数字信号处理北京化工大学第6章.ppt

无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法,第六章,6-1 引言,一、数字滤波器的设计与实现过程：1、确定指标：按任务要求，确定滤波器的性能指标；2、函数逼近：用一个因果稳定的离散线性移不变，如IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求；3、算法实现：选择运算结构、选择字长、有效数字的处理方法（舍入、截尾）等；4、实际实现：软件实现还是硬件实现、采用专用芯片还是通用的数字信号处理器来实现，以及具体的型号等。本章所谓设计，就是上述的第2项内容，即逼近问题。,二、数字滤波器的性能要求（以低通为例）,0,平滑过渡,通带,阻带,过渡带,1,（幅度特性要求）,通带截至频率,阻带截止频率,其中 是幅度响应的允许误差：为通带容限，为阻带容限。工程上习惯用以dB为单位的通带允许的最大衰减、阻带应达到的最小衰减，其关系为,式中，假定 已被归一化了。例：在 处，则；在 处，则。,相位特性要求：相位的变化满足一定条件，如在通带内为线性相位。,三、按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通等。,四、描述数字滤波器频率响应的三个参量：（1）幅度平方响应（幅度相应）（2）相位响应（3）群延迟响应（相位响应的导数）,1、幅度平方响应：（冲激响应为实函数，故满足）若 是 的极点，则 是 的极点。,的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的。,当构造出一个满足幅度平方响应的函数时，分配极点时应注意系统的稳定性：H(z)的极点：单位圆内的极点零点可以任意分配，不影响稳定性。,2、相位响应所以,相位响应：,3、群延迟响应,相位对角频率的导数的负值,若滤波器通带内=常数，则为线性相位滤波器,五、IIR数字滤波器的设计方法 目标：确定系数、。两种方法：,先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器,计算机辅助设计法,6-2 最小与最大相位延时系统，最小与最大相位超前系统,系统函数频率响应,由于冲激响应为实数，故K只能是实数，它对相角只引入固定值（0或 弧度）。在不考虑K时，频率响应就是。的模,其中，“零矢”（极矢）是指零点（极点）指向 z平面单位圆上要研究的频率点（幅角）的矢量。,的相角 考虑：当 从0到 变化过程，相角的变化？,一个单位圆内零点（或极点）：当 从0变到 时，即在z平面单位圆上正向（逆时针）旋转一周时，零矢(或极矢)辐角变化为 弧度。一个单位圆外零点（或极点）：当 从0变到 时，即在z平面单位圆上正向（逆时针）旋转一周时，零矢(或极矢)辐角变化为0。所以当 从0变到 时，只有单位圆内的零点、极点对系统相位有影响。若单位圆内与单位圆外的零点数用 表示，单位圆内与单位圆外的极点数用 表示，则,分析零点、极点的分布对系统相角的影响：,1、因果稳定系统：的全部极点都在单位圆内，即当 由0变到 时，的相角变化量为,这种系统当由增加时，辐角变化为负，故称为相位“延时”（或相位“滞后”）系统。又可分为两种情况：1）全部零点都在单位圆内：则,相位变化最小。称为最小相位延时系统。,2）全部零点都在单位圆外：则 相位变化最大，又是负数。称为最大相位延时系统。注：最小、最大相位延时系统都是因果稳定系统。,2、逆因果稳定系统：逆因果系统：满足n0时，h(n)=0。稳定系统：收敛域包含单位圆。逆因果稳定系统：系统函数的全部极点都在单位圆外，即当 由0变到 时，的相角变化量为,一般来说，系统总满足NM，因而这种系统当 由增加时，辐角变化为正，故称为相位“超前”（或相位“领先”）系统。也分为两种情况：1）零点都在单位圆内：则,相位变化最大。称为最大相位超前系统。,2）零点都在单位圆外：则 相位超前量最小。称为最小相位超前系统。注：最小、最大相位超前系统都是逆因果稳定系统。,四种系统的归纳,注：实际只能实现因果系统，所以一般所说最小相位系统就是指最小相位延时系统。,最小相位延时系统的性质：,1）在幅度频率响应相同的所有系统中，最小相位延时系统具有最小的相位滞后。2）最小相位延时系统 的能量集中在n=0附近，而一般系统 的能量则集中在n0处。按照帕塞瓦定理，由于傅立叶变换幅度相同的各系统的总能量应当相同，如果、是N点有限序列，则有,3）对幅度频率响应相同的各系统，最小相位系统对应的 最大：基本思想：单位圆外零点 对应的因子 映射到单位圆内且保持幅度特性不变时，因子为（可用初值定理加以证明）,4）在幅度响应相同的系统中，只有唯一的一个最小相位延时系统。5）利用级联全通函数的办法，可将最小相位系统的零点反射到单位圆外，而构成幅度响应相同的非最小相位延时系统。（也就是说，非最小相位系统可以分解为最小相位系统与全通系统的级联）,6-3 全通系统,全通系统是指系统频率响应的幅度在所有频率下均为1或某一常数的系统，即 零极点为实数的一阶全通系统的系统函数为，a为实数，0|a|1,对应的零-极点位置：,复系数（复数零点-极点的）一阶全通系统的系统函数为,零点-极点出现在共轭反演位置上，或说在镜像位置上（以单位圆为“镜子”）,证明全通：设,高阶全通网络系统：由多个一阶系统级联组成，可以包括实零点-实极点的一阶系统，还可以包括复数零点-复数极点的一阶系统。当为实系数系统时，复数零极点总是共轭成对出现：,实系数二阶全通系统：,它是由两个一阶全通系统（其零极点成共轭对）的级联组成的。,极点：,零点：,N 阶全通系统：,极点：的根,零点：的根,全通系统的应用：,1）任何一个因果稳定的非最小相位延时系统都可以表示成全通系统和最小相位延时系统的级联，即证明：设有一个非最小相位延时系统，它的某一对共轭零点位于单位圆外、，其余的零点、极点位于单位圆内。,可将 表示成其中 是最小相位延时的，另两个乘因子代表了单位圆外的一对共轭零点。变换形式：,由于，所以因子是最小相位延时的，而因子 是两个全通函数的级联，一定是一个全通系统。所以,其中,它们之间的差别只是频率响应的相位不同。,系统的等效变换,级联,级联,对非最大相位系统，可通过级联全通系统，将单位圆内的零点映射到单位圆外，从而构成最大相位系统。,2）如果设计出的滤波器是非稳定的，可利用级联全通函数的办法将它变成一个稳定的系统。例如：原滤波器有一对极点在单位圆外 处（r 1)，则可将此滤波器级联一个全通系统,这样可以将单位圆外的一对极点加以抵消，同时又不改变滤波器的幅度特性。,3）可以作为相位均衡器（群延时均衡器）用。IIR滤波器其相位特性是非线性的，（群延时不为常数），可采用全通滤波器作为相位均衡器，来校正系统的非线性相位，以得到线性相位，同时又不改变系统的幅度特性。设全通滤波器为，非线性相位系统为，则级联后系统,即相位关系为,按 可得群延时关系为,线性相位要求通带中满足 是常数，则可利用最小平方误差准则将 优化到最小，从而得到近似线性相位的IIR 滤波器。,6-4 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器一、意义 模拟滤波器的设计有一套相当成熟的方法、设计公式及设计图表，而且“模拟原型”滤波器有多种设计方法，例如巴特沃斯滤波器、比雪夫滤波器、椭圆函数型（考尔型）滤波器等。从模拟滤波器映射成数字滤波器，也就是使数字滤波器能模拟模拟滤波器的特性。,二、转换的基本要求 1、的频率响应要能模仿 的频率响应，即s平面的虚轴 必须映射到z平面的单位圆 上，也就是 频率轴要对称。,2、因果稳定的 应能映射成因果稳定的。也就是s平面的左半平面 必须 映射到 z平面单位圆的内部。,通常有三种映射方法：（1）冲激响应不变法；（2）阶跃响应不变法；（3）双线性变换法。,一、变换原理,6-5 冲激响应不变法,T抽样周期,数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应,P71:式2-53,频率响应关系：,设计过程：(1)将对数字滤波器的要求转换为对模拟滤波器的指标要求。,设计模拟滤波器：利用已有的设计方法(3)将模拟滤波器数字化：,二、混迭失真 数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，即 任何一个实际模拟滤波器的频响都不是严格带限的，所以抽样时都会产生频谱混迭失真。,混叠失真图,模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快，变换后频率响应的混叠失真就越小。,注意：当模拟滤波器设计完成后，如果滤波器的指标是用数字域频率 给定的，则不能用减小 的方法解决混叠问题。原因：在 设计完成后，减小（即增大）会减小对应的，所得结果则不是指标所要的。,三、模拟滤波器的数字化方法,简化数字化过程：,（部分分式形式）,系数相同：,极点：s 平面 z 平面,稳定性不变：s 平面 z 平面,即,当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正,令：,则：,解：据题意，得数字滤波器的系统函数：,若T=1s，则,模拟滤波器的频率响应：,数字滤波器的频率响应：,四、优缺点,优点：,缺点：,保持线性关系：线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器,频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器,h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好,6-6 阶跃响应不变法,一、变换原理：,T 抽样周期,数字滤波器的阶跃响应 模仿模拟滤波器的阶跃响应,数字化过程：,阶跃响应和冲击响应之间的关系：,二、频率相应的周期延拓,由上式可看出，阶跃响应不变法仍然有频率响应的周期延拓现象，因而如果 不是严格限带的，必然会有频率响应的混叠失真，但是由于有1/s因子（在频率轴上即为 因子），使得频率响应幅度与频率 成反比，因而，随着 的增长，频率响应的混叠现象一定比冲激响应不变法的要小。,例6-2 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化（3dB截止频率为1）模拟系统函数 为,而3dB截止频率为50Hz的模拟滤波器，需将归一化 中的s变量用 来替代，即,设系统抽样频率为 Hz，要求从这一低通模拟滤波器的设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。,解：按，模拟滤波器阶跃响应的拉普拉斯变换为,由于,故则,利用以下的z变换关系：,且代入a=222.14415，可得阶跃响应 的z变换,再由 可得数字低通滤波器的系统函数为,6-7 双线性变换法,冲激响应不变法与阶跃响应不变法：数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，频率关系为线性，由于有抽样而存在混叠失真。（产生混叠的根本原因是s到z为多值映射。）双线性变换法：目标：消除 s z 映射中的混叠问题。方法：分两步映射，使s到z的映射关系为单值 映射。,一、变换原理 两步映射：（1）将 映射到；（2）将 的 映射到z域单位圆上一周，即映射到 域的。,（1）：s s1,（2）：s1 z,（3）：s z,为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数 c：,二、变换常数 c 的选择,1）低频处有较确切的对应关系：,两种方法：,2）某一特定频率严格相对应：,特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置。,泰勒展开式法：用泰勒级数展开为 和若近似只取前两项代入式（6-11)，则得 即s近似为,（6-11),（6-12),三、逼近的情况,1、把 代入 可得 即 s 平面的虚轴对应于 z 平面的单位圆。,2、将 代入 可得,因此,四、优缺点,优点：,避免了频率响应的混迭现象,s 平面与 z 平面为单值变换,缺点：,除了零频率附近，与 之间严重非线性。,2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变。,临界频率点畸变：如要求，按线性变换有 将模拟频率按 变换后发现,预畸变,给定数字滤波器的截止频率，则,按 设计模拟滤波器，再经双线性变换即可得到 为截止频率的数字滤波器,五、模拟滤波器数字化方法,1、直接变换：由于双线性变换中s到z之间的变换为简单的代数关系，故只需将 代入模拟滤波器的系统函数 中，就可得到数字滤波器的系统函数：,2、分解成级联的低阶子系统,3、分解成并联的低阶子系统,将双线性变换法中离散系统函数的系数与模拟系统函数的系数之间的关系列成表格。,六、表格法,P251表6-2给出了一至三阶系统的系数关系。对于更高阶次的滤波器，可利用低阶滤波器的级联或并联来实现。,例：一阶系统,可总结出系数关系为,确定数字滤波器关键性技术指标；通过 将数字技术指标转换为模拟技术指标；设计模拟滤波器Ha(s)；采用双线性变换 将Ha(S)转换成数字滤波器H(z)。,七、使用双线性变换法设计数字滤波器的步骤,八.例题,设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2rad时，容许 幅度误差在1dB以内，在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB，指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。解：（1）脉冲响应不变法设计 数字低通的技术指标为：,模拟低通的技术指标为：由所给条件设计巴特沃斯低通滤波器（过程略）,用脉冲响应不变法将 转换成H(Z).,（2）双线性变换法设计：数字低通的技术指标为：,模拟低通的技术指标为：,由所给条件设计巴特沃斯低通滤波器（过程略）得：,用双线性变换法将 转换成H(Z).,总结（双线性变换法的步骤）：,(1)确定数字滤波器关键性技术指标；(2)根据公式 将数字特征频率转换为模拟 特征频率；(3)根据模拟特征频率求出；(4)将 代入 求出。,课堂练习,解,本章内容结束,