),由z41=0，得零点为,由z3(z1)=0，得极点为 z1,2=0,1零极点图和收敛域如题15解图(a)所示，图中,z=1处的零极点相互对消。,题15解图,(2),零点为,极点为,极零点分布图如题15解图(b)所示。(3)令y(n)=R4(n),则x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=Y(z)2,X(z)=z1Y(z)2,因为,因此,极点为z1=0,z2=1零点为,在z=1处的极零点相互对消，收敛域为0|z|，极零点分布图如题15解图(c)所示。,16 已知,求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。解：X(z)有两个极点：z1=0.5,z2=2，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：|z|0.5，0.5|z|2，2|z|。三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）收敛域|z|0.5：,令,n0时，因为c内无极点，x(n)=0;n1时，c内有极点 0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有z1=0.5,z2=2，那么,(2)收敛域0.5|z|2:,n0时，c内有极点0.5，,n0时，c内有极点 0.5、0，但 0 是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，x(n)=ResF(z),2=2 2nu(n1)最后得到,（3）收敛域|z|2:,n0时，c内有极点 0.5、2，,n0时，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0；或者这样分析，c内有极点0.5、2、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。,最后得到,17 已知x(n)=anu(n),0a1。分别求：(1)x(n)的Z变换；(2)nx(n)的Z变换；(3)anu(n)的Z变换。解：(1),(2),(3),18 已知,分别求：（1）收敛域0.52对应的原序列x(n)。,解：,（1）收敛域0.5|z|2:n0时，c内有极点0.5，x(n)=ResF(z),0.5=0.5n=2nn0时，c内有极点0.5、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有2，x(n)=ResF(z),2=2n,最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|2:n0时，c内有极点0.5、2，,n0时，c内有极点0.5、2、0，但极点0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，可是c外没有极点，因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)19 用部分分式法求以下X(z)的反变换：,(1),(2),解：(1),(2),20 设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示：,试用x(n)的Z变换X(z)和x(n)的傅里叶变换X(ej)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ej)。,解：解法一,令m=n+m,则,解法二,因为x(n)是实序列，X(ej)=X*(ej)，因此,21 用Z变换法解下列差分方程：(1)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)，y(n)=0 n1(2)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)，y(1)=1，y(n)=0n1(3)y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2,y(2)=0.5,y(n)=0,当n3时。解：(1)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)，y(n)=0n1,n0时，,n0时，y(n)=0最后得到 y(n)=0.5(0.9)n+1+0.5u(n),(2)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n),y(1)=1,y(n)=0 n1,n0时，,n0时，y(n)=0最后得到 y(n)=0.45(0.9)n+0.5u(n),(3)y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2,y(2)=0.5,y(n)=0,当n2时Y(z)0.8z1Y(z)+y(1)z0.15z2Y(z)+y(1)z+y(2)z2=1,n0时，,y(n)=4.365 0.3n+6.375 0.5nn0时,y(n)=0最后得到 y(n)=(4.365 0.3n+6.375 0.5n)u(n),22 设线性时不变系统的系统函数H(z)为,（1）在z平面上用几何法证明该系统是全通网络，即|H(ej)|=常数；（2）参数 a 如何取值，才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。解：,(1),极点为a,零点为a1。设a=0.6，极零点分布图如题22解图(a)所示。我们知道|H(ej)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度，按照题22解图(a)，得到,因为角公用，,，且AOBAOC，故,，即,故H(z)是一个全通网络。或者按照余弦定理证明:,题22解图,（2）只有选择|a|1才能使系统因果稳定。设a=0.6，极零点分布图及收敛域如题22解图(b)所示。23 设系统由下面差分方程描述：y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)（1）求系统的系统函数H(z)，并画出极零点分布图；（2）限定系统是因果的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)；（3）限定系统是稳定性的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。解：（1）y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)将上式进行Z变换，得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1,因此,零点为z=0。令z2z1=0，求出极点：,极零点分布图如题23解图所示。,题23解图,(2)由于限定系统是因果的，收敛域需选包含点在内的收敛域，即。求系统的单位脉冲响应可以用两种方法，一种是令输入等于单位脉冲序列，通过解差分方程，其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应；另一种方法是求H(z)的逆Z变换。我们采用第二种方法。,式中,，,令,n0时，h(n)=ResF(z),z1+ResF(z),z2,因为h(n)是因果序列,n0时，h(n)=0，故,(3)由于限定系统是稳定的，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域，即|z2|z|z1|,n0时，c内只有极点z2，只需求z2点的留数，,n0时，c内只有两个极点：z2和z=0，因为z=0是一个n阶极点，改成求圆外极点留数，圆外极点只有一个，即z1,那么,最后得到,24 已知线性因果网络用下面差分方程描述：y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)（1）求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)；（2）写出网络频率响应函数H(ej)的表达式，并定性画出其幅频特性曲线；（3）设输入x(n)=ej0n，求输出y(n)。解：（1）y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1,令,n1时，c内有极点0.9，,n=0时，c内有极点0.9，0，,最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+(n),（2）,极点为z1=0.9,零点为z2=0.9。极零点图如题24解图(a)所示。按照极零点图定性画出的幅度特性如题24解图(b)所示。（3）,题24解图,25 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n)0a1,0b1（1）试用卷积法求网络输出y(n)；（2）试用ZT法求网络输出y(n)。解：（1）用卷积法求y(n)。,n0时，,n0时，y(n)=0最后得到,（2）用ZT法求y(n)。,，,令,n0时，c内有极点：a、b,因此,因为系统是因果系统,所以n0时，y(n)=0。最后得到,26 线性因果系统用下面差分方程描述：y(n)2ry(n1)cos+r2y(n2)=x(n)式中，x(n)=anu(n),0a1,0r1,=常数，试求系统的响应y(n)。解：将题中给出的差分方程进行Z变换，,式中,，,因为是因果系统，收敛域为|z|max(r,|a|)，且n0时，y(n)=0，故,c包含三个极点，即a、z1、z2。,27 如果x1(n)和x2(n)是两个不同的因果稳定实序列，求证：,式中，X1(ej)和X2(ej)分别表示x1(n)和x2(n)的傅里叶变换。解：FTx1(n)*x2(n)=X1(ej)X2(ej)进行IFT，得到,令n=0,则,由于x1(n)和x2(n)是实稳定因果序列，因此,(1),(2),(3),由（1）、（2）、（3）式，得到,28 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：,求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。,解：,求上式的Z的反变换，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)为,因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取：a|z|a1。n1时，c内有极点：a，,n=0时，,c内有极点：a、0，,因为he(n)=he(n)，所以,29 若序列h(n)是因果序列，h(0)=1，其傅里叶变换的虚部为,求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。,解：,令z=ej,有,jHI(ej)对应h(n)的共轭反对称序列ho(n)，因此jHI(z)的反变换就是ho(n),因为h(n)是因果序列，ho(n)是双边序列，收敛域取:a|z|a1。,n1时，c内有极点：a,n=0时，c内有极点：a、0，,因为hI(n)=h(n),所以,30*.假设系统函数如下式：,试用MATLAB语言判断系统是否稳定。解：调用MATLAB函数filter计算该系统。系统响应的程序ex230.m如下：,%程序ex230.m%调用roots函数求极点，并判断系统的稳定性A=3，3.98，1.17，2.3418，1.5147；%H(z)的分母多项式系数p=roots(A)%求H(z)的极点pm=abs(p)；%求H(z)的极点的模if max(pm)1 disp(系统因果稳定)，else，disp(系统不因果稳定)，end程序运行结果如下：极点：0.7486 0.69960.7129i0.6996+0.7129i0.6760由极点分布判断系统因果稳定。,31*.假设系统函数如下式：,(1)画出极、零点分布图，并判断系统是否稳定；(2)用输入单位阶跃序列u(n)检查系统是否稳定。,解：（1）求解程序ex231.m如下：%程序ex231.m%判断系统的稳定性A=2，2.98，0.17，2.3418，1.5147；%H(z)的分母多项式系数B=0，0，1，5，-50；%H(z)的分子多项式系数用极点分布判断系统是否稳定subplot(2，1，1)；zplane(B，A)；%绘制H(z)的零极点图p=roots(A)；%求H(z)的极点pm=abs(p)；%求H(z)的极点的模,if max(pm)1 disp(系统因果稳定)，else，disp(系统不因果稳定)，end%画出u(n)的系统输出波形进行判断un=ones(1，700)；sn=filter(B，A，un)；n=0：length(sn)1；subplot(2，1，2)；plot(n，sn)xlabel(n)；ylabel(s(n)程序运行结果如下：系统因果稳定。系统的零极点图如题31*解图所示。,题31*解图,（2）系统对于单位阶跃序列的响应如题31*解图所示，因为它趋于稳态值，因此系统稳定。32*.下面四个二阶网络的系统函数具有一样的极点分布：,试用MATLAB语言研究零点分布对于单位脉冲响应的影响。要求：（1）分别画出各系统的零、极点分布图；（2）分别求出各系统的单位脉冲响应，并画出其波形；（3）分析零点分布对于单位脉冲响应的影响。解：求解程序为ex232.m，程序如下：,%程序ex232.mA=1，1.6，0.9425；%H(z)的分母多项式系数B1=1；B2=1，0.3；B3=1，0.8；B4=1，1.6，0.8；%H(z)的分子多项式系数b1=1 0 0;b2=1 0.3 0;b3=1，0.8，0；b4=1，1.6，0.8；%H(z)的正次幂分子多项式系数p=roots(A)%求H1(z)，H2(z)，H3(z)，H4(z)的极点z1=roots(b1)%求H1(z)的零点z2=roots(b2)%求H2(z)的零点z3=roots(b3)%求H3(z)的零点,z4=roots(b4)%求H4(z)的零点h1n，n=impz(B1，A，100)；%计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值h2n，n=impz(B2，A，100)；%计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值h3n，n=impz(B3，A，100)；%计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值h4n，n=impz(B4，A，100)；%计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值%=%以下是绘图部分subplot(2，2，1)；,zplane(B1，A)；%绘制H1(z)的零极点图subplot(2，2，2)；stem(n，h1n，.)；%绘制h1(n)的波形图line(0，100，0，0)xlabel(n)；ylabel(h1(n)subplot(2，2，3)；zplane(B2，A)；%绘制H2(z)的零极点图subplot(2，2，4)；stem(n，h2n，.)；%绘制h2(n)的波形图,line(0，100，0，0)xlabel(n)；ylabel(h2(n)figure(2)；subplot(2，2，1)；zplane(B3，A)；%绘制H3(z)的零极点图subplot(2，2，2)；stem(n，h3n，.)；%绘制h3(n)的波形图line(0，100，0，0)xlabel(n)；ylabel(h3(n)subplot(2，2，3)；,zplane(B4，A)；%绘制H4(z)的零极点图subplot(2，2，4)；stem(n，h4n，.)；%绘制h4(n)的波形图line(0，100，0，0)xlabel(n)；ylabel(h4(n)程序运行结果如题32*解图所示。,题32*解图,四种系统函数的极点分布一样，只是零点不同，第一种零点在原点，不影响系统的频率特性，也不影响单位脉冲响应。第二种的零点在实轴上，但离极点较远。第三种的零点靠近极点。第四种的零点非常靠近极点，比较它们的单位脉冲响应，会发现零点愈靠近极点，单位脉冲响应的变化愈缓慢，因此零点对极点的作用起抵消作用；同时，第四种有两个零点，抵消作用更明显。,