数字信号处理研究生课程Cha.ppt
第四章 功 率 谱 估 计,4.1 引言 4.2 经典谱估计 4.3 现代谱估计中的参数建模 4.4 AR模型谱估计方法 4.5 最大熵谱估计方法,4.1 引 言,功率谱定义估计质量评价功率谱估计的方法功率谱估计的应用,1、功率谱的定义,信号的功率谱和其自相关函数服从一对傅里叶变换关系,对于平稳随机信号，服从各态历经定理，集合平均可以用时间平均代替,令l=n+m,则,2、估计质量评价,无偏性：一致性：,3、功率谱估计的方法,经典谱估计方法间接方法：BT法直接方法：周期图法现代谱估计方法参数法：ARMA模型法（AR模型、MA模型、ARMA模型）非参数法：谐波分解法、多分量法,4、功率谱估计的应用,在信号处理的许多场所，要求预先知道信号的功率谱密度(或自相关函数)；常常利用功率谱估计来得到线性系统的参数估计；从宽带噪声中检测窄带信号。,4.2 经 典 谱 估 计,BT法周期图法改进的周期图法,4.2.1 BT法,BT法是先估计自相关函数,然后进行傅里叶变换得到功率谱。有偏自相关函数估计的误差相对较小，是一种渐近一致估计：,4.2.2 周期图法,周期图法的定义如下:,1.周期图与BT法的等价关系,令 m=k-n,即k=m+n，则,利用有偏自相关函数的BT法和周期图法是等价的。,2.周期图法谱估计质量分析 1)周期图的偏移,式中,上式在频域表示为：,式中,周期图的统计平均值等于它的真值卷积三角谱窗函数，因此周期图是有偏估计，但当N时，wB(m)1，三角谱窗函数趋近于函数，周期图的统计平均值趋于它的真值，因此周期图属于渐近无偏估计。,2)周期图的方差 为分析简单起见，假设x(n)是实的零均值的正态白噪声信号，方差是x2，即功率谱是常数x2，其周期图用IN()表示，N表示观测数据的长度。,用这种方法估计的功率谱在2x附近起伏很大，故周期图是非一致估计，是一种很差的功率谱估计方法。,图 4.2.2 白噪声的周期图,4.2.3 经典谱估计方法改进,Bartlett平均周期图法窗口处理法平均周期图Welch法（修正的周期图求平均法）,1.Bartlett平均周期图法,主要思想：对序列x(n)进行L次独立观测或将其分成L段，计算每组观测数据的周期图，再将L个周期图加和后求平均。,假设随机信号x(n)的观测数据区间为：0nM-1，共进行了L次独立观测，得到L组记录数据，每一组记录数据用xi(n),i=1,2,3,L表示；或对长为N的数据x(n)分成L段，每段有M个数据，N=LM，第i段数据表示为xi(n)=x(n+iM-M)。第i组的周期图用下式表示：,估计方法：,将得到的L个周期图进行平均，作为信号x(n)的功率谱估计，公式如下：,估计效果分析：,平均周期图的估计方差是周期图的方差的1/L，L越大方差越小，功率谱越平滑；相应的，M越小，偏移越大，分辨率越低；估计的均方误差也减少；以分辨率的降低换取了估计方差的减少，估计量的方差和分辨率是一对矛盾。,图 4.2.3 平均周期图法,2、窗口处理法平均周期图,主要思想：用一适当的功率谱窗函数W(ej)与周期图进行卷积，来达到使周期图平滑的目的的。,式中,-(M-1)nM-1,估计方法：,那么,又,偏移分析：,估计效果分析：,可得,周期图的窗函数法仍然是有偏估计,其偏移和wB(m)、w(m)两个窗函数有关。,如果w(m)窗的宽度比较窄，M比N小得多，这样|m|N，则wB(m)1,由于w(m)比wB(m)窄，W(ejw)的主瓣比WB(ejw)宽，故可以利用窗函数法进一步平滑周期图，减小估计方差；但相应的会增加偏移，降低频率分辨率。,3.修正的周期图求平均法（Welch法）,主要思想：对Bartlett法进行修正，使之更适合FFT计算。选择适当的窗函数w(n)，并在周期图计算前直接加进去；在分段时，可使各段之间有重迭，这样将会使方差减小。估计方法：首先把数据长度为N的信号x(n)分成L段，每一段数据长度为M，N=LM；然后把窗函数w(n)加到每一个数据段上，求出每一段的周期图，形成修正的周期图；再对每一个修正的周期图进行平均。,第i段的修正周期图为,i=1,2,3,，L,式中,同样,将每一段的修正的周期图之间近似看成互不相关,最后功率谱估计为,对上式求统计平均,得到,式中,估计效果分析：,估计是渐近无偏的；这种方法对窗函数没有限制，无论什么样的窗函数均可使谱估计非负；分段时，为了减少因分段数增加给分辨率带来的影响，可使各段间有重叠，例如重叠50%。,结论：传统的功率谱估计方法无论采取哪一种改进方法，总是以减少分辨率为代价，换取估计方差的减少，提高分辨率的问题无法根本解决。,4.3 现代谱估计中的参数建模,存在问题：经典谱估计中，采用观测到的N个样本值估计功率谱，认为在此观察到的N个数据以外的x(n)=0，这与实际情况是不符合的，从而造成分辨率的降低。解决方法：根据已观察到的数据，选择一个正确的模型，认为x(n)是白噪声通过此模型产生的，那么就不必认为N个以外的数据全为零了。,方法步骤：选择合适的信号模型；根据x(n)有限的观测数据，或者它的有限个自相关函数估计值，估计模型参数;基于此模型，计算输出功率谱。,4.3.1 模型选择,对于具有尖峰的谱，应该选用具有极点的模型，如AR和ARMA模型；对于具有平坦的谱峰和深谷的信号，可以选用MA模型；既有极点也有零点的谱应选用ARMA模型，相对地说,ARMA模型适用范围较宽。在选择模型合适的基础上，应尽量减少模型的参数。,图 4.3.1 对AR(2)信号的模型选择,图 4.3.1 对AR(2)信号的模型选择,4.3.2 模型参数和自相关函数之间的关系,假设模型的差分方程和系统函数分别用下式表示：,AR模型的系数和信号自相关函数之间的关系,通过求解Yule-Walker方程求模型参数：,m1,m=0,求解Yule-Walker方程的Levinson-Durbin算法,Levinson-Durbin算法首先由一阶AR模型开始，一阶AR模型(p=1)的Yule-Walker方程为,由该方程解出：,然后增加一阶，即令p=2，得到,由上面方程解出：,然后令p=3,4,以此类推，可以得到Levinson-Durbin的一般递推公式如下：,估计功率谱的方法 首先根据信号观测数据估计信号自相关函数；再按照所选择信号模型，解上面相应的方程，求出模型参数；最后按照下式求出信号的功率谱:,4.3.3 AR模型谱估计的性质,1、AR模型的线性预测,AR模型的系统函数为,线性一步预测误差滤波器的系统函数为,当api=ai(i=1,2,3,p)时，He(z)和H(z)互为逆滤波器，He(z)=1/H(z),因此He(z)也称为白化滤波器。,利用上述AR模型与线性预测之间的关系，可以实现预测解卷积。,2、预测误差滤波器的最小相位特性 AR模型H(z)必须因果稳定，即极点均在单位圆内，才能保证信号x(n)是平稳随机信号，于是He(z)应为最小相位系统。当最佳P阶线性预测系数与AR模型参数相同时，由此得到的极点保证在单位圆内，AR滤波器稳定，预测误差滤波器He(z)或者A(z)是最小相位系统。,3、AR模型隐含自相关函数延拓特性 AR模型隐含着自相关函数外推的特性，使它具有高分辨率的优点。,4.4 AR谱估计的方法,AR谱估计方法可归结为求解AR模型系数或线性预测器系数的问题。AR模型参数估计方法：信号预测误差最小原则（或预测误差功率最小）自相关法（Levison递推法）Burg法协方差法修正协方差法（前后向线性预测最小二乘法）最大熵原则最大熵谱估计方法,1、自相关法列文森（Levinson）递推 估计方法：自相关法的出发点是选择AR模型的参数使预测误差功率最小；采用Levison-Durbin递推方法求解Yule-Walker方程得到AR模型参数。,预测误差功率为,假设信号x(n)的数据区间在0nN-1范围，有P个预测系数，N个数据经过冲激响应为api(i=0,1,2,P)的滤波器，输出预测误差e(n)的长度为N+P，因此应用下式计算:,预测误差功率最小，得到,采用Levinson-Durbin递推法求解Yule-Walker方程：,由k=1开始递推，递推到k=p，依次得到a11,21，a21,a22,22，ap1,ap2,app,2p。AR模型的各个系数以及模型输入白噪声方差求出后，信号功率谱用下式计算：,图 4.5.1 利用列文森递推法计算功率谱的流程图,性能分析：该方法需要基于有限的观测数据估计自相关序列，当数据长度较短时，估计误差会比较大，AR参数的计算就会引入很大的误差。从而导致功率谱估计出现谱线分裂与谱峰频率偏移等现象。,2、伯格（Burg）递推法,估计方法：直接由时间序列计算AR模型参数的方法，求前、后向预测误差平均功率最小时的反射系数kp，进而求AR模型参数ak和2w。,设信号x(n)观测数据区间为：0nN-1，前向、后向预测误差功率分别用p,e和p,b表示，预测误差平均功率用p为,其中，前向、后向预测误差公式分别为,求预测误差平均功率p最小时的反射系数kp，令,基于反射系数kp，由Levinson-Durbin递推关系求AR模型参数ak和2w，进而求得功率谱Pxx,图 4.5.2 伯格递推法流程图,性能分析：该方法避免了采用有限数据估计自相关函数的计算，适合短序列参数估计，克服了L-D递推中的某些缺点，计算量小。但对正弦信号的谱估计，仍存在某些谱线分裂与频率偏移现象。,3、协方差法与修正协方差法（1）.协方差法 估计方法：利用使预测误差功率最小的方法求模型参数,该公式中使用的观测数据均已得到，不需要在数据两端补充零点，因此比较自相关法去掉了加窗处理的不合理假设。,性能分析：适用于非平稳信号；一些实验结果说明它的分辨率优于自相关法，另外对于纯正弦信号数据，可以有效地估计正弦信号的频率。,（2）.修正协方差法（前后向线性预测最小二乘法）：估计方法：修正协方差法使用前向和后向预测误差平均值最小的方法，估计AR模型的参数，进而估计信号的功率谱。,前向和后向预测误差功率pe、pb分别用下式表示：,预测误差平均功率最小,性能分析：该方法去掉了Burg法所用的Levinson的约束条件，估计得到的谱在谱线分裂和频率偏移时较Burg法有较大改善；该方法也适用于非平稳信号。,几种方法的比较：,自相关法可以用Levinson递推算法，运算量小，但分辨率受窗长度的限制；协方差法，去除了自相关法加窗处理的不合理假设，分辨率高，运算量较大；修正协方差法，分辨率高，在谱线分裂和偏移上较Burg法有较大改善，运算量大；Burg算法，可用改进的Levinson递推算法，分辨率高，但对正弦信号存在谱线分裂和偏移现象。,例 已知信号的四个观察数据为x(n)=x(0),x(1),x(2),x(3)=2,4,1,3，分别用自相关法和协方差法估计AR（1）模型参数。解（1）自相关法：,(2)协方差法:,4、关于AR模型阶次的选择,对于白噪中的AR信号，其阶次的选择应折衷考虑。如选择AR模型，其阶次应加大，较低的阶次会使谱估计产生偏移，降低分辨率。信噪比愈低，平滑作用愈严重，愈需要高的阶次，因此信噪比低应选高的阶次。阶次愈高，分辨率愈高；但阶次太高，会使估计误差加大，谱峰分裂。,图 4.5.3 AR模型阶次太小时的平滑作用,最终预测误差（FPE）准则 阿凯克信息论准则自回归传递函数准则（CAT）,4.5 最大熵谱估计,估计思想：采用最大熵原则，外推自相关函数方法估计信号功率谱。它基于将已知的有限长度自相关序列以外的数据用外推的方法求得，而不是把它们当作是零。,1.利用最大熵的原则外推自相关函数 按照Shannon对熵的定义，当随机变量X取离散值时，熵的定义为,式中pi是出现状态i的概率。当X取连续值时，熵的定义为,式中,p(x)是X的概率密度函数，,先讨论一维高斯分布的信号的熵，然后推广到N维。,假设x(n)是零均值正态分布的平稳随机序列，它的N维高斯概率密度函数为,同理可求得N维高斯分布信号的熵为,式中det(Rxx(N)表示矩阵Rxx(N)的行列式，由上式表明为使熵最大，要求det(Rxx(N)最大。,用最大熵方法外推rxx(N+1)：设rxx(N+1)是信号自相关函数的第N+2个值，根据自相关函数的性质，由N+2个自相关函数组成的矩阵为,为选择rxx(N+1)使det(Rxx(N+1)最大，解下列方程：,用数学归纳法，得到,上式是rxx(N+1)的一次函数，可以解出rxx(N+1)。以此类推，可推出任意多个其它自相关函数值，而不必假设它们为零，这就是最大熵谱估计的基本思想。,
