数字信号处理第1-2章.ppt

第一章 离散时间信号与系统,1.1 离散时间信号序列 1.2 线性时不变系统 1.3 常系数线性差分方程 1.4 连续时间信号的抽样,1.1 离散时间信号序列,一个离散时间信号是一个整数值变量n的函数，表示为x(n)或x(n)。它既可以是实数也可以是复数。尽管独立变量n不一定表示“时间”（例如，n可以表示温度或距离），但x(n)一般被认为是时间的函数。,图 1-1 离散时间信号x(n)的图形表示,离散时间信号的获取方法：一可以对模拟信号(如语音)进行等间隔抽样而得到。例如，对于一个连续时间信号xa(t)，以每秒fs=1/T个采样的速率采样而产生采样信号，它与xa(t)的关系如下：,二可以认为是自然产生的离散时间序列，如每日股票市场价格、人口统计数和仓库存量等。,序列的运算,序列的移位,当m为正时，则x(n-m)是指序列x(n)逐项依次延时（右移）m位而给出的一个新序列;当m为负时，x(n-m)是指依次超前（左移）m位。图1-2显示了x(n)序列的延时序列w(n)=x(n-2),即m=2时的情况。,图 1-2 图1-1序列x(n)的延时,序列的翻褶,图 1-3 序列的翻褶(a)x(n)序列；(b)x(-n)序列,序列的和 两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。和序列z(n)可表示为,序列的乘积 两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘。乘积序列f(n)可表示为,序列的标乘 序列x(n)的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常数c。标乘序列f(n)可表示为,累 加,它表示y(n)在某一个n0上的值y(n0)等于在这一个n0上的x(n0)值与n0以前所有n上的x(n)之和。,差分运算前向差分 x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分 x(n)=x(n)-x(n-1)由此得出x(n)=x(n-1),序列的时间尺度(比例)变换,其中m为正整数,卷积和,正如卷积积分是求连续线性时不变系统输出响应（零状态响应）的主要方法。对离散系统“卷积和”也是求离散线性移不变系统输出响应（零状态响应）的主要方法。,（1）翻褶：先在哑变量坐标m上作出x(m)和h(m)，将h(m)以m=0 的垂直轴为对称轴翻褶成h(-m)。（2）移位：将h(-m)移位n，即得h(n-m)。当n为正整数时，右移n位;当n为负整数时，左移n位。（3）相乘：再将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值相乘。（4）相加：把以上所有对应点的乘积累加起来，即得y(n)值。,1.1.2 几种常用序列1 单位脉冲序列(n),这个序列只在n=0 处有一个单位值1，其余点上皆为0，因此也称为单位采样“序列”。单位采样序列如图1-4所示。,(1-1),图 1-4(n)序列,这是最常用、最重要的一种序列，它在离散时间系统中的作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激函数(t)。但是，在连续时间系统中，(t)是 t=0 点脉宽趋于零，幅值趋于无限大，面积为1的信号，是极限概念的信号，并非任何现实的信号。而离散时间系统中的(n)，却完全是一个现实的序列，它的脉冲幅度是1，是一个有限值。,2 单位阶跃序列u(n),如图 1-5 所示。它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数u(t)。,(1-2),图 1-5 u(n)序列,(n)和u(n)间的关系为,令n-m=k，代入此式可得,(1-3),(1-4),(1-5),3矩形序列RN(n),(1-6),矩形序列RN(n)如图1-6所示。,图 1-6 RN(n)序列,RN(n)和(n)、u(n)的关系为:,(1-7),(1-8),4实指数序列,式中，a为实数。当|a|1时，序列是发散的。a为负数时，序列是摆动的，如图1-7所示。,图 1-7 指数序列(a)|a|1;(c)a=-|a|,0a1,a1,-1a 0,5 正弦型序列x(n)=A sin(n0+)式中:A为幅度;为起始相位;0为数字域的频率，它反映了序列变化的速率。0=0.1时,x(n)序列如图1-8所示，该序列值每20个重复一次循环。其中，0=2 f0,图 1-8 正弦序列(0=0.1),6 复指数序列 序列值为复数的序列称为复指数序列。复指数序列的每个值具有实部和虚部两部分。复指数序列是最常用的一种复序列：,(1-11a),或,(1-11b),式中，0是复正弦的数字域频率。,对第一种表示，序列的实部、虚部分别为,如果用极坐标表示，则,因此有：,1.1.3 序列的周期性 如果对所有n存在一个最小的正整数N，满足,(1-12),则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。,若N0=2k,当k为正整数时，则,这时的正弦序列就是周期性序列，其周期满足N=2k/0（N，k必须为整数）。,可分几种情况讨论如下。（1）当2/0为正整数时，周期为2/0，见图1-8。（2）当2/0不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示成分数），则,式中，k,N为互素的整数，则 为最小正整数，序列的周期为N。,（3）当2/0是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数。这时，正弦序列不是周期性的。这和连续信号是不一样的。同样，指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。如果一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的，那么，采样时间间隔T和连续正弦信号的周期之间应该是什么关系才能使所得到的采样序列仍然是周期序列呢？,设连续正弦信号xa(t)为,这一信号的频率为f0，角频率0=2f0，信号的周期为T0=1/f0=2/0。如果对连续周期信号xa(t)进行采样，其采样时间间隔为T，采样后信号以x(n)表示，则有,如果令0为数字域频率，满足,式中,fs是采样频率。可以看出，0是一个相对频率，它是连续正弦信号的频率f0对采样频率fs的相对频率乘以2，或说是连续正弦信号的角频率0对采样频率fs的相对频率。用0代替0T，可得,这就是我们上面讨论的正弦型序列。,下面我们来看2/0与T及T0的关系，从而讨论上面所述正弦型序列的周期性的条件意味着什么？,这表明，若要2/0为整数，就表示连续正弦信号的周期T0应为采样时间间隔T的整数倍；若要2/0为有理数，就表示T0与T是互为互素的整数，且有,(1-13),式中，k和N皆为正整数，从而有,即N个采样间隔应等于k个连续正弦信号的周期。,离散信号的周期是每个周期的采样点数。周期N总是整数。对于组合信号，N是各周期的最小公倍数。,例：若F=0.32，那么x(n)=cos(2 Fn)是否具有周期性？若F=呢？如果是周期的，那么它的周期N是多少？,解：若F=0.32，因为F=0.32=32/100=8/25=k/N，所以x(n)具有周期性，它的周期N=25；若F=，因为F是一个无理数，不能表示为整数的比率，所以它不具有周期性。,1.1.4 用单位采样序列来表示任意序列 用单位采样序列来表示任意序列对分析线性时不变系统（下面即将讨论）是很有用的。设x(m)是一个序列值的集合，其中的任意一个值x(n)可以表示成单位采样序列的移位加权和，即,(1-14),由于,则,因此，式（1-14）成立，这种表达式提供了一种信号分析工具。,1.1.5 序列的能量 序列x(n)的能量E定义为序列各采样样本的平方和，即,(1-15),例：计算信号x(n)=的能量，这是一个一侧衰减的指数函数，它的信号能量是：,1.2 离散时间系统时域分析,一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。若以T来表示这种运算，则一个离散时间系统可由图1-2-1来表示，即,离散时间系统中最重要、最常用的是“线性时不变系统”。,图 1-2-1 离散时间系统,1.2.1 线性系统 满足叠加原理的系统称为线性系统，即若某一输入是由N个信号的加权和组成，则输出就是系统对这几个信号中每一个的响应的同样加权和组成。如果系统在x(n)和x2(n)单独输入时的输出分别为y1(n)和y2(n)即:,那么当且仅当上两式都成立时，该系统是线性的.,和,式中,a为任意常数。上述第一个性质称为可加性，第二个称为齐次性或比例性。这两个性质合在一起就成为叠加原理，写成,式中对任意常数a1和a2都成立。该式还可推广到多个输入的叠加，即,式中,yk(n)就是系统对输入xk(n)的响应。,例1-1 以下系统是否为线性系统：y(n)=2x(n)+3很容易证明这个系统不是线性的，因为此系统不满足叠加原理。,证,很明显，在一般情况下,所以此系统不满足叠加性，故不是线性系统。,同样可以证明，,1.2.2 时不变系统 若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）。这个性质可用以下关系表达：若输入x(n)的输出为y(n)，则将输入序列移动任意位后，其输出序列除了跟着移位外，数值应该保持不变，即若Tx(n)=y(n),则 Tx(n-m)=y(n-m)（m为任意整数）满足以上关系的系统就称为时不变系统。,例1-2 证明,不是时不变系统。,证,由于二者不相等，故不是时不变系统。同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变（LTI）离散时间系统，简称LTI系统。除非特殊说明，本书都是研究LTI系统。,习题:,不具有线性但有时不变性.,是线性的,但随时间变化.,具有线性和时不变性.,是非线性的,但具有时不变性.,是线性的,但随时间变化.,1.2.3 单位脉冲响应与系统的输入输出关系 线性时不变系统可用它的单位脉冲响应来表征。单位脉冲响应是指输入为单位脉冲序列时系统的输出。一般用h(n)表示单位脉冲响应，即h(n)=T(n)有了h(n)我们就可以得到此线性时不变系统对任意输入的输出。下面讨论这个问题：设系统输入序列为x(n)，输出序列为y(n)。从式（1-14）已经知道，任一序列x(n)可以写成(n)的移位加权和，即,则系统的输出为,由于系统是线性的，可利用叠加原理式（1-40），则,又由于系统的时不变性，式（1-41）对移位的单位脉冲的响应就是单位脉冲响应的移位。,因此,如图1-2-2所示。上式称为序列x(n)与h(n)的离散卷积，为了同以后的圆周卷积相区别，离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”或简称“卷积”，并以“*”表示之。,图 1-2-2 线性时不变系统,1.2.4 线性时不变系统的性质,1 交换律由于卷积与两卷积序列的次序无关，即卷积服从交换律，故,这就是说，如果把单位脉冲响应h(n)改作为输入，而把输入x(n)改作为系统单位脉冲响应，则输出y(n)不变。,2 结合律可以证明卷积运算服从结合律，即,这就是说，两个线性时不变系统级联后仍构成一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为两系统单位脉冲响应的卷积，且线性时不变系统的单位脉冲响应与它们的级联次序无关，如图1-18所示。,3 分配律卷积也服从加法分配律：,也就是说，两个线性时不变系统的并联等效系统的单位脉冲响应等于两系统各自单位脉冲响应之和,如图1-19所示。以上三个性质，交换律前面已经证明了，另外两个性质由卷积的定义可以很容易加以证明。,图 1-2-3 具有相同单位脉冲响应的三个线性时不变系统,图1-2-4 线性时不变系统的并联组合及其等效系统,1.3.5 因果系统 所谓因果系统，就是系统某时刻的输出y(n)只取决于此时刻，以及此时刻以前的输入，即x(n),x(n-1),x(n-2),。如果系统的输出y(n)还取决于x(n+1),x(n+2),，也即系统的输出还取决于未来的输入，这样在时间上就违背了因果关系，因而是非因果系统，也即不现实的系统。根据上述定义，可以知道，y(n)=nx(n)的系统是一个因果系统，而y(n)=x(n+2)+ax(n)的系统是非因果系统。,从卷积公式，我们可以看到线性时不变系统是因果系统的充分必要条件是 h(n)=0 n0(1-47)依照此定义，我们将n0，x(n)=0 的序列称为因果序列，表示这个因果序列可以作为一个因果系统的单位脉冲响应。,证:充分条件 若n0时h(n=0),则,因而,必要条件 利用反证法来证明。已知为因果系统，如果假设n0时，h(n)0,则,在所设条件下，第二个式至少有一项不为零，y(n)将至少和mn时的一个x(m)值有关，这不符合因果性条件，所以假设不成立。因而n0时，h(n)=0是必要条件,我们知道，许多重要的网络，如频率特性为理想矩形的理想低通滤波器以及理想微分器等都是非因果的不可实现的系统。但是数字信号处理往往是非实时的，即使是实时处理，也允许有很大延时。这是对于某一个输出y(n)来说，已有大量的“未来”输入x(n+1),x(n+2),，记录在存储器中可以被调用，因而可以很接近于实现这些非因果系统。,1.2.6 稳定系统 稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。如果对于输入序列x(n)，存在一个不变的正有限值M，对于所有n值满足|x(n)|M则称该输入序列是有界的。稳定性要求对于每个有界输入存在一个不变的正有限值P，对于所有n值，输出序列y(n)满足|y(n)|P,一个线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是单位脉冲响应绝对可和，即,证 充分条件：,若,如果输入信号x(n)有界，即对于所有n皆有|x(n)|M，则,即输出信号y(n)有界，故原条件是充分条件。,必要条件：利用反证法。已知系统稳定，假设,我们可以找到一个有界的输入,输出y(n)在n=0 这一点上的值为,也即y(0)是无界的，这不符合稳定的条件，因而假设不成立。所以 是稳定的必要条件。要证明一个系统不稳定，只需找一个特别的有界输入，如果此时能得到一个无界的输出，那么就一定能判定一个系统是不稳定的。但是要证明一个系统是稳定的，就不能只用某一个特定的输入作用来证明，而要利用在所有有界输入下都产生有界输出的办法来证明系统的稳定性。,显然，既满足稳定条件又满足因果条件的系统，即稳定的因果系统是最主要的系统。这种线性时不变系统的单位脉冲响应应该既是因果的（单边的）又是绝对可和的，即：,这种稳定因果系统既是可实现的，又是稳定工作的，因而这种系统正是一切数字系统设计的目标。,例：设某线性时不变系统，其单位抽样响应为,（1）讨论因果性：n0时，h(n)=0，故此系统是因果系统。（2）讨论稳定性：,习题,1、因果性,2、稳定性,非因果的,因果的,稳定的,稳定的,1.3常系数线性差分方程 连续时间线性时不变系统的输入输出关系常用常系数线性微分方程表示，而离散时间线性时不变系统的输入输出关系常用以下形式的常系数线性差分方程表示，即,所谓常系数是指决定系统特征的a1,a2,aN,b1,b2,bM都是常数。若系数中含有n，则称为“变系数”线性差分方程。差分方程的阶数等于未知序列（指y(n)）变量序号的最高值与最低值之差。上 式即为N阶差分方程。,所谓线性是指各y(n-k)以及各x(n-k)项都只有一次幂且不存在它们的相乘项（这和线性微分方程是一样的）;否则就是非线性的。离散系统的差分方程表示法有两个主要的用途，一是从差分方程表达式比较容易直接得到系统的结构，二是便于求解系统的瞬态响应。求解常系数差分方程可以用离散时域求解法，也可以用变换域求解法。,离散时域求解法有两种：（1）迭代法，此法较简单，但是只能得到数值解，不易直接得到闭合形式（公式）解答。（2）卷积计算法，这用于系统起始状态为零时的求解。,差分方程在给定的输入和给定的初始条件下，可用递推迭代的办法求系统的响应。如果输入是(n)这一特定情况，输出响应就是单位脉冲响应h(n)。例如，利用(n)只在n=0 取值为1的特点，可用迭代法求出其单位脉冲响应h(0),h(1),h(n)值，下面举例说明。,例1-3 常系数线性差分方程,输入为 x(n)=(n)初始条件为 y(n)=0 n0试给出系统的实现结构并求其单位脉冲响应。,解 系统的实现结构如图1-20所示。图中 代表加法器，代表乘法器，z-1表示一阶延迟。由于初始条件已给定了n=0 以前的输出，所以系统的输出响应只要从n=0 开始求起。又因为输入x(n)=(n)，所以系统的输出y(n)即为系统的单位脉冲响应h(n)。先由初始条件及输入求h(0)值：,再由h(0)值及输入推导h(1)，并依次推导得h(2),h(3),。因而有：,故系统的单位脉冲响应为,即,这样的系统相当于因果系统，而且系统是稳定的。一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，初始条件不同，则可能得到非因果系统。利用同一例子，分析如下。,图 1-3-1,例1-4 设x(n)=(n)，但初始条件假设y(n)=0，n0,可得n0时h(n)=y(n)=0，将式（1-53）改写为另一种递推关系 y(n-1)=2y(n)-x(n)或y(n)=2y(n+1)-x(n+1)又利用已得出的结果h(n)=0(n0),则有：,所以,也可表示为,这样的系统是非因果系统，而且是非稳定的。,1.4 连续时间信号的取样,在某些合理条件限制下，一个连续时间信号能用其取样序列来完全给予表示，连续时间信号的处理往往是通过对其取样得到的离散时间序列的处理来完成的。,取样器可以看成是一个电子开关，设开关每隔T秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次取样。,当T时，取样脉冲就接近于函数性质。,图 1-4-1 连续时间信号的取样过程,连续时间信号的采样过程,1.4.1 理想取样 理想取样就是假设取样开关闭合时间无限短，即0的极限情况。此时，取样脉冲序列p(t)变成冲激函数序列s(t)。这些冲激函数准确地出现在取样瞬间，面积为1。取样后，输出理想取样信号的面积（即积分幅度）则准确地等于输入信号xa(t)在取样瞬间的幅度。冲激函数序列s(t)为,以 表示理想取样的输出，以后我们都以下标a表示连续信号（或称模拟信号），如xa(t)；而以它的顶部符号（）表示它的理想取样，如。这样我们就可将理想取样表示为,由于(t-nT)只在t=nT时不为零，故,1.4.2 理想取样信号的频谱 我们首先看看通过理想取样后信号频谱发生了什么变化。由于在连续时间信号与系统中已学过，时域相乘，则频域为卷积运算。若各个信号的傅里叶变换分别表示为:,则应满足,现在来求S(j)=Fs(t)。由于s(t)是以取样频率重复的冲激脉冲，因此是一个周期函数，可表示为傅里叶级数，即,(1-23),此级数的基频为取样频率，即:,一般称fs为频率，单位为赫兹(Hz)，s为角频率，单位为弧度/秒;习惯上都统称为“频率”。它们的区别由符号f及来识别。,根据傅氏级数的知识，系数ak可以通过以下运算求得,以上结果的得出是考虑到在|t|T/2的积分区间内，只有一个冲激脉冲(t)，其他冲激(t-nT)，n0 都在积分区间之外，且利用了以下关系:,因而,(1-24),由此得出,由于,(1-25),所以,(1-26),将式（1-26）代入式（1-23）可得,根据冲激函数的性质，可得,(1-27),或者,(1-28),一个连续时间信号经过理想取样后，其频谱将沿着频率轴以取样频率s=2/T 为间隔而重复，这就是说频谱产生了周期性延拓。因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率混叠，则有可能恢复出原信号。也就是说，如果xa(t)是限带信号，其频谱如图1-10（a）所示，且最高频谱分量h不超过s/2，即,那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠。这时采用一个截止频率为s/2的理想低通滤波器，就可得到不失真的原信号频谱。也就是说，可以不失真地还原出原来的连续信号。,图 1-4-2 时域取样后，频谱的周期延拓,h,如果信号的最高频谱h超过s/2，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象。由于Xa(j)一般是复数，所以混叠也是复数相加。为了简明起见，在图1-10中我们将Xa(j)作为标量来处理。我们将采样频率之半（s/2）称为折叠频率，即,它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造成频谱的混叠。,(1-30),给出该余弦信号,的傅里叶变换Xa(j)。,(1-32),图（b）是在0s/2时，的傅里叶变换。（d）和（e）则分别对应于0/T时低通滤波器输出的傅里叶变换，在没有混叠时（(b)和(d)），恢复出的输出ya(t)为,图 1-11 一个余弦信号取样中的混叠效果,在有混叠时，则是,这就是说，作为取样和恢复的结果，高频信号cos0t已经被当作和低频信号cos(s-0)t是一样的东西被冒名顶替了。这个讨论就是奈奎斯特取样定理的基础。,图 1-11 一个余弦信号取样中的混叠效果,例：一个100Hz的正弦信号x(t)的取样频率分别是240Hz、140Hz、90Hz、35Hz，在每种情况下，混叠是否存在？若是，求混叠频率。,结论：要想取样后能够不失真地还原出原信号，则取样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（s2h），这就是奈奎斯特取样定理。即fs2fh频率h一般称为奈奎斯特频率，而频率2h称为奈奎斯特率。取样频率必须大于奈奎斯特率。,在实际工作中，为了避免频谱混淆现象发生，取样频率总是选得比奈奎斯特频率更大些，例如选到(34)h。同时为了避免高于折叠频率的杂散频谱进入取样器造成频谱混淆，一般在取样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，称为防混叠滤波器，其截止频率为s/2，以便滤除掉高于s/2 的频率分量。,例：一个100Hz的正弦信号x(t)以240Hz取样。有没有产生混叠？需要多少个x(t)的完整周期才能得到取样信号的一个周期？,解：由于取样频率超过了200Hz，所以没有混叠存在。数字频率F=100/240=5/12，因此，x(t)的5个周期生成取样信号的12个样本（即一个周期）。,同样方法，可以证明，理想取样后，使信号的拉普拉斯变换在S平面上沿虚轴周期延拓。也就是说,在S平面虚轴上是周期函数。即有,(1-34),式中：,即 分别是 的双边拉普拉斯变换。,1.4.3 取样的恢复 如果理想取样满足奈奎斯特定理，即模拟信号谱的最高频率小于折叠频率,则取样后不会产生频谱混叠，已知,故将 通过一个理想低通滤波器，这个理想低通滤波器应该只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率。,图1-4-4取样的恢复,取样信号通过这个滤波器后，就可滤出原模拟信号的频谱,因此，在输出端可以得到原模拟信号,理想低通滤波器虽不可实现，但是在一定精度范围内，可用一个可实现的滤波器来逼近它。,1.4.4 由取样信号序列重构带限信号 理想低通滤波器的冲激响应为,由 与h(t)的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为,这里h(t-nT)称为内插函数：,(1-35),它的波形如图1-4-5所示，其特点为：在取样点nT上，函数值为1;其余取样点上，函数值都为零。,图 1-4-5 内插函数,由于ya(t)=xa(t)，因此以上卷积结果也可以表示为,称为取样内插公式，即信号的取样值xa(nT)经此公式而得到连续信号xa(t)。也就是说，xa(t)等于各xa(nT)乘上对应的内插函数的总和。,这个公式说明了，只要取样频率高于两倍信号最高频率，则整个连续信号就可以完全用它的取样值来代表，而不会丢掉任何信息。这就是奈奎斯特取样定理的意义。由上面讨论可看出采样内插公式只限于使用到限带（频带有限）信号上。,图 1-14 采样内插恢复,第二章变换与离散时间傅里叶变换DTFT,Z变换的定义及收敛域 1.Z变换的定义 一个离散序列x(n)的Z变换定义为,.Z 变 换的定义与收敛域,式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。我们常用Zx(n)表示对序列x(n)进行Z变换，也即,这种变换也称为双边Z变换，与此相应的单边Z变换的定义如下：,2.Z变换的收敛域 显然，只有当上式幂级数收敛时，Z变换才有意义。对任意给定序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。按照级数理论，上式的级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求,一般收敛域用环状域表示，即Rx-|z|Rx+收敛域是分别以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环状域。Rx-和Rx+称为收敛半径。当然Rx-可以小到零，R x+可以大到无穷大。常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：,分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。Z平面上收敛域的位置，或者说Rx-及Rx+的大小和序列有着密切的关系，分别讨论如下。,（1）有限长序列:序列x(n)只在有限区间n1nn2之内才具有非零的有限值，在此区间外，序列值皆为零。也即,其Z变换为,设x(n)为有界序列，则，如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括点。具体有限长序列的收敛域表示如下：,有时将开域(0,)称为“有限Z平面”。,例2-1 x(n)=(n)，求此序列的Z变换及收敛域。,解 这是n1=n2=0 时有限长序列的特例，由于所以收敛域应是整个z的闭平面(0|z|)，如图2-1所示。,图 2-1(n)的收敛域(全部Z平面),例2-2 求矩形序列x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。,解,这是一个有限项几何级数之和。因此,（2）右边序列：右边序列是指x(n)只在nn1时有值，在nn1时x(n)=0。其Z变换为,此式右端第一项为有限长序列的Z变换，按上面讨论可知,它的收敛域为有限Z平面；而第二项是z的负幂级数，按照级数收敛的阿贝尔（N.Abel）定理可推知，存在一个收敛半径Rx-，级数在以原点为中心，以Rx-为半径的圆外任何点都绝对收敛。因此，综合此二项，只有二项都收敛时级数才收敛。则右边序列Z变换的收敛域为Rx-|z|,图2-2 右边序列及其收敛域（n10，|z|=除外）,因果序列是最重要的一种右边序列，即n1=0的右边序列。也就是说，在n0时x(n)有值，n0时x(n)=0，其Z变换级数中无z的正幂项，因此级数收敛域可以包括|z|=。,Z变换收敛域包括|z|=是因果序列的特征。,例2-3 x(n)=anu(n),求其Z变换及收敛域。,|z|a|,这是一个无穷项的等比级数求和，只有在|az-1|a|处收敛。故得到以上闭合形式的表达式，在z=a处有一极点(用“”表示)，在z=0处有一个零点(用“”表示)，收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。,解 这是一个因果序列，其Z变换为,收敛域上函数必须是解析的，因此收敛域内不允许有极点存在。所以，右边序列的Z变换如果有N个有限极点z1,z2,zN存在，那么收敛域一定在模值为最大的这一个极点所在圆以外，也即,对于因果序列，处也不能有极点。,图2-3,（3）左边序列:左边序列是指在nn2时x(n)有值，而在nn2时x(n)=0，其Z变换为,等式第二项是有限长序列的Z变换，收敛域为有限Z平面；第一项是正幂级数，按阿贝尔定理，必存在收敛半径Rx+，级数在以原点为中心，以Rx+为半径的圆内任何点都绝对收敛。如果Rx+为收敛域的最大半径，则综合以上两项，左边序列Z变换的收敛域为,如果n20，则式右端不存在第二项，故收敛域应包括z=0，即|z|Rx+。,例2-4 x(n)=-anu(-n-1),求其Z变换及收敛域。,此等比级数在|a-1z|1，即|z|a|处收敛。因此,序列Z变换的收敛域如图2-4所示。函数 在z=a处有一极点，整个收敛域在极点所在圆以内的解析区域。,解 这是一个左边序列。其Z变换为,图2-4 左边序列收敛域,对于左边序列，如果序列Z变换有N个有限极点z1,z2,zN存在，那么收敛域一定在模值为最小的这一个极点所在圆以内，这样X(z)才能在整个圆内解析，也即Rx+=min|z1|,|z2|,|zN|由以上两例可以看出，一个左边序列与一个右边序列的变换表达式是完全一样的。所以，只给出Z变换的闭合表达式是不够的，是不能正确得到原序列的。必须同时给出收敛域，才能惟一地确定一个序列。这就说明了研究收敛域的重要性。,（4）双边序列：一个双边序列可以看作一个右边序列和一个左边序列之和，即,等式右边第一项为右边序列，其收敛域为|z|Rx-;第二项为左边序列，其收敛域为|z|Rx+，则无公共收敛区域，X(z)无收敛域，也即在Z平面的任何地方都没有有界的(z)值，因此就不存在Z变换的解析式，这种变换就没有什么意义。,例2-5 x(n)=a|n|,a为实数，求其Z变换及收敛域。,设,解 这是一个双边序列，其Z变换为,若|a|1，则存在公共收敛域,若|a|1，则无公共收敛域，因此也就不存在Z变换的封闭函数。序列两端都发散，显然这种序列是不现实的序列。,图2-5 双边序列及收敛域,图2-6 Z变换无收敛域的序列,表2-1 几种序列的Z变换,2.1.2 Z反变换 已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变换，表示为x(n)=Z-1X(z)Z反变换的一般公式为 若,则,图2-7 围线积分路径,证,该积分路径c在半径为R的圆上，即 z=Rej Rx-RRx+则,这个积分公式也称为柯西积分定律。因此,或,直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上,求Z反变换时，往往可以不必直接计算围线积分。一般求Z反变换的常用方法有三种：围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展开法。,1.围线积分法（留数法）这是求Z反变换的一种有用的分析方法。根据留数定理，若函数F(z)=X(z)zn-1在围线c以内有K个极点zk，而在c以外有M个极点zm（M、K为有限值），则有,或,ResX(z)zn-1,zk表示函数F(z)=X(z)zn-1在极点z=zk上的留数。可得,由上式可得:,现在来讨论如何求X(z)zn-1在任一极点zr处的留数。设zr是X(z)zn-1的单一（一阶）极点，则有,如果zr是X(z)zn-1的多重极点，如l阶极点，则有,例2-6 已知,求Z反变换。,解,围线c以内包含极点a，如图2-8粗线所示。当n0时，在z=0处有一个-n阶极点。因此,图 2-8 收敛域|z|a|,式中，a是单阶极点。则,在z=0处有一个-n阶极点（n0），则,因此,即,这个指数因果序列是单阶极点的反变换，这个反变换是很典型的，在以下的部分分式中还要用到这个结果。在应用留数法时，收敛域是很重要的。同一个函数X(z)，若收敛域不同，则对应的序列就完全不同。例如，仍然以上面的函数为例，改变其收敛域，可以看到结果完全不同。,例2-7 已知,求Z反变换。,解,这时由于极点a处在围线c以外,所以当n0时围线c内无极点；而n0时只在z=0处有一个-n阶极点。因此,即,上例中，在n0时，也可用围线外极点a的留数来求，见式则有,即,从收敛域在函数极点所在圆以内，就能判断序列是左边序列，计算出来结果也证实了这个结论。,图2-9,2.部分分式展开法 在实际应用中，一般X(z)是z的有理分式，可表示成X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)及Q(z)都是实系数多项式，且没有公因式。可将X(z)展开成部分分式的形式，然后利用表1-1的基本Z变换对的公式求各简单分式的Z反变换（注意收敛域），再将各个反变换相加起来，就得到所求的x(n)。为了看出如何求得部分分式展开，假设X(z)可以表示成z-1的多项式之比，即,为了得到X(z)的部分分式，将上式进一步展开成以下形式:,式中，ck是X(z)的非零零点，dk是X(z)的非零极点。如果MN，且所有极点都是一阶的，则X(z)可展开成,式中，Ak是常数，k=1,2,N。,若X(z)的收敛域为|z|max|dk|，因此上式部分分式展开式中每一项都是一个因果序列的z函数，可得,式中，系数Ak可利用留数定理求得,如果MN，且除一阶极点外，在z=di处还有s阶极点，则X(z)可展开成,式中，Bn可用长除法求得。Ak可由式(1-76)求出。系数Cm由下式得到,或,展开式各项被确定后，再分别求右边各项的Z反变换，则原序列就是各项的反变换序列之和。,例2-8 设,试利用部分分式法求Z反变换。,解 X(z)有两个极点，d1=2 和d2=0.5，收敛域为|z|2，则X(z)的零极点如图2-10所示。由收敛域可知x(n)是一个右边序列。因为极点全部是一阶的，因此X(z)能表示为:由,求得系数为:,因此X(z)为,根据表1-1可得,或表示为,例2-9 在这个例子中要考虑例1-12中给出的X(z)所对应的全部可能序列。,解 根据图2-10的零极点图和收敛域性质，X(z)有三种不同的收敛域：（1）|z|2,如例 1-12,情况1已经证明是一个右边序列。(2),情况2对应于一个左边序列。(3),情况3则对应于一个双边序列。,图2-10,因为X(z)的部分分式展开仅决定于X(z)的代数式，所以对所有三种情况都是一样的。针对X(z)的三种不同的收敛域，根据表2-1可得：情况1：,情况2：,情况3：,3.幂级数展开法（长除法）因为x(n)的Z变换定义为z-1的幂级数，即,所以只要在给定的收敛域内，把X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)。,例2-10 若X(z)为,求Z反变换。解 直接将X(z)展开成,凭观察，x(n)就是,或者写成,例2-11 若X(z)为X(z)=lg(1+az-1)|z|a|求Z反变换。解 利用lg(1+x)，且|x|1的幂级数展开式，可得,所以,显然,例2-12 若X(z)为,求Z反变换。解 X(z)在z=-a处有一极点，收敛域在极点所在圆以外，序列应该是因果序列，X(z)应展成z的降幂次级数，所以可按降幂顺次长除有,所以,则,例2-13 若X(z)为,求Z反变换。解 X(z)在z=a处有一极点，收敛域在极点所在圆以内，序列应该是左边序列，X(z)应展成z的升幂次级数，因此应按升幂顺次长除有,故,则,2.1.3 Z变换的性质,1.线性Z变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有:,Zx(n)=X(z)Rx-|z|R x+Zy(n)=Y(z)Ry-|z|Ry+那么对于任意常数a、b，Z变换都能满足以下等式：Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z)-|z|R+R-=max(Rx-,Ry-)R+=min(Rx+,Ry+)如果线性组合中某些零点与极点互相抵消，则收敛域可能扩大。,例2-14 已知x(n)=anu(n)y(n)=anu(n-N)求x(n)-y(n)的Z变换。,又,解 由表2-1可知,利用线性性质，x(n)-y(n)的Z变换为,这时由于极点z=a消去，因此收敛域不是|z|a|，而扩展为|z|0。实际上，由于x(n)是n0的有限长序列，故收敛域是除了|z|=0外的全部Z平面。,2.序列的移位,位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。,证,3.乘以指数序列（Z域尺度变换）,证,例 2-15,|z|1,|z|a|,4.X(z)的微分,例2-16 利用X(z)的微分特性求下面序列的Z变换。x(n)=nanu(n)=nanu(n)=nx1(n)解,|z|a|,利用微分特性有,|z|a|,5.复序列的共轭,式中，符号“*”表示取共轭复数。,6.翻褶序列,7.初值定理对于因果序列x(n)，即x(n)=0,n0,有,证 由于x(n)是因果序列，则有:,8.终值定理 设x(n)为因果序列，且X(z)=Zx(n)的全部极点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在单位圆内，则,9.序列卷积（卷积定理）若,则,Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。若有极点被抵消，收敛域可扩大。,例 2-17 设x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1)求y(n)=x(n)*h(n)。,其Z反变换为,显然，在z=a处，X(z)的极点被H(z)的零点所抵消，如果|b|a|，则Y(z)的收敛域比X(z)与H(z)收敛域的重叠部分要大，如图所示。,图 2-11 Y(z)的零极点及收敛域,10.序列乘积（复卷积定理）,若,则,式中，c是哑变量V平面上X(v)与Y(z/v)的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单封闭围线，满足:,将两个不等式相乘即得Z平面的收敛域为,Rx-Ry-|z|Rx+Ry+,V平面收敛域为,复卷积公式可用留数定理求解，但关键在于确定围线所在的收敛域。,式中，dk为,在围线c内的全部极点。,若用v=ej,z=ej代入式(1-89)，则可得,显然，上式是X(ej)与Y(ej)的卷积，又称为复卷积。,例 2-18 设,应用复卷积定理求两序列的乘积即w(n)=x(n)y(n)。,解,利用复卷积公式,围线c所在的收敛域为max1/3,0|v|min,2|z|或1/3|v|2|z|。,被积函数有两个